НМТ з предмета «Математика», 10 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Комп’ютерна графіка використовує RGB-кодування, яке дозволяє відтворити $16, 7$ мільйонів кольорів. Позначте запис цього числа в стандартному вигляді.

А
$1, 67 \cdot 1 0^{8}$
Б
$167 \cdot 1 0^{5}$
В
$1, 67 \cdot 1 0^{6}$
Г
$1, 67 \cdot 1 0^{7}$
(правильна відповідь)
Д
$16, 7 \cdot 1 0^{6}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Запишемо число

16, 7

мільйонів у вигляді звичайного числа. Оскільки один мільйон — це

1000000

(або

1 0^{6}

), то маємо:

16, 7 \cdot 1000000 = 16700000

Крок 2. Згадаємо, що таке стандартний вигляд числа. Це запис у вигляді

a \cdot 1 0^{n}

, де число

a

має бути від

1

до

10

(включно з

1

, але строго менше

10

), а

n

— ціле число.

Крок 3. Перетворимо

16700000

. Щоб отримати число від

1

до

10

, поставимо кому після першої цифри:

1, 67

. Тепер порахуємо, на скільки позицій ми подумки змістили кому вліво — на

7

позицій.
Отже, правильний запис:

1, 67 \cdot 1 0^{7}

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

У музичній школі опитали $100$ учнів щодо улюбленого жанру музики. Результати опитування наведено на діаграмі (див. рисунок). За діаграмою визначте різницю між кількістю шанувальників попмузики і класичної.

А
$20$
Б
$10$
(правильна відповідь)
В
$25$
Г
$35$
Д
$40$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Нам потрібно знайти різницю між кількістю учнів, які обрали попмузику та класичну музику. Дані беремо з гістограми.

Крок 2. Зчитування даних з діаграми. Знаходимо стовпчик «Попмузика». Його висота відповідає поділці

25

. Отже, попмузику обрали

25

учнів. Знаходимо стовпчик «Класична». Його висота відповідає поділці

15

. Отже, класичну музику обрали

15

учнів.

Крок 3. Обчислення. Знаходимо різницю:

25 - 15 = 10

Крок 4. Висновок. Різниця становить

10

, що відповідає варіанту Б.

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

На рисунку схематично зображено стелаж для книг і декору. Кожен ярус стелажа розділено на дві частини, причому ширина $A B$ більшої частини вдвічі більша за ширину $BC$ меншої частини. Визначте ширину $A B$ , якщо ширина $A C$ всього стелажа дорівнює $147$ см.

А
$92$ см
Б
$94$ см
В
$96$ см
Г
$97$ см
Д
$98$ см
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Маємо відрізок

A C

, який складається з двох частин:

A B

та

BC

. Загальна довжина

A C = 147

см. Відомо, що

A B

вдвічі більше за

BC

.

Крок 2. Введення змінної. Нехай довжина меншої частини

BC = x

см. Тоді довжина більшої частини

A B = 2 x

см.

Крок 3. Складання та розв'язання рівняння. Оскільки загальна ширина стелажа дорівнює сумі його частин, маємо:

A B + BC = A C

Підставимо наші значення:

2 x + x = 147

3 x = 147

x = 147 : 3

x = 49

Отже,

BC = 49

см.

Крок 4. Знаходження шуканої величини. Нам потрібно знайти ширину

A B

. Оскільки

A B = 2 x

, то:

A B = 2 c d o t 49 = 98

см.

Крок 5. Висновок. Ширина більшої частини становить

98

см (варіант Д).

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність $7 - x < 2$

А
$(- \infty; - 5)$
Б
$(- \infty; 9)$
В
$(- 5; + \infty)$
Г
$(- \infty; 5)$
Д
$(5; + \infty)$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Маємо лінійну нерівність:

7 - x < 2

Крок 2. Перенесемо відомі доданки (числа) в одну сторону, а невідомі (змінні) залишимо в іншій. Перенесемо

7

у праву частину, обов'язково змінивши знак на протилежний:

- x < 2 - 7

- x < - 5

Крок 3. Нам потрібно знайти

x

, а не

- x

. Для цього помножимо (або поділимо) обидві частини нерівності на

- 1

. Важливо: при множенні або діленні нерівності на від'ємне число, знак нерівності обов'язково змінюється на протилежний (з

<

на

>

x > 5

Крок 4. Запишемо результат у вигляді проміжку. Оскільки

x

строго більше за

5

, це означає, що нам підходять усі числа від

5

(не включаючи саму п'ятірку) до плюс нескінченності.
Отже, правильна відповідь:

(5; + \infty)

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено куб $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Скільки всього є прямих, кожна з яких проходить через дві вершини грані $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ і паралельна площині грані $A BC D$ ?

А
жодної
Б
дві
В
чотири
Г
шість
(правильна відповідь)
Д
більше шести

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Дано куб. Потрібно знайти кількість прямих, які проходять через дві вершини верхньої грані

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

і є паралельними до площини нижньої грані

A BC D

.

Крок 2. Взаємне розміщення площин. У кубі протилежні грані паралельні. Отже, площина грані

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

повністю паралельна площині грані

A BC D

.

Крок 3. Властивість паралельних площин. Якщо пряма лежить в одній з двох паралельних площин, то вона автоматично паралельна другій площині. Це означає, що БУДЬ-ЯКА пряма, яка проходить через вершини верхньої грані (тобто лежить у її площині), буде паралельною площині

A BC D

.

Крок 4. Підрахунок прямих. Нам треба порахувати всі можливі унікальні прямі, що проходять через будь-які дві з чотирьох вершин

A_{1}

B_{1}

C_{1}

D_{1}

.
Ці вершини утворюють квадрат. Прямі, що проходять через дві вершини — це сторони та діагоналі цього квадрата.
Сторони:

A_{1} B_{1}

B_{1} C_{1}

C_{1} D_{1}

D_{1} A_{1}

(всього

4

прямі).
Діагоналі:

A_{1} C_{1}

B_{1} D_{1}

(всього

2

прямі).
Разом маємо:

4 + 2 = 6

прямих.

Крок 5. Висновок. Усього існує

6

таких прямих. Правильна відповідь — Г.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Спростіть вираз $\frac{a ^{3} a ^{5}}{a ^{4}}$ , де $a \neq = 0$ .

А
$a^{4}$
(правильна відповідь)
Б
$a^{12}$
В
$a^{2}$
Г
$a^{11}$
Д
$a^{8}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Застосуємо властивості степенів. Спочатку спростимо чисельник. При множенні степенів з однаковими основами їхні показники додаються:

a^{3} \cdot a^{5} = a^{3 + 5} = a^{8}

Тоді наш вираз набуває вигляду:

\frac{a ^{8}}{a ^{4}}

Крок 2. Риска дробу означає дію ділення. При діленні степенів з однаковими основами показник знаменника віднімається від показника чисельника:

a^{8} : a^{4} = a^{8 - 4} = a^{4}

Крок 3. Висновок. Після спрощення ми отримали

a^{4}

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Позначте проміжок, якому належить корінь рівняння $(\frac{1}{3})^{2 x - 1} = 9$ .

А
$(-2; -1)$
Б
$(-1; 0)$
(правильна відповідь)
В
$(0; 1)$
Г
$(1; 2)$
Д
$(2; + \infty)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Маємо показникове рівняння. Основна стратегія — звести обидві частини рівняння до однакової основи. Зведемо все до основи

3

.

Крок 2. Перетворимо ліву частину. Дріб

\frac{1}{3}

можна записати за допомогою від'ємного показника як

3^{- 1}

. Тоді:

(\frac{1}{3})^{2 x - 1} = (3^{- 1})^{2 x - 1}

При піднесенні степеня до степеня показники перемножуються:

3^{- 1 \cdot (2 x - 1)} = 3^{- 2 x + 1}

Крок 3. Перетворимо праву частину. Число

9

— це квадрат трійки, тобто

3^{2}

.

Крок 4. Прирівняємо утворені вирази з однаковою основою:

3^{- 2 x + 1} = 3^{2}

Оскільки основи однакові, маємо право прирівняти їхні показники:

- 2 x + 1 = 2

Крок 5. Розв'яжемо отримане лінійне рівняння:

- 2 x = 2 - 1

- 2 x = 1

x = 1 : (- 2)

x = - 0, 5

Крок 6. Аналіз результату. Нам треба знайти, якому з наведених у варіантах проміжків належить знайдений корінь. Число

- 0, 5

знаходиться на координатній прямій рівно між

- 1

та

0

, отже, воно належить проміжку

(- 1; 0)

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку $(-\infty; + \infty)$ . Скористайтеся рисунком і визначте нулі цієї функції.

А
$-1; 0; 8$
Б
$2; 4; 8$
В
$-1; 3$
Г
$2; 4$
(правильна відповідь)
Д
$0; 8$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Потрібно знайти нулі функції

y = f (x)

за її графіком.

Крок 2. Теоретична довідка. Нулі функції — це значення аргументу (змінної

x

), при яких значення функції дорівнює нулю (

y = 0

). На графіку нулям функції відповідають абсциси (координати

x

) точок перетину графіка з горизонтальною віссю

O x

.

Крок 3. Робота з графіком. Шукаємо точки, де намальована крива перетинає або торкається горизонтальної осі

x

. Бачимо дві такі точки перетину. Їхні координати по осі

x

дорівнюють

2

та

4

. (Точка перетину з вертикальною віссю

y

на рівні

8

нас не цікавить, оскільки там

x = 0

, а не

y = 0

).

Крок 4. Висновок. Нулями даної функції є числа

2

та

4

. Правильна відповідь: Г.

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Кути гострокутного трикутника $A BC$ задовольняють умову $∠ A < ∠ B < ∠ C$ . Які з наведених тверджень є правильними?

I. $A B$ – найдовша сторона трикутника $A BC$ .
II. Трикутник $A BC$ – рівнобедрений.
III. Довжина висоти, проведеної з вершини $A$ , менша за довжину сторони $A C$ .

А
лише ІІ
Б
лише ІІІ
В
лише І та ІІІ
(правильна відповідь)
Г
лише ІІ та ІІІ
Д
І, ІІ та ІІІ

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Проаналізуємо умову. Нам дано гострокутний трикутник

A BC

, у якого кути співвідносяться так:

∠ A < ∠ B < ∠ C

.

Крок 2. Перевіримо твердження I: «

A B

— найдовша сторона». Згадаємо важливу властивість трикутника: навпроти найбільшого кута завжди лежить найдовша сторона. Оскільки кут

C

є найбільшим за умовою, то сторона, що лежить навпроти нього (а це сторона

A B

), дійсно є найдовшою. Твердження I — правильне.

Крок 3. Перевіримо твердження II: «Трикутник

A BC

— рівнобедрений». Щоб трикутник був рівнобедреним, він повинен мати хоча б два однакові кути. Але за нашою умовою всі три кути різні (маємо строгі нерівності

<

). Отже, трикутник є різностороннім. Твердження II — неправильне.

Крок 4. Перевіримо твердження III: «Довжина висоти, проведеної з вершини

A

, менша за довжину сторони

A C

». Уявімо, що ми провели висоту

A H

до сторони

BC

. Утворюється прямокутний трикутник

A H C

, де

∠ A H C = 9 0^{\circ}

. У цьому прямокутному трикутнику сторона

A C

лежить навпроти прямого кута, тобто є гіпотенузою. Наша висота

A H

— це катет. З геометрії ми знаємо, що гіпотенуза завжди довша за будь-який катет, тому

A H < A C

. Твердження III — правильне.

Крок 5. Фінальний висновок. З усіх тверджень правильними є лише I та III.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

В арифметичній прогресії ( $a_{n}$ ) справджується рівність $a_{5} - a_{3} = 4, 8$ .

Тоді $a_{6} - a_{3} =$

А
$7, 2$
(правильна відповідь)
Б
$5, 4$
В
$6, 4$
Г
$9, 6$
Д
$8, 4$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Згадаємо основну формулу

n

-го члена арифметичної прогресії:

a_{n} = a_{1} + d (n - 1)

де

a_{1}

— перший член прогресії, а

d

— її різниця.

Крок 2. Запишемо п'ятий та третій члени через цю формулу:

a_{5} = a_{1} + 4 d

a_{3} = a_{1} + 2 d

Крок 3. Підставимо ці вирази у відому з умови рівність

a_{5} - a_{3} = 4, 8

(a_{1} + 4 d) - (a_{1} + 2 d) = 4, 8

Розкриємо дужки:

a_{1} + 4 d - a_{1} - 2 d = 4, 8

2 d = 4, 8

Звідси знайдемо різницю прогресії

d

d = 4, 8 : 2 = 2, 4

Крок 4. Тепер нам потрібно знайти значення виразу

a_{6} - a_{3}

. Розпишемо

a_{6}

аналогічно:

a_{6} = a_{1} + 5 d

Крок 5. Знайдемо різницю між шостим та третім членами:

a_{6} - a_{3} = (a_{1} + 5 d) - (a_{1} + 2 d) = a_{1} + 5 d - a_{1} - 2 d = 3 d

Крок 6. Оскільки ми на Кроці 3 вже з'ясували, що

d = 2, 4

, просто підставимо це число:

3 d = 3 \cdot 2, 4 = 7, 2

Відповідь:

7, 2

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

На парковку, де вільними є десять паркомісць, заїжджають два автомобілі. Скільки всього є різних варіантів розміщення цих автомобілів на вільних паркомісцях?

А
$20$
Б
$19$
В
$45$
Г
$90$
(правильна відповідь)
Д
$100$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Уважно прочитаємо умову задачі. Є

10

вільних місць і на парковку заїжджають

2

автомобілі. Нам потрібно вибрати

2

місця з

10

і поставити на них ці автомобілі. Оскільки автомобілі різні (наприклад, один належить власнику А, інший — власнику Б), то порядок їх розміщення має значення.

Крок 2. Застосуємо базове правило множення з комбінаторики.
Для першого автомобіля є вибір з

10

вільних паркомісць. Він може стати на будь-яке з них.
Коли перший автомобіль вже запаркувався, одне місце стає зайнятим. Тоді для другого автомобіля залишається

9

вільних варіантів.

Крок 3. Загальна кількість усіх можливих варіантів дорівнює добутку кількостей виборів для кожного з автомобілів:

10 \cdot 9 = 90

Альтернативний спосіб: Можна використати формулу розміщень. Нам треба знайти кількість розміщень з

10

елементів по

2

, бо порядок вибору елементів важливий:

A_{10}^{2} = \frac{10 !}{( 10 - 2 )!} = \frac{10 !}{8 !} = 9 \cdot 10 = 90

Обидва способи дають відповідь

90

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу із центром у точці $M (-3; 1; 5)$ , яка дотикається до координатної площини $x y$ у точці $N$ . Визначте координати точки $N$ .

А
$(-3; 1; 10)$
Б
$(-3; 1; 0)$
(правильна відповідь)
В
$(3; -1; 0)$
Г
$(-3; 1; -5)$
Д
$(3; -1; 5)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Проаналізуємо умову. Нам дано сферу, центр якої знаходиться у точці

M (- 3; 1; 5)

. Відомо, що ця сфера дотикається до координатної площини

x y

у точці

N

. Нам треба знайти координати цієї точки

N

.

Крок 2. Згадаємо геометричний зміст дотику сфери до площини. Радіус сфери, який проведено в точку дотику, завжди є перпендикулярним до цієї площини. З цього випливає, що відрізок

MN

перпендикулярний до площини

x y

.

Крок 3. Якщо опустити перпендикуляр з будь-якої точки простору на координатну площину

x y

, ми отримаємо ортогональну проєкцію цієї точки. Тобто точка

N

є просто проєкцією центру

M

на площину

x y

.

Крок 4. Як знайти координати проєкції точки на площину

x y

? Оскільки площина

x y

— це «підлога» нашої системи координат, координати

x

та

y

у проєкції залишаються абсолютно такими ж, як і у початкової точки. А от висота (координата

z

) опускається на цю площину, тому стає рівною нулю.

Крок 5. Беремо координати нашого центру

M (- 3; 1; 5)

.
Залишаємо

x = - 3

,
Залишаємо

y = 1

,
Замінюємо

z = 5

на

z = 0

.
Отже, шукані координати точки

N

такі:

(- 3; 1; 0)

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Якщо числа $x$ і $y$ задовольняють умови $5 x - y = 4$ і $5 x + y \neq = 0$ , то $\frac{5 x + y}{25 x ^{2} - y ^{2}} =$

А
$0, 25$
(правильна відповідь)
Б
$- 4$
В
$0, 75$
Г
$4$
Д
$- 0, 25$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Розглянемо вираз, який нам потрібно обчислити:

\frac{5 x + y}{25 x ^{2} - y ^{2}}

Крок 2. Уважно подивимося на знаменник:

25 x^{2} - y^{2}

. Його можна подати як різницю квадратів двох виразів:

(5 x)^{2} - y^{2}

.
Застосуємо відому формулу скороченого множення (різниця квадратів:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

25 x^{2} - y^{2} = (5 x - y) (5 x + y)

Крок 3. Підставимо розкладений знаменник назад у наш дріб. Він набуде такого вигляду:

\frac{5 x + y}{( 5 x - y ) ( 5 x + y )}

Крок 4. За умовою задачі сказано, що вираз

5 x + y

не дорівнює нулю (

5 x + y \neq = 0

). Це означає, що ми маємо повне математичне право скоротити чисельник і знаменник дробу на цей однаковий множник

(5 x + y)

.
Після скорочення у чисельнику залишиться одиниця, а в знаменнику — перша дужка:

\frac{1}{5 x - y}

Крок 5. Звернемось ще раз до умови. Нам прямо дано, що

5 x - y = 4

. Підставимо це конкретне числове значення замість усього нашого знаменника:

\frac{1}{4}

Крок 6. Залишилося перетворити звичайний дріб на десятковий (для цього поділимо

1

на

4

стовпчиком або згадаємо, що чверть — це

0, 25

\frac{1}{4} = 0, 25

Отже, значення виразу дорівнює

0, 25

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

У паралелограмі $A BC D$ проведено діагональ $B D$ й перпендикуляр $B K$ до сторони $A D$ (див. рисунок). Визначте площу паралелограма $A BC D$ , якщо $B D = 24$ см, $∠ A D B = 3 0^{\circ}$ , а радіус кола, описаного навколо трикутника $A K B$ , дорівнює $37$ см.

А
$144$ см $^{2}$
Б
$288$ см $^{2}$
В
$1083$ см $^{2}$
Г
$2163$ см $^{2}$
(правильна відповідь)
Д
$1443$ см $^{2}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Дано паралелограм

A BC D

. Потрібно знайти його площу за формулою

S = A D c d o tB K

, де

A D

— основа, а

B K

— висота. Нам невідомі ні висота, ні основа, але є додаткові дані про трикутники

De lt a B KD

та

De lt a A K B

.

Крок 2. Розгляд трикутника

B KD

. Це прямокутний трикутник, оскільки висота

B K p er p A D

. У ньому відома гіпотенуза

B D = 24

см та гострий кут

an g l e B DK = 3 0^{c i rc}

(оскільки точка

K

лежить на прямій

A D

, кут

A D B

B DK

— це один і той самий кут).
За властивістю катета, що лежить навпроти кута

3 0^{c i rc}

, він дорівнює половині гіпотенузи. Отже, висота:

B K = B D : 2 = 24 : 2 = 12

см.
За допомогою косинуса знайдемо катет

KD

(частину основи):

KD = B D c d o t cos (3 0^{c i rc}) = 24 c d o t f r a c s q r t 3 2 = 12 s q r t 3

см.

Крок 3. Аналіз трикутника

A K B

. Він також прямокутний (

∠ A K B = 9 0^{c i rc}

). Відомо, що радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює

R = 3 s q r t 7

см. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи, а радіус дорівнює половині гіпотенузи.
Тому гіпотенуза

A B

дорівнює двом радіусам:

A B = 2 R = 2 c d o t 3 s q r t 7 = 6 s q r t 7

см.

Крок 4. Знаходження відрізка

A K

. У прямокутному

De lt a A K B

за теоремою Піфагора маємо:

A B^{2} = A K^{2} + B K^{2}

(6 s q r t 7)^{2} = A K^{2} + 1 2^{2}

36 c d o t 7 = A K^{2} + 144

252 = A K^{2} + 144

A K^{2} = 252 - 144 = 108

A K = s q r t 108 = s q r t 36 c d o t 3 = 6 s q r t 3

см.

Крок 5. Знаходження сторони

A D

та площі. За рисунком точка

K

лежить між точками

A

та

D

. Тоді сторона

A D

складається з двох відрізків:

A D = A K + KD = 6 s q r t 3 + 12 s q r t 3 = 18 s q r t 3

см.
Тепер можемо обчислити площу паралелограма:

S = A D c d o tB K = 18 s q r t 3 c d o t 12 = 216 s q r t 3

см

^{2}

.

Крок 6. Висновок. Площа дорівнює

216 s q r t 3

см

^{2}

, правильна відповідь — Г.

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь ${lo g_{2} x + lo g_{2} y = 2, x + \frac{1}{y} = 10.$

Якщо $(x_{0}; y_{0})$ – розв’язок системи, то $x_{0} + 2 y_{0} =$

А
$1$
Б
$2$
В
$3$
Г
$6$
Д
$9$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Оскільки у першому рівнянні системи присутні логарифми, ми маємо врахувати, що підлогарифмічні вирази обов'язково повинні бути строго більшими за нуль. Крім того, у другому рівнянні є ділення на

y

, тому

y

не може дорівнювати нулю.
ОДЗ для нашої системи:

x > 0

та

y > 0

.

Крок 2. Спростимо перше рівняння:

lo g_{2} x + lo g_{2} y = 2

.
За властивістю суми логарифмів з однаковою основою (

lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b \cdot c)

), об'єднаємо ліву частину в один логарифм:

lo g_{2} (x \cdot y) = 2

За базовим означенням логарифма перейдемо від логарифмічного рівняння до показникового. Основа

2

у степені

2

дає підлогарифмічний вираз:

x \cdot y = 2^{2}

x \cdot y = 4

Крок 3. Перепишемо нашу систему з урахуванням цього перетворення. Вона стала значно простішою:

{x \cdot y = 4 x + \frac{1}{y} = 10

Крок 4. Застосуємо метод підстановки. З першого рівняння виразимо змінну

x

через

y

(оскільки

y > 0

, ми можемо сміливо ділити на нього обидві частини):

x = \frac{4}{y}

Крок 5. Підставимо знайдений вираз у друге рівняння замість

x

\frac{4}{y} + \frac{1}{y} = 10

Дроби мають однакові знаменники, тому ми просто додаємо їхні чисельники:

\frac{4 + 1}{y} = 10

\frac{5}{y} = 10

Крок 6. Знайдемо значення

y

з цієї пропорції:

10 y = 5

y = \frac{5}{10} = 0, 5

Одразу перевіряємо по ОДЗ:

0, 5 > 0

, отже корінь нам підходить.

Крок 7. Знайдемо відповідне значення

x

, підставивши

y = 0, 5

у формулу підстановки з Кроку 4:

x = \frac{4}{0 , 5} = 8

Перевіряємо по ОДЗ:

8 > 0

, все чудово. Отже, розв'язком системи є пара чисел:

x_{0} = 8

y_{0} = 0, 5

.

Крок 8. Обчислимо значення фінального виразу

x_{0} + 2 y_{0}

, як того вимагає умова задачі:

8 + 2 \cdot 0, 5 = 8 + 1 = 9

Отже, правильна відповідь:

9

Завдання 16

на встановлення відповідності

Установіть відповідність між виразом (1–3), де $π$ – відома математична константа, та його значенням (А – Д).

1
$cos (- \frac{π}{3})$
2
$lo g_{π} \frac{1}{π}$
3
$∣1 - π ∣ - ∣ π - 1∣$

А
$- 1$
Б
$- 0, 5$
В
$0$
Г
$0, 5$
Д
$2 π$

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — А; 3 — В

Пояснення

Крок 1. Розглянемо перший вираз:

cos (- \frac{π}{3})

.
Згадаємо властивості тригонометричних функцій. Косинус є єдиною парною функцією серед основних, це означає, що мінус в аргументі просто зникає:

cos (- x) = cos (x)

. Тоді:

cos (- \frac{π}{3}) = cos (\frac{π}{3})

Кут

\frac{π}{3}

радіан відповідає

6 0^{\circ}

. З таблиці значень тригонометричних функцій ми знаємо, що

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

. У вигляді десяткового дробу це

0, 5

.
Отже, вираз 1 дорівнює

0, 5

(це варіант Д).

Крок 2. Розглянемо другий вираз:

lo g_{π} \frac{1}{π}

.
Дріб

\frac{1}{π}

ми можемо записати у вигляді степеня з від'ємним показником як

π^{- 1}

. Підставимо це в логарифм:

lo g_{π} π^{- 1}

За властивістю логарифма

lo g_{a} a^{c} = c

, цей вираз просто дорівнює показнику степеня, тобто

- 1

.
Отже, вираз 2 дорівнює

- 1

(це варіант А).

Крок 3. Розглянемо третій вираз:

∣1 - π ∣ - ∣ π - 1∣

.
Тут треба використати означення модуля: модуль додатного числа дорівнює самому цьому числу, а модуль від'ємного числа розкривається з протилежним знаком (щоб результат став додатним).
Візьмемо наближене значення

π \approx 3, 14

.
Оцінимо підмодульний вираз у першому модулі:

1 - π \approx 1 - 3, 14 = - 2, 14

. Значення від'ємне, отже, розкриваємо цей модуль, змінюючи знаки на протилежні:

∣1 - π ∣ = - (1 - π) = - 1 + π = π - 1

Тепер оцінимо підмодульний вираз у другому модулі:

π - 1 \approx 3, 14 - 1 = 2, 14

. Значення додатне, тому просто знімаємо знаки модуля без змін:

∣ π - 1∣ = π - 1

Тепер підставимо наші розкриті модулі у початковий вираз (не забуваючи про знак мінус між ними):

(π - 1) - (π - 1) = π - 1 - π + 1 = 0

Отже, вираз 3 дорівнює

0

(це варіант В).

Завдання 17

на встановлення відповідності

На рисунку зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку $[-2; 4]$ . Для будь-якого значення $x$ із проміжку $(-2; 4)$ існує похідна $f^{'} (x)$ . До кожного початку (1–3) речення доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1
Найбільше значення функції $y = f (x)$ на проміжку $[-2; 4]$ дорівнює
2
Функція набуває від’ємного значення, якщо $x =$
3
$f^{'} (x) = 0$ , якщо $x =$

А
$- 2$
Б
$- 1$
В
$2$
Г
$4$
Д
$5$

Правильна відповідь

1 — Д; 2 — А; 3 — В

Пояснення

Крок 1. Аналіз графіка. Маємо графік функції

y = f (x)

, визначеної на проміжку

[- 2; 4]

.

