НМТ з предмета «Математика», 8 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Пляшку об’ємом $750$ мл на $\frac{2}{3}$ заповнили соком. Скільки соку залишилося в ній, якщо відлили $150$ мл соку?

А
$250$ мл
Б
$600$ мл
В
$300$ мл
Г
$450$ мл
Д
$350$ мл
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Ця задача розв'язується у дві дії.

Крок 1. Знайдемо початкову кількість соку в пляшці.
Нам відомо, що пляшку об'ємом

750

мл заповнили на

\frac{2}{3}

. Щоб знайти дріб від числа, потрібно це число помножити на даний дріб:

750 \cdot \frac{2}{3} = \frac{750 \cdot 2}{3}

Поділимо

750

на

3

, отримаємо

250

. Тепер помножимо на

2

250 \cdot 2 = 500 мл

Отже, спочатку в пляшці було

500

мл соку.

Крок 2. Знайдемо, скільки соку залишилося після того, як частину відлили.
Від початкової кількості соку (

500

мл) віднімемо об'єм соку, який відлили (

150

мл):

500 - 150 = 350 мл

Таким чином, у пляшці залишилося

350

мл соку.

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено графік залежності кількості переглядів відеоролика (у тисячах) від часу (у годинах) з моменту його публікації. Укажіть проміжок часу, протягом якого кількість переглядів зростала найшвидше.

А
$[0; 4]$
Б
$[4; 8]$
В
$[8; 10]$
(правильна відповідь)
Г
$[12; 16]$
Д
$[18; 20]$

Правильна відповідь

Пояснення

Аналіз умови та стратегія розв'язання:
На графіку відображено, як змінювалася кількість переглядів відеоролика протягом

24

годин. Швидкість зростання кількості переглядів визначається тим, наскільки стрімко графік підіймається вгору (тобто нахилом лінії). Чим крутіший підйом, тим більше переглядів було отримано за одиницю часу.

Покроковий аналіз проміжків:

1) Проміжок

[0; 4]

(від

0

до

4

годин): графік майже горизонтальний, кількість переглядів зросла від

0

до приблизно

2

тисяч. Зростання дуже повільне.

2) Проміжок

[4; 8]

(від

4

до

8

годин): кількість переглядів зросла від

2

тисяч до

6

тисяч. Приріст становить

6 - 2 = 4

тисячі за

4

години.

3) Проміжок

[8; 10]

(від

8

до

10

годин): графік стрімко йде вгору. Кількість переглядів зросла від

6

тисяч до

12

тисяч. Тобто всього за

2

години відео отримало

12 - 6 = 6

тисяч переглядів! Це дає найбільшу швидкість —

3

тисячі переглядів за годину.

4) Проміжок

[12; 16]

(від

12

до

16

годин): лінія стає більш пологою, приріст становить лише близько

2

тисяч переглядів за

4

години.

5) Проміжок

[18; 20]

(від

18

до

20

годин): графік практично не змінюється по висоті, приріст мінімальний.

Висновок:
Найбільша швидкість зростання кількості переглядів була на проміжку від

8

до

10

годин.

Правильна відповідь: В

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Ділянка складається з прямокутного трикутника та прямокутника (див. рисунок). За наведеними на рисунку розмірами сторін визначте периметр цієї ділянки.

А
$28$ м
Б
$35$ м
В
$38$ м
(правильна відповідь)
Г
$48$ м
Д
$94$ м

Правильна відповідь

Пояснення

Аналіз умови та стратегія розв'язання:
План ділянки складається з двох фігур: прямокутного трикутника (зверху) та прямокутника (знизу). Нам потрібно знайти периметр всієї ділянки. Периметр — це сума довжин усіх зовнішніх сторