НМТ з предмета «Математика», 16 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

У їдальні продається обід з першою стравою вартістю $92, 4$ грн. Яку найбільшу кількість таких обідів можна придбати на суму $600$ грн?

А
$4$
Б
$5$
В
$6$
(правильна відповідь)
Г
$7$
Д
$8$

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на ділення з остачею.

Крок 1. Аналіз умови.
Щоб знайти найбільшу кількість обідів, яку можна придбати на суму

600

грн, нам потрібно всю суму грошей поділити на вартість одного обіду:

92, 4

грн.

Крок 2. Стратегія розв’язання.
Запишемо дію ділення:

600 : 92, 4

Для зручності обчислень позбудемося десяткового дробу в дільнику. Помножимо обидва числа на

10

, перенісши кому на один знак праворуч:

6000 : 924

Крок 3. Покрокові обчислення.
Знайдемо цілу частину від ділення методом підбору. Спробуємо помножити вартість одного обіду

92, 4

грн на

6

92, 4 \cdot 6 = 554, 4 грн

Ця сума менша за

600

грн, тобто

6

обідів ми точно зможемо купити.

Перевіримо, чи вистачить грошей на

7

обідів:

92, 4 \cdot 7 = 646, 8 грн

Оскільки сума

646, 8

грн є більшою за наявні

600

грн, то купити

7

обідів неможливо.

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Отже, найбільша кількість таких обідів, яку можна придбати, дорівнює

6

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На діаграмі відображено кількість відвідувачів музею протягом шести робочих днів тижня (з вівторка по неділю). У який із днів тижня кількість відвідувачів була вдвічі більшою, ніж попереднього робочого дня?

А
середа
Б
четвер
В
п’ятниця
(правильна відповідь)
Г
субота
Д
неділя

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз графіка. Нам потрібно знайти день, коли кількість відвідувачів була рівно в 2 рази більшою за кількість у попередній робочий день.

Крок 2. Запишемо кількість відвідувачів для кожного дня, уважно зчитуючи дані зі стовпчастої діаграми:
Вівторок:

100

Середа:

300

Четвер:

300

П'ятниця:

600

Субота:

950

Неділя:

800

Крок 3. Перевіряємо умову для кожного дня, порівнюючи його з попереднім:
Середа (

300

) до вівторка (

100

300/100 = 3

рази.
Четвер (

300

) до середи (

300

): однаково (

1

раз).
П'ятниця (

600

) до четверга (

300

600/300 = 2

рази.

Висновок: Саме в п'ятницю кількість відвідувачів була рівно вдвічі більшою, ніж попереднього робочого дня.

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Група туристів рухається в напрямку, що утворює з північним напрямком кут $1 5^{\circ} ($ див. рисунок $)$ . Знайдіть кут $α$ між напрям $-$ ком руху туристів та західним напрямком.

А
$7 5^{\circ}$
Б
$10 5^{\circ}$
(правильна відповідь)
В
$11 5^{\circ}$
Г
$12 5^{\circ}$
Д
$9 5^{\circ}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. На рисунку зображено класичні координатні напрямки сторін світу. Ми знаємо, що кут між сусідніми основними напрямками, зокрема між північним (Північ) та західним (Захід) напрямками, становить рівно $9 0^{\circ}$ (тобто це прямий кут).

Крок 2. Покрокові обчислення. Можемо скласти просте рівняння:

α - 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

Переносимо відоме значення в праву частину з протилежним знаком:

α = 9 0^{\circ} + 1 5^{\circ}

α = 10 5^{\circ}

Висновок: Кут $α$ між напрямком руху туристів та західним напрямком дорівнює $10 5^{\circ}$ .

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть рівняння $\frac{1}{2 x} = \frac{1}{2 - 3 x}$ .

А
$- 2$
Б
$- 0, 4$
В
$2, 5$
Г
$0, 4$
(правильна відповідь)
Д
$2$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
У рівнянні є знаменники зі змінною

x

, які не можуть дорівнювати нулю, оскільки ділити на нуль заборонено. Запишемо обмеження:

2 x \neq = 0 ⟹ x \neq = 0

2 - 3 x \neq = 0 ⟹ - 3 x \neq = - 2 ⟹ x \neq = \frac{2}{3}

Отже, область допустимих значень включає всі дійсні числа, крім

x = 0

та

x = \frac{2}{3}

.

Крок 2. Стратегія розв’язання.
Помітимо, що чисельники обох дробів рівні між собою і дорівнюють

1

. Якщо чисельники рівні, то для рівності дробів мають бути рівними і їхні знаменники.

Крок 3. Перетворення та покрокові обчислення.
Прирівняємо знаменники двох дробів:

2 x = 2 - 3 x

Перенесемо доданок зі змінною

x

з правої частини рівняння в ліву, змінивши його знак на протилежний (плюс):

2 x + 3 x = 2

Додамо подібні доданки в лівій частині:

5 x = 2

Поділимо обидві частини рівняння на

5

, щоб знайти значення

x

x = \frac{2}{5}

Перетворимо звичайний дріб у десятковий, помноживши чисельник і знаменник на

2

(або виконавши ділення

2

на

5

у стовпчик):

x = \frac{4}{10} = 0, 4

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Порівняємо отриманий корінь із обмеженнями ОДЗ. Число

0, 4

не дорівнює ні

0

, ні

\frac{2}{3}

, тому воно є правильним і єдиним коренем рівняння.

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено правильну шестикутну призму $A BC D EF A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ . Скільки всього є прямих, що містять бічні ребра призми та є паралельними грані $A B B_{1} A_{1}$ ?

А
жодної
Б
лише дві
В
лише чотири
(правильна відповідь)
Г
лише п’ять
Д
шість

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз властивостей фігури. У правильній шестикутній призмі є

6

бічних ребер, і всі вони обов'язково паралельні одне одному.

Крок 2. Стратегія розв'язання. Згадаємо основну ознаку паралельності прямої та площини: пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, і сама не лежить у ній.

Крок 3. Покрокові обчислення. Будь-яка бічна грань (нехай це буде площина) утворюється рівно двома бічними ребрами. Оскільки всі

6

бічних ребер призми паралельні між собою, то будь-яке інше бічне ребро, яке не входить до складу обраної грані, буде автоматично паралельним цій грані (бо воно паралельне тим двом ребрам, які її формують).

Крок 4. Усього призма має

6

бічних ребер. Будь-якій одній грані належать рівно

2

ребра. Отже, кількість бічних ребер, які лежать поза цією гранню і є їй паралельними, становить:

6 - 2 = 4

Висновок: Завжди є лише чотири такі прямі.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Скоротіть дріб $\frac{4 b ^{2} + 20 b}{25 + 10 b + b ^{2}}$ .

А
$\frac{4}{5 + b}$
Б
$4 b$
В
$\frac{6}{25}$
Г
$4 b (5 + b)$
Д
$\frac{4 b}{5 + b}$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови.
Нам задано раціональний дріб, який потрібно скоротити. Для цього необхідно розкласти на множники вирази у чисельнику та знаменнику.

Крок 2. Стратегія розв’язання.
У чисельнику ми можемо винести спільний множник за дужки. У знаменнику помітимо формулу скороченого множення — квадрат суми:

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

.

Крок 3. Покрокові обчислення та перетворення.
1) Розглянемо спочатку чисельник дробу:

4 b^{2} + 20 b

.
Число

20

ділиться на

4

, тому спільним числовим множником є

4

. Для змінних

b^{2}

та

b

спільним множником є

b

у найменшому степені. Винесемо

4 b

за дужки:

4 b^{2} + 20 b = 4 b (b + 5)

2) Розглянемо знаменник дробу:

25 + 10 b + b^{2}

.
Запишемо цей тричлен у вигляді формули квадрата суми:

5^{2} + 2 \cdot 5 \cdot b + b^{2}

.
Це згортається у вираз:

(5 + b)^{2}

Оскільки від перестановки доданків сума не змінюється, вираз

(5 + b)

є абсолютно тотожним виразу

(b + 5)

. Запишемо квадрат суми як добуток двох одинакових дужок:

(b + 5) (b + 5)

.

Крок 4. Скорочення дробу.
Підставимо знайдені розклади назад у початковий дріб:

\frac{4 b ( b + 5 )}{( 5 + b ) ^{2}} = \frac{4 b ( b + 5 )}{( b + 5 ) ( b + 5 )}

Тепер мы можемо скоротити однаковий множник

(b + 5)

у чисельнику та знаменнику:

\frac{4 b}{b + 5}

Крок 5. Фінальний висновок.
Після скорочення отримали дріб

\frac{4 b}{5 + b}

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність $8^{2 x + 9} > 8^{x}$ .

А
$(- \infty; - 3)$
Б
$(- 3; + \infty)$
В
$(9; + \infty)$
Г
$(- 9; + \infty)$
(правильна відповідь)
Д
$(- \infty; - 9)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та стратегія розв'язання.
Перед нами показникова нерівність. Основи степенів в обох частинах нерівності однакові й дорівнюють

8

.

Крок 2. Порівняння показників.
Оскільки основа степеня

8

є більшою за одиницю (

8 > 1

), то показникові функції є зростаючими. Це означає, що при переході від степенів до їхніх показників знак нерівності зберігається (не змінюється). Тому ми можемо опустити основи та записати лінійну нерівність для показників:

2 x + 9 > x

Крок 3. Покрокові обчислення.
Перенесемо доданок

x

із правої частини нерівності в ліву, змінивши його знак на мінус, а число

9

— з лівої частини в праву, змінивши знак на мінус:

2 x - x > - 9

Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння:

x > - 9

Крок 4. Аналіз результату та запис відповіді.
Нерівність

x > - 9

показує, що розв'язком є всі дійсні числа, які розташовані правіше від числа

- 9

на числовій осі. Оскільки знак нерівності є строгим (

>

), точка

- 9

не включається у проміжок і дужка біля неї буде круглою.

Запишемо розв'язок у вигляді числового інтервалу:

x \in (- 9; + \infty)

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на відрізку $[- 5; 5]$ . На якому проміжку ця функція спадає?

А
$[-2; 2]$
(правильна відповідь)
Б
$[-5; -2]$
В
$[1; 6]$
Г
$[-3; 2]$
Д
$[2; 6]$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та графіка. Нам потрібно знайти проміжок спадання функції. Математичною мовою «функція спадає» означає, що при русі по графіку зліва направо (у напрямку зростання осі

x

) значення

y

(висота графіка) стає дедалі меншим. Тобто лінія графіка йде вниз.

Крок 2. Візуальний пошук локального максимуму. Знайдемо на графіку найвищу точку «пагорба», з якої графік починає опускатися. Дивлячись на клітинки осі

x

, ця точка знаходиться на координаті

x = - 2

.

Крок 3. Візуальний пошук локального мінімуму. Тепер знайдемо «дно западини» — точку, де графік перестає падати вниз і знову починає рости вгору. За клітинками осі

x

бачимо, що це відбувається на координаті

x = 2

.

Висновок: Графік безперервно йде вниз від точки з координатою

x = - 2

до точки з координатою

x = 2

. Тому функція спадає на відрізку

[- 2; 2]

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень щодо ромба є правильними?

I. Прямі, на яких лежать діагоналі ромба, ділять кути ромба навпіл.
II. Точка перетину діагоналей ромба рівновіддалена від сторін ромба.
III. Сума протилежних кутів ромба дорівнює $18 0^{\circ}$ .

А
лише І
Б
лише ІІ
В
лише І та ІІ
(правильна відповідь)
Г
лише ІІ та ІІІ
Д
І, ІІ та ІІІ

Правильна відповідь

Пояснення

Для визначення правильних тверджень детально розглянемо геометричні властивості ромба:

Твердження I. «Прямі, на яких лежать діагоналі ромба, ділять кути ромба навпіл.»
Це твердження є правильним. Однією з головних властивостей ромба є те, що його діагоналі ділять кути, з яких вони виходять, навпіл, тобто є бісектрисами внутрішніх кутів ромба.

Твердження II. «Точка перетину діагоналей ромба рівновіддалена від сторін ромба.»
Це твердження також є правильним. Точка перетину діагоналей є геометричним центром ромба і водночас центром кола, вписаного в цей ромб. Відстань від центра вписаного кола до будь-якої зі сторін ромба дорівнює його радіусу, тому ці відстані є абсолютно однаковими.

Твердження III. «Сума протилежних кутів ромба дорівнює $18 0^{\circ}$ .»
Це твердження є неправильним. У будь-кому паралелограмі (і ромбі зокрема) протилежні кути рівні між собою. Сума сусідніх кутів, що прилягають до однієї сторони, завжди дорівнює

18 0^{\circ}

, але сума протилежних кутів дорівнює

18 0^{\circ}

лише у випадку, якщо ромб є квадратом (у якого всі кути по

9 0^{\circ}

). Для довільного ромба це правило не діє.

Фінальний висновок:
Правильними є лише твердження I та II.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

Послідовність $(a_{n})$ задано формулою $n -$ го члена $a_{n} = 2 n^{2} - 3, 5 n$ . Визначте четвертий член цієї послідовності.

А
$2$
Б
$5$
В
$7$
Г
$14$
Д
$18$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови задачі.
Нам задано формулу загального (

n

-го) члена числової послідовності:

a_{n} = 2 n^{2} - 3, 5 n

. Літера

n

позначає порядковий номер члена послідовності. Нам необхідно знайти четвертий член цієї послідовності, отже його порядковий номер дорівнює чотирюом (

n = 4

).

Крок 2. Стратегія розв’язання.
Щоб обчислити значення

a_{4}

, потрібно у задану формулу замість кожної змінної

n

підставити число

4

і виконати арифметичні дії.

Крок 3. Покрокові обчислення.
Підставимо

n = 4

у формулу:

a_{4} = 2 \cdot 4^{2} - 3, 5 \cdot 4

Спершу виконуємо піднесення до степеня (це дія першого ступеня):

4^{2} = 4 \cdot 4 = 16

Тепер виконуємо операції множення за чергою:

2 \cdot 16 = 32

3, 5 \cdot 4 = 14

Наостанок виконаємо дію віднімання знайдених чисел:

a_{4} = 32 - 14 = 18

Крок 4. Фінальний висновок.
Значення четвертого члена послідовності дорівнює

18

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

Біля супермаркету в один ряд вирішили встановити чотири контейнери для сортування сміття (див. рисунок). Скількома різними способами можна розставити ці контейнери в ряд, якщо контейнер «Пластик» обов’язково повинен стояти лівіше від усіх інших?

А
$6$
(правильна відповідь)
Б
$12$
В
$48$
Г
$24$
Д
$3$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. У нас є

4

унікальні контейнери та

4

місця в ряд для них. Головне і єдине обмеження: контейнер «Пластик» обов'язково повинен стояти лівіше від усіх інших.

Крок 2. Стратегія розв'язання. Оскільки контейнер «Пластик» має бути найлівішим, його місце жорстко зафіксоване — це перша позиція зліва. Для нього є лише

1

варіант розташування. Нам залишається розставити

3

контейнери, що залишилися («Папір», «Скло», «Різне»), на

3

вільних місця.

Крок 3. Покрокові обчислення. Кількість способів розставити

3

різних об'єкти на

3

вільних місцях обчислюється за допомогою факторіала (це називається перестановками):

P_{3} = 3!

Розрахуємо значення цього факторіала:

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

Висновок: Існує рівно

6

різних способів розставити ці чотири контейнери за заданою умовою.

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці $(6; 2; 5)$ , яка дотикається до координатної площини $x z$ . Визначте діаметр цієї сфери.

А
$2$
Б
$4$
(правильна відповідь)
В
$6$
Г
$10$
Д
$12$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та визначення радіуса сфери.
Нам задано сферу, центр якої міститься в точці з координатами

(x_{0}; y_{0}; z_{0}) = (6; 2; 5)

. Також відомо, що ця сфера торкається координатної площини

x z

.

Коли сфера дотикається до площини

x z

, найкоротша відстань від її центра до цієї площини дорівнює радіусу сфери

R

. Відстань від будь-якої точки простору до площини

x z

дорівнює модулю її координати

y

.
Тому знайдемо радіус сфери:

R = ∣ y_{0} ∣ = ∣2∣ = 2

Крок 2. Стратегія розв’язання та обчислення діаметра.
В умові задачі нас просять знайти не радіус, а діаметр сфери. Згадаємо геометричний зв'язок між ними: діаметр (

D

) завжди вдвічі більший за радіус (

R

D = 2 \cdot R

Підставимо обчислене значення радіуса сфери:

D = 2 \cdot 2 = 4

Крок 3. Фінальний висновок.
Діаметр заданої сфери дорівнює

4

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Для кутів $α$ і $β$ виконується умова $α + β = 9 0^{\circ}$ . Визначте $sin β$ , якщо $cos α = \frac{1}{4}$ .

А
$\frac{1}{4}$
(правильна відповідь)
Б
$\frac{3}{4}$
В
$\frac{15}{4}$
Г
$- \frac{1}{4}$
Д
$- \frac{15}{4}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та стратегія розв'язання.
За умовою задачі сума двох кутів дорівнює

9 0^{\circ}

, тобто

α + β = 9 0^{\circ}

. Нам необхідно знайти значення

sin β

, маючи значення

cos α = \frac{1}{4}

. Виразимо кут

β

через кут

α

з початкової рівності:

β = 9 0^{\circ} - α

Крок 2. Застосування тригонометричних формул зведення.
Підставимо отриманий вираз замість кута

β

у функцію синуса:

sin β = sin (9 0^{\circ} - α)

Згадаємо формули зведення тригонометричних функцій. Якщо в аргументі присутній кут

9 0^{\circ}

, то функція змінює свою назву на протилежну (синус переходить у косинус). Кут

(9 0^{\circ} - α)

знаходиться в першій координатній чверті, де всі тригонометричні функції є додатними, тому знак залишається плюсом:

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

Отже, ми отримали тотожність:

sin β = cos α

.

Крок 3. Обчислення результату.
Оскільки за умовою задачі

cos α = \frac{1}{4}

, а мы довели, що

sin β = cos α

, то шукане значення дорівнює:

sin β = \frac{1}{4}

Крок 4. Фінальний висновок.
Значення

sin β

дорівнює

\frac{1}{4}

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $A BC D$ , на основах $BC$ й $A D$ якої вибрано відповідно точки $M$ і $K$ так, що $B K ∥ C D$ і $K M ∥ A B . ∠ A = 6 0^{\circ} . KD = 8$ см $, CM = 2$ см. Визначте площу цієї трапеції.

А
$113$ см $^{2}$
Б
$33$ см $^{2}$
В
$333$ см $^{2}$
(правильна відповідь)
Г
$66$ см $^{2}$
Д
$663$ см $^{2}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та фігури. Маємо рівнобічну трапецію

A BC D

, отже,

A B = C D

. За умовою на основах є точки

M

K

, і нам дано дві пари паралельних прямих:

B K ∥ C D

та

K M ∥ A B

.

Крок 2. Розглянемо чотирикутник

K BC D

. Його протилежні сторони паралельні (основи

BC ∥ KD

, а також

B K ∥ C D

за умовою). Це означає, що

K BC D

— паралелограм. У паралелограма протилежні сторони рівні, тому

BC = KD = 8

см.

Крок 3. Знайдемо довжину відрізка

BM

. Оскільки точка

M

лежить на стороні

BC

, то

BC = BM + CM

. Виразимо звідси

BM

BM = BC - CM = 8 - 2 = 6 см

Крок 4. Розглянемо інший чотирикутник

A BM K

. Він також є паралелограмом, оскільки

A K ∥ BM

(бо це частини паралельних основ трапеції) і

K M ∥ A B

(за умовою). Знову ж таки, протилежні сторони рівні:

A K = BM = 6

см.

Крок 5. Знайдемо довжину нижньої основи

A D

повністю. Вона складається з двох послідовних відрізків:

A D = A K + KD = 6 + 8 = 14 см

Крок 6. Знайдемо висоту трапеції. Проведемо висоту

B H

до основи

A D

. У рівнобічній трапеції відрізок від вершини гострого кута до основи висоти (

A H

) обчислюється за простою формулою піврізниці основ:

A H = \frac{A D - BC}{2} = \frac{14 - 8}{2} = 3 см

Крок 7. Розглянемо прямокутний трикутник

A B H

. За умовою кут

A = 6 0^{\circ}

. Використаємо означення тангенса (відношення протилежного катета до прилеглого), щоб знайти висоту

B H

tan (6 0^{\circ}) = \frac{B H}{A H} ⟹ B H = A H \cdot tan (6 0^{\circ})

B H = 3 \cdot 3 = 33 см

Крок 8. Обчислення площі. Формула площі трапеції — це добуток півсуми основ на висоту:

S = \frac{BC + A D}{2} \cdot B H

S = \frac{8 + 14}{2} \cdot 33 = \frac{22}{2} \cdot 33 = 11 \cdot 33 = 333 см^{2}

Висновок: Площа трапеції дорівнює

333

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь ${2 x + y^{3} = - 15, 4 x - y^{3} = 51.$

Якщо $(x_{0}; y_{0}) -$ розв’язок системи, то $y_{0} =$

А
$- 3$
(правильна відповідь)
Б
$6$
В
$- 27$
Г
$- 9$
Д
$3$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та стратегія розв'язання.
Задано систему двох рівнянь із двома змінними:

{2 x + y^{3} = - 15, 4 x - y^{3} = 51.

Звернемо увагу на доданок зі змінною

y

: у першому рівнянні ми маємо

+ y^{3}

, а в другому —

- y^{3}

. Ці коефіцієнти є протилежними за знаком, тому найпростішим і найшвидшим методом розв'язання цієї системи є метод додавання рівнянь.

Крок 2. Покрокове додавання рівнянь системи.
Додамо ліві частини рівнянь до лівих, а праві — до правих:

(2 x + y^{3}) + (4 x - y^{3}) = - 15 + 51

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки. Компоненти

y^{3}

та

- y^{3}

взаємно знищуються, даючи в сумі

0

2 x + 4 x = 51 - 15

6 x = 36

Поділимо обидві частини рівняння на

6

, щоб знайти невідомий множник

x

x = \frac{36}{6}

x = 6

Ми знайшли першу координату розв'язку:

x_{0} = 6

.

Крок 3. Знаходження значення змінної

y

.
Тепер підставимо знайдене значення

x = 6

у перше рівняння системи, щоб обчислити

y

2 \cdot 6 + y^{3} = - 15

12 + y^{3} = - 15

Перенесемо число

12

з лівої частини рівняння в праву, змінивши його знак на протилежний (мінус):

y^{3} = - 15 - 12

y^{3} = - 27

Щоб знайти

y

, потрібно знайти кубічний корінь (корінь третього степеня) з числа

- 27

. Подумаємо, яке число при множенні саме на себе тричі дає

- 27

(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = 9 \cdot (- 3) = - 27

Отже:

y = 3 - 27 = - 3

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Шукане значення координати

y_{0}

для розв'язку системи дорівнює

- 3

Завдання 16

на встановлення відповідності

Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням (А – Д).

1
$lo g_{2} \frac{1}{16}$
2
$\frac{2}{0 , 25}$
3
$(2^{- 1})^{2}$

А
$- 4$
Б
$- \frac{1}{4}$
В
$\frac{1}{4}$
Г
$2$
Д
$4$

Правильна відповідь

1 — А; 2 — Д; 3 — В

Пояснення

Для встановлення відповідності обчислимо значення кожного виразу покроково:

1. Перший вираз: $lo g_{2} \frac{1}{16}$
За означенням логарифма, нам потрібно знайти степінь, до якого слід піднести основу

2

, щоб отримати число

\frac{1}{16}

.
Представимо дріб

\frac{1}{16}

як степінь двійки. Ми знаємо, що

16 = 2^{4}

. Тоді за властивістю від'ємного показника степеня:

\frac{1}{16} = \frac{1}{2 ^{4}} = 2^{- 4}

Підставимо це значення в логарифм:

lo g_{2} \frac{1}{16} = lo g_{2} (2^{- 4}) = - 4

Отже, першому виразу (1) відповідає значення

- 4

(варіант А).

2. Другий вираз: $\frac{2}{0 , 25}$
Спочатку знайдемо квадратний корінь із десяткового дробу в знаменнику. Оскільки

0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25

, то:

0, 25 = 0, 5

Підставимо це значення назад у дріб:

\frac{2}{0 , 5}

Щоб виконати ділення на десятковий дріб, помножимо чисельник і знаменник на

10

, перенісши кому на один знак праворуч:

\frac{20}{5} = 4

Отже, другому виразу (2) відповідає значення

4

(варіант Д).

3. Третій вираз: $(2^{- 1})^{2}$
За властивістю степенів, при піднесенні степеня до степеня їхні показники перемножуються:

(2^{- 1})^{2} = 2^{- 1 \cdot 2} = 2^{- 2}

Застосуємо формулу степеня з від'ємним показником (

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

2^{- 2} = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}

Отже, третьому виразу (3) відповідає значення

\frac{1}{4}

(варіант В).

Завдання 17

на встановлення відповідності

Доберіть до функції (1–3) властивість її графіка (А – Д).

1
$y = x - 2 + 1$
2
$y = - 5^{x}$
3
$y = x^{3}$

А
симетричний відносно початку координат
Б
симетричний відносно осі $y$
В
розміщений лише в $III$ та $I V$ координатних чвертях
Г
розміщений лише в $I$ координатній чверті
Д
графік функції проходить через точку $(0; 1)$

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — В; 3 — А

Пояснення

Проаналізуємо властивості кожної із заданих функцій та особливості розташування їхніх графіків на координатній площині:

1. Функція $y = x - 2 + 1$
Знайдемо область визначення (ОДЗ) цієї функції. Вираз під арифметичним квадратним коренем обов'язково має бути невід'ємним:

x - 2 \geq 0 ⟹ x \geq 2

Сам квадратний корінь також завжди набуває тільки невід'ємних значень (

x - 2 \geq 0

). Якщо ми додамо до нього

1

, то значення функції

y

будуть більшими або рівними за одиницю:

y \geq 1

Ми бачимо, що і аргумент

x \geq 2

, і функція

y \geq 1

набувають виключно додатних значень. Область, де обидві координати додатні, є першою координатною чвертю. Отже, графік цієї функції розміщений лише в I координатній чверті (варіант Г).

2. Функція $y = - 5^{x}$
Показникова функція

5^{x}

завжди є строго додатною для будь-яких значень

x

(

5^{x} > 0

). Оскільки перед цим виразом стоїть знак мінус, то функція

y

буде набувати тільки строго від'ємних значень:

y < 0

Аргумент

x

може бути будь-яким дійсним числом, а значення

y

завжди від'ємні. Це означає, що весь графік розташований нижче від осі абсцис (

x

), тобто у третій та четвертій чвертях. Отже, графік функції розміщений лише в III та IV координатних чвертях (варіант В).

3. Функція $y = x^{3}$
Ця функція є непарною, оскільки для неї виконується умова:

f (- x) = (- x)^{3} = - x^{3} = - f (x)

. Графік будь-якої непарної функції має центральну симетрію відносно початку координат — точки

(0; 0)

. Отже, графік функції є симетричним відносно початку координат (варіант А).

Завдання 18

на встановлення відповідності

На рисунку зображено прямокутник у який вписано коло з центром у точці $O$ , що дотикається до сторін $BC$ й $A D$ , та два півкола, побудованих на сторонах $A B$ і $C D$ як на діаметрах, що мають лише одну спільну точку з колом $. BC = 12$ см. Установіть відповідність між відрізком $(1 - 3)$ та його довжиною $($ А $-$ Д $)$ .

1
радіус кола
2
$C D$
3
$A O$

А
$3$ см
Б
$4$ см
В
$33$ см
Г
$6$ см
Д
$35$ см

Правильна відповідь

1 — А; 2 — Г; 3 — Д

Пояснення

Крок 1. Аналіз геометричної конструкції. Нехай

r

— радіус центрального кола. Оскільки це коло дотикається до верхньої та нижньої сторін прямокутника (

BC

та

A D

), його діаметр дорівнює висоті цього прямокутника:

C D = A B = 2 r

Крок 2. Зрозуміємо розміри півкіл по боках. Два півкола побудовані на сторонах

A B

C D

як на діаметрах. Це означає, що їхні діаметри дорівнюють

2 r

, а отже, радіуси цих півкіл також дорівнюють

r

.

Крок 3. Знайдемо величину радіуса

r

. За умовою центральне коло дотикається до обох півкіл лише в одній точці (зовнішній дотик). Це означає, що загальна ширина прямокутника (наприклад, сторона

BC

) ідеально складається з: радіуса лівого півкола (

r

), повного діаметра центрального кола (

2 r

) та радіуса правого півкола (

r

BC = r + 2 r + r = 4 r

Оскільки нам відомо, що

BC = 12

см, складемо рівняння:

4 r = 12 ⟹ r = 3 см

Крок 4. Тепер по черзі дамо відповіді на всі пункти завдання:

1. Радіус кола. Ми його щойно обчислили, він дорівнює

3

см (Відповідає варіанту А).

2. Відрізок $C D$ . Це висота прямокутника, яка, як ми з'ясували, дорівнює двом радіусам:

C D = 2 r = 2 \cdot 3 = 6 см

(Відповідає варіанту Г).

3. Відрізок $A O$ . Це відстань від лівого нижнього кута

A

до центра кола

O

. Побудуємо уявний прямокутний трикутник

A H O

, де

H

— основа перпендикуляра, опущеного з точки

O

на сторону

A D

. Оскільки коло розташоване рівно по центру, відрізок

A H

— це рівно половина довжини прямокутника, тому

A H = 12/2 = 6

см. Висота

O H

— це радіус кола, отже

O H = 3

см. Застосуємо теорему Піфагора для трикутника

A H O

A O = A H^{2} + O H^{2} = 6^{2} + 3^{2} = 36 + 9 = 45

Розкладемо корінь, виділивши повний квадрат:

A O = 9 \cdot 5 = 35 см

(Відповідає варіанту Д).

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Знайдіть різницю між найбільшим і найменшим значеннями функції $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 20$ на відрізку $[1; 5]$ .

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та стратегія розв'язання.
Щоб знайти найбільше та найменше значення функції на заданому закритому відрізку

[1; 5]

, спочатку знайдемо критичні точки функції за допомогою похідної. Далі перевіримо, які з цих точок належать нашому відрізку, і обчислимо значення функції у цих точках, а також на кінцях відрізка.

Крок 2. Знаходження похідної функції.
Знайдемо похідну функції

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 20

, використовуючи правила диференціювання степенів:

f^{'} (x) = (x^{3})^{'} - (3 x^{2})^{'} + (20)^{'}

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 2 x + 0 = 3 x^{2} - 6 x

Крок 3. Знаходження критичних точок.
Прирівняємо отриману похідну до нуля, щоб знайти точки екстремуму:

3 x^{2} - 6 x = 0

Винесемо спільний множник

3 x

за дужки:

3 x (x - 2) = 0

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

3 x = 0 ⟹ x_{1} = 0

x - 2 = 0 ⟹ x_{2} = 2

Крок 4. Перевірка критичних точок на належність відрізку

[1; 5]

.
- Перша критична точка

x_{1} = 0

не належить відрізку

[1; 5]

, оскільки число

0

лежить лівіше від одиниці. Цю точку ми відкидаємо.
- Друга критична точка

x_{2} = 2

належить відрізку

[1; 5]

(

1 \leq 2 \leq 5

). Її ми будемо досліджувати.

Крок 5. Обчислення значень початкової функції.
Обчислимо значення функції

f (x)

у критичній точці

x = 2

та на кінцях відрізка (

x = 1

та

x = 5

):

1) На лівому кінці відрізка при

x = 1

f (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 20 = 1 - 3 + 20 = 18

2) У критичній точці при

x = 2

f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 20 = 8 - 3 \cdot 4 + 20 = 8 - 12 + 20 = 16

3) На правому кінці відрізка при

x = 5

f (5) = 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} + 20 = 125 - 3 \cdot 25 + 20 = 125 - 75 + 20 = 70

Крок 6. Визначення найбільшого, найменшого значень та обчислення різниці.
Порівняємо отримані результати:

18

16

та

70

.
- Найбільше значення функції на відрізку дорівнює:

f_{max} = 70

- Найменше значення функції на відрізку дорівнює:

f_{min} = 16

Знайдемо шукану різницю між ними:

f_{max} - f_{min} = 70 - 16 = 54

Крок 7. Фінальний висновок.
Різниця між найбільшим і найменшим значеннями функції на заданому відрізку становить

54

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Опубліковане в соціальній мережі відео за перші дві доби сумарно набрало $1980$ вподобайок. За першу добу кількість вподобайок була на $20%$ більшою, ніж за другу. Скільки вподобайок набрало відео за першу добу?

Правильна відповідь

1080

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та стратегія розв'язання.
Складемо математичну модель задачі за допомогою лінійного рівняння. Нехай кількість вподобайок, яку відео набрало за другу добу, дорівнює

x

.

Крок 2. Вираження величин через змінну.
За умовою задачі за першу добу кількість вподобайок була на

20%

більшою, ніж за другу. Знайдемо

20%

від

x

: це дорівнює

0, 2 x

. Тоді за першу добу кількість вподобайок становила:

x + 0, 2 x = 1, 2 x

Крок 3. Складання та розв'язання рівняння.
Сумарна кількість вподобайок за перші дві доби дорівнює

1980

. Складемо рівняння суми:

1, 2 x + x = 1980

Зведемо подібні доданки (пам'ятаємо, що біля другого доданка коефіцієнт дорівнює

1

2, 2 x = 1980

Щоб знайти

x

, поділимо обидві частини рівняння на

2, 2

. Перенесемо кому праворуч для спрощення ділення:

x = \frac{19800}{22}

Виконаємо ділення у стовпчик:

198

ділиться на

22

рівно

9

разів, отже:

x = 900

Це означає, що за другу добу відео отримало

900

вподобайок.

Крок 4. Обчислення шуканої величини.
За умовою задачі нам потрібно визначити кількість вподобайок саме за першу добу. Ми виразили її як

1, 2 x

. Підставимо отримане значення

x = 900

1, 2 \cdot 900 = 12 \cdot 90 = 1080

Крок 5. Фінальний висновок.
За першу добу опубліковане відео набрало

1080

вподобайок.

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено куб та циліндр. Об’єм циліндра дорівнює $288 π$ см $^{3}$ , а площа його осьового перерізу дорівнює $722$ см $^{2}$ . Діаметр основи циліндра дорівнює діаго $-$ налі грані куба. Визначте об’єм $($ у см $^{3}$ ) куба.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз параметрів циліндра. Нехай

R

— радіус основи циліндра, а

H

— його висота. Формула об'єму циліндра:

V = π R^{2} H

. За умовою цей об'єм дорівнює

288 π

, тому маємо перше рівняння:

π R^{2} H = 288 π ⟹ R^{2} H = 288

Крок 2. Розглянемо осьовий переріз циліндра. Візуально це прямокутник, сторонами якого є діаметр основи (

2 R

) та висота циліндра (

H

). Площа цього перерізу задається формулою

S = 2 R \cdot H

. За умовою вона дорівнює

722

, тому маємо друге рівняння:

2 R \cdot H = 722 ⟹ R \cdot H = 362

Крок 3. Знайдемо радіус циліндра

R

. Для цього поділимо перше рівняння на друге (ліву частину на ліву, праву на праву):

\frac{R ^{2} H}{R H} = \frac{288}{36 2}

Після скорочення

H

та одного

R

отримаємо:

R = \frac{8}{2}

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, домноживши чисельник і знаменник на

2

R = \frac{8 2}{2} = 42 см

Крок 4. Знайдемо діаметр основи циліндра (

d

). Він удвічі більший за радіус:

d = 2 R = 2 \cdot 42 = 82 см

Крок 5. Перехід до параметрів куба. За умовою завдання, діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі грані куба. Нехай ребро куба позначається як

a

. Кожна грань куба — це квадрат. Діагональ квадрата зі стороною

a

обчислюється за відомою формулою

a 2

. Прирівняємо ці значення:

a 2 = 82

Поділивши обидві частини на

2

, отримаємо довжину ребра куба:

a = 8

см.