Крок 2. Розгляд першого твердження. «Найбільше значення функції

y = f (x)

на проміжку

[- 2; 4]

дорівнює...»
Шукаємо найвищу точку на графіку. Вона знаходиться на правому кінці графіка, де

x = 4

. Значення функції (координата

y

) у цій точці дорівнює

5

. Отже, найбільше значення дорівнює

5

. Це відповідає варіанту Д.

Крок 3. Розгляд другого твердження. «Функція набуває від'ємного значення, якщо

x = ...

»
Нам потрібно знайти такий

x

, при якому графік знаходиться нижче осі

O x

(тобто

y < 0

). Перевіримо запропоновані варіанти:
Якщо

x = - 2

, то за графіком

y = - 3

. Це значення є від'ємним. (Підходить).
Якщо

x = - 1

, то функція дорівнює нулю (

y = 0

, графік перетинає вісь).
Якщо

x = 2

, то графік знаходиться вище осі

O x

(значення

y = 1

, додатне).
Отже, правильний варіант — А.

Крок 4. Розгляд третього твердження. «

f^{'} (x) = 0

, якщо

x = ...

»
Похідна функції дорівнює нулю в точках локальних екстремумів (там, де дотична до графіка горизонтальна). На даному графіку ми бачимо два такі екстремуми: локальний максимум («вершина» пагорба) та локальний мінімум («дно» западини).
Максимум досягається при

x = 1

(цього варіанта немає серед відповідей).
Мінімум досягається при

x = 2

(спад закінчується і починається зростання,

y = - 1

).
Отже,

f^{'} (2) = 0

. Це відповідає варіанту В.

Крок 5. Висновок. Правильні відповіді:

1

— Д,

2

— А,

3

— В.

Завдання 18

на встановлення відповідності

На рисунку зображено ромб $A BC D$ й рівнобедрений трикутник $A KD$ , які лежать в одній площині. $∠ B A D = 5 0^{\circ}$ , $∠ A KD = 4 0^{\circ}$ . Узгодьте кут (1–3) з його градусною мірою (А – Д).

1
$∠ K A B$
2
$∠ A BC$
3
$∠ KD C$

А
$11 0^{\circ}$
Б
$12 0^{\circ}$
В
$13 0^{\circ}$
Г
$15 0^{\circ}$
Д
$16 0^{\circ}$

Правильна відповідь

1 — Б; 2 — В; 3 — Д

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Маємо ромб

A BC D

і рівнобедрений трикутник

A KD

(за позначками на рисунку бічні сторони

A K = KD

). Відомі кути:

an g l e B A D = 5 0^{c i rc}

(гострий кут ромба) та

an g l e A KD = 4 0^{c i rc}

(кут при вершині рівнобедреного трикутника).

Крок 2. Обчислення кутів трикутника

A KD

. Оскільки

De lt a A KD

рівнобедрений з основою

A D

, кути при основі рівні:

an g l eK A D = an g l eKD A

. Сума кутів трикутника дорівнює

18 0^{c i rc}

.
Тоді:

an g l eK A D = an g l eKD A = (18 0^{c i rc} - 4 0^{c i rc}) : 2 = 14 0^{c i rc} : 2 = 7 0^{c i rc}

.

Крок 3. Обчислення кутів ромба

A BC D

. У ромба сума сусідніх кутів дорівнює

18 0^{c i rc}

, а протилежні кути рівні.
Знайдемо тупий кут ромба:

an g l e A BC = 18 0^{c i rc} - an g l e B A D = 18 0^{c i rc} - 5 0^{c i rc} = 13 0^{c i rc}

.
Це дає відповідь на друге запитання (

2

— В).
Протилежний кут також дорівнює

an g l e A D C = 13 0^{c i rc}

.

Крок 4. Знаходження

an g l eK A B

(перше запитання). За рисунком бачимо, що промені

A K

A B

лежать по різні боки від прямої

A D

. Тому загальний кут є сумою двох кутів:

an g l eK A B = an g l eK A D + an g l eD A B = 7 0^{c i rc} + 5 0^{c i rc} = 12 0^{c i rc}

.
Отже,

1

— Б.

Крок 5. Знаходження

an g l eKD C

(третє запитання). Кут

KD C

складається з двох кутів

an g l eKD A

та

an g l e A D C

. Але за правилами геометрії, якщо промені

DK

D C

лежать по різні боки від прямої

A D

, ми повинні додати ці кути. За рисунком так і є:

an g l eKD C = an g l eKD A + an g l e A D C = 7 0^{c i rc} + 13 0^{c i rc} = 20 0^{c i rc}

.
Проте, зазвичай кут між променями вимірюється найменшою градусною мірою (до

18 0^{c i rc}

). Щоб знайти внутрішній кут, віднімемо цю суму від повного кута:

36 0^{c i rc} - 20 0^{c i rc} = 16 0^{c i rc}

.
Отже,

3

— Д.

Крок 6. Висновок. Відповіді:

1

— Б,

2

— В,

3

— Д.

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Обчисліть інтеграл $1 \int 4 x (6 x - 1) d x$

Правильна відповідь

118,5

Пояснення

Крок 1. Маємо обчислити визначений інтеграл

1 \int 4 x (6 x - 1) d x

. Для зручності спочатку спростимо підінтегральний вираз, просто розкривши дужки:

x \cdot (6 x - 1) = 6 x^{2} - x

Тепер наш інтеграл набуває такого вигляду:

1 \int 4 (6 x^{2} - x) d x

Крок 2. Знайдемо первісну

F (x)

для утвореної функції, використовуючи базову табличну формулу для степеневої функції

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

.
Знайдемо первісну для першого доданка (

6 x^{2}

6 \cdot \frac{x ^{3}}{3}

. Скоротимо

6

3

, отримаємо

2 x^{3}

.
Знайдемо первісну для другого доданка (

x

, або

x^{1}

\frac{x ^{2}}{2}

, що зручно записати як

0, 5 x^{2}

.
Отже, загальний вираз для первісної має вигляд:

F (x) = 2 x^{3} - 0, 5 x^{2}

.

Крок 3. Застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца для визначеного інтеграла:

a \int b f (x) d x = F (b) - F (a)

. У нашому випадку верхня межа

b = 4

, а нижня межа

a = 1

.

Крок 4. Обчислимо значення первісної на верхній межі, підставивши замість

x

число

4

F (4) = 2 \cdot 4^{3} - 0, 5 \cdot 4^{2}

F (4) = 2 \cdot 64 - 0, 5 \cdot 16

F (4) = 128 - 8 = 120

Крок 5. Обчислимо значення первісної на нижній межі, підставивши замість

x

число

1

F (1) = 2 \cdot 1^{3} - 0, 5 \cdot 1^{2}

F (1) = 2 \cdot 1 - 0, 5 \cdot 1 = 2 - 0, 5 = 1, 5

Крок 6. Знайдемо шукану різницю за формулою:

F (4) - F (1) = 120 - 1, 5 = 118, 5

Отже, значення інтеграла дорівнює

118, 5

Завдання 20

з відкритою відповіддю

У таблиці наведено дані крокоміра про кількість (у тис.) кроків Олени за тиждень.

День тижня	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Нд
Кількість кроків, тис.	$6, 4$	$5, 6$	$7$	$5, 8$	$6, 2$	$6, 4$	$6$

Наступного тижня вона планує збільшити середню кількість кроків за день на $20%$ порівняно із середньою кількістю кроків, зафіксованих цього тижня. Скільки в середньому (у тис.) кроків за день протягом наступного тижня має робити Олена?

Правильна відповідь

7,44

Пояснення

Крок 1. Спочатку нам потрібно знайти загальну сумарну кількість кроків, які Олена зробила за весь поточний тиждень. Для цього акуратно додамо всі показники з таблиці за кожен з

7

днів:

6, 4 + 5, 6 + 7 + 5, 8 + 6, 2 + 6, 4 + 6

Для зручності підрахунку згрупуємо числа, які в сумі дають цілі значення:

(6, 4 + 5, 6) = 12

(5, 8 + 6, 2) = 12

Залишаються числа:

7 + 6, 4 + 6 = 19, 4

Тепер додамо ці проміжні результати:

12 + 12 + 19, 4 = 43, 4

(тис. кроків загалом за тиждень).

Крок 2. Знайдемо поточну середню кількість кроків за один день. Для цього загальну суму (

43, 4

) розділимо на кількість днів у тижні (на

7

43, 4 : 7 = 6, 2

(тис. кроків — це середня норма цього тижня).

Крок 3. За умовою, наступного тижня Олена хоче збільшити цю середню кількість кроків на

20%

.
Спочатку знайдемо, скільки ж саме тисяч кроків становлять ці

20%

від її поточної норми (

6, 2

).
Пам'ятаємо, що

20%

— це те саме, що дріб

0, 2

. Помножимо середнє значення на

0, 2

6, 2 \cdot 0, 2 = 1, 24

(саме на таку кількість тисяч кроків вона планує збільшити норму).

Крок 4. Додамо це збільшення до її поточної середньої норми:

6, 2 + 1, 24 = 7, 44

Альтернативний підхід до кроків 3-4: Якщо значення збільшується на

20%

, це означає, що нове значення становитиме

100% + 20% = 120%

від старого. У вигляді десяткового дробу це

1, 2

. Тоді можна відразу помножити:

6, 2 \cdot 1, 2 = 7, 44

.

Крок 5. Висновок. Протягом наступного тижня Олена має робити в середньому

7, 44

тис. кроків на день.

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено циліндр і правильну трикутну піраміду. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу основи циліндра. Висоти циліндра й піраміди рівні. Визначте об’єм (у см $^{3}$ ) $V$ піраміди, якщо площа основи циліндра дорівнює площі його бічної поверхні та становить $108 π$ см $^{2}$ .

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та параметрів фігур. Нам потрібно знайти об'єм правильної трикутної піраміди. Формула об'єму піраміди:

V = f r a c 13 S_{t e x t осн} c d o t H

Для цього треба знайти площу її основи та висоту. За умовою, радіус описаного кола піраміди (

R

) та її висота (

H

) дорівнюють відповідним вимірам циліндра.

Крок 2. Знаходження радіуса

R

. Відомо, що площа основи циліндра становить

108 p i

см

^{2}

. Формула площі основи циліндра:

S = p i R^{2}

. Тоді:

p i R^{2} = 108 p i

R^{2} = 108

R = s q r t 108 = s q r t 36 c d o t 3 = 6 s q r t 3

см.