Крок 6. Обчислення об'єму куба. Об'єм куба дорівнює його ребру, піднесеному до третього степеня:

V = a^{3} = 8^{3} = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512 см^{3}

Висновок: Об'єм куба становить

512

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Знайдіть суму всіх цілих значень $a$ , за кожного з яких корінь рівняння $\frac{l o g _{5} ( 4 x - 2 a + 1 ) - 2}{x ^{2} - a ^{2}} = 0$ є цілим числом.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Нам задано рівняння з дробом, що містить логарифм у чисельнику та квадратний корінь у знаменнику:

\frac{lo g _{5} ( 4 x - 2 a + 1 ) - 2}{x ^{2} - a ^{2}} = 0

Дріб дорівнює нулю тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник визначений і не дорівнює нулю. Запишемо обмеження ОДЗ:
1) Вираз під логарифмом має бути строго додатним:

4 x - 2 a + 1 > 0

.
2) Вираз під квадратним коренем у знаменнику має бути строго додатним (оскільки ділити на нуль не можна, корінь не може дорівнювати нулю):

x^{2} - a^{2} > 0 ⟹ x^{2} > a^{2} ⟹ ∣ x ∣ > ∣ a ∣

.

Крок 2. Стратегія розв’язання.
Прирівняємо чисельник дробу до нуля:

lo g_{5} (4 x - 2 a + 1) - 2 = 0

lo g_{5} (4 x - 2 a + 1) = 2

Крок 3. Покрокові перетворення та знаходження кореня.
За означенням логарифма (якщо

lo g_{b} y = c

, то

y = b^{c}

), перейдемо до підлогарифмічного виразу:

4 x - 2 a + 1 = 5^{2}

4 x - 2 a + 1 = 25

Перенесемо всі доданки, які не містять

x

, у праву частину рівняння, змінюючи їхні знаки на протилежні:

4 x = 25 - 1 + 2 a

4 x = 24 + 2 a

Поділимо обидві частини рівняння на

4

, щоб виразити корінь

x

x = \frac{24 + 2 a}{4}

x = 6 + 0, 5 a

Крок 4. Аналіз обмежень ОДЗ для знайденого кореня.
1) Перевіримо першу умову (

4 x - 2 a + 1 > 0

). Оскільки мы прирівняли цей вираз до

25

, а

25 > 0

, ця умова задовольняється автоматично.
2) Перевіримо другу умову (

x^{2} - a^{2} > 0

). Підставимо отриманий вираз

x = 6 + 0, 5 a

у нерівність:

(6 + 0, 5 a)^{2} > a^{2}

Розкриємо квадрат суми за формулою

(m + n)^{2} = m^{2} + 2 mn + n^{2}

36 + 2 \cdot 6 \cdot 0, 5 a + (0, 5 a)^{2} > a^{2}

36 + 6 a + 0, 25 a^{2} > a^{2}

Перенесемо всі доданки в ліву частину нерівності:

36 + 6 a + 0, 25 a^{2} - a^{2} > 0

- 0, 75 a^{2} + 6 a + 36 > 0

Помножимо нерівність на

- 4

(при цьому знак нерівності зміниться на протилежний):

3 a^{2} - 24 a - 144 < 0

Поділимо обидві частини нерівності на

3

a^{2} - 8 a - 48 < 0

Знайдемо корені квадратного рівняння

a^{2} - 8 a - 48 = 0

за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює

8

, добуток дорівнює

- 48

. Цими числами є

a_{1} = 12

та

a_{2} = - 4

.
Оскільки знак нерівності строго менше нуля (

<

), розв'язком є інтервал між цими коренями:

a \in (- 4; 12)

Крок 5. Дослідження умови цілого кореня.
За умовою задачі корінь рівняння

x = 6 + 0, 5 a

має бути цілим числом. Оскільки число

6

вже є цілим, то доданок

0, 5 a

(або

\frac{a}{2}

) обов'язково повинен бути цілим числом. Це означає, що параметр

a

має бути парним числом.

Крок 6. Вибір цілих парних значень

a

та обчислення їхньої суми.
Знайдемо всі цілі парні числа, які лежать всередині отриманого інтервалу

(- 4; 12)

:
Ці числа:

- 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10

.
Обчислимо їхню суму:

Сума = (- 2) + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10

Числа

- 2

та

2

взаємно знищуються у сумі. Додамо решту значень:

Сума = 4 + 6 + 8 + 10 = 28

Крок 7. Фінальний висновок.
Сума всіх цілих значень параметра

a

, за яких корінь є цілим числом, дорівнює

28