Крок 3. Знаходження висоти

H

. Відомо, що площа бічної поверхні циліндра також дорівнює

108 p i

см

^{2}

. Формула площі бічної поверхні:

S_{t e x t біч} = 2 p i R H

. Тоді:

2 p i R H = 108 p i

2 R H = 108

R H = 54

Підставимо знайдене значення

R

6 s q r t 3 c d o t H = 54

H = f r a c 54 6 s q r t 3 = f r a c 9 s q r t 3 = f r a c 9 s q r t 3 3 = 3 s q r t 3

см.

Крок 4. Знаходження площі основи піраміди. В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник. Площу правильного трикутника через радіус описаного кола

R

можна знайти за формулою:

S_{t e x t осн} = f r a c 3 s q r t 3 4 R^{2}

.
Оскільки ми вже знаємо, що

R^{2} = 108

, маємо:

S_{t e x t осн} = f r a c 3 s q r t 3 4 c d o t 108 = 3 s q r t 3 c d o t 27 = 81 s q r t 3

см

^{2}

.

Крок 5. Обчислення об'єму піраміди. Тепер підставимо знайдену площу основи та висоту у формулу об'єму:

V = f r a c 13 S_{t e x t осн} c d o t H

V = f r a c 13 c d o t 81 s q r t 3 c d o t 3 s q r t 3

V = 81 s q r t 3 c d o t s q r t 3

V = 81 c d o t 3 = 243

см

^{3}

.

Крок 6. Висновок. Об'єм піраміди дорівнює

243

см

^{3}

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Визначте суму всіх цілих значень $a$ , за кожного з яких рівняння $\frac{x \cdot ( 5 ^{x^{2} - (2 a - 8) x} - 1 )}{10 - x} = 0$ має два різні корені.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Маємо рівняння у вигляді дробу, який дорівнює нулю. Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому має зміст і не дорівнює нулю. Також пам'ятаємо, що під арифметичним квадратним коренем можуть знаходитися виключно невід'ємні числа (більші або рівні нулю).
Випишемо всі ці обмеження (ОДЗ):
1) Для кореня у чисельнику:

x \geq 0

2) Для кореня у знаменнику:

10 - x > 0

(тут строго більше за нуль, бо на нуль ділити категорично заборонено).
Розв'яжемо другу нерівність:

- x > - 10

x < 10

Перетнемо ці дві умови на числовій прямій. Отримуємо ОДЗ для

x

x \in [0; 10)

. Тобто нас влаштують лише ті корені рівняння, які належать цьому проміжку.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Прирівняємо чисельник дробу до нуля:

x \cdot (5^{x^{2} - (2 a - 8) x} - 1) = 0

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Розпадається рівняння на два окремих випадки:
1)

x = 0

5^{x^{2} - (2 a - 8) x} - 1 = 0

Крок 3. Пошук коренів з кожного випадку.
Розглянемо перший множник:

x = 0

x = 0

Обов'язково перевіряємо це значення по нашій ОДЗ: число

0

включено до проміжку

[0; 10)

. Отже,

x = 0

— це наш гарантований перший корінь. Він існує при будь-якому значенні параметра

a

.

Розглянемо другий множник:

5^{x^{2} - (2 a - 8) x} - 1 = 0

Перенесемо одиницю вправо:

5^{x^{2} - (2 a - 8) x} = 1

Оскільки будь-яке число (крім нуля) в нульовому степені дорівнює

1

, запишемо

1

як

5^{0}

5^{x^{2} - (2 a - 8) x} = 5^{0}

Основи однакові, маємо право прирівняти показники степенів:

x^{2} - (2 a - 8) x = 0

Це неповне квадратне рівняння. Винесемо спільний множник

x

за дужки:

x \cdot (x - (2 a - 8)) = 0

Знову маємо добуток. Або

x = 0

(цей корінь ми вже знайшли вище, він не дає нам нового розв'язку), або вираз у дужках дорівнює нулю:

x - (2 a - 8) = 0

x = 2 a - 8

Отже, наш потенційний другий корінь має вигляд

2 a - 8

.

Крок 4. Аналіз умови «рівняння має два різні корені».
Щоб рівняння мало рівно два різні корені, другий знайдений корінь (

2 a - 8

) повинен відповідати двом важливим умовам:
По-перше, він не повинен збігатися з першим коренем. Тобто він не має дорівнювати нулю, інакше корені «злипнуться» і розв'язок буде лише один.
По-друге, він обов'язково має належати до нашої ОДЗ (тобто потрапляти в проміжок від

0

включно до

10

не включно).
Об'єднаємо ці вимоги:
Оскільки

2 a - 8 \neq = 0

і одночасно

2 a - 8 \geq 0

, то маємо строгу нерівність

2 a - 8 > 0

.
З іншого боку (обмеження ОДЗ),

2 a - 8 < 10

.
Запишемо це у вигляді системи або подвійної нерівності:

0 < 2 a - 8 < 10

Крок 5. Розв'яжемо подвійну нерівність, щоб знайти обмеження для параметра

a

.
Додамо число

8

до всіх трьох частин нерівності:

0 + 8 < 2 a - 8 + 8 < 10 + 8

8 < 2 a < 18

Тепер поділимо всі частини на

2

(оскільки

2

додатне, знаки нерівності не змінюються):

4 < a < 9

Ось ми й знайшли проміжок для параметра

a

.

Крок 6. Фінальний висновок.
За умовою нас просять знайти суму всіх цілих значень

a

, при яких виконується умова.
Випишемо всі цілі числа, які лежать строго між

4

та

9

(самі

4

9

не беремо, бо нерівності строгі). Це числа:

5, 6, 7, 8

.
Знайдемо їхню суму:

5 + 6 + 7 + 8 = 26

Відповідь:

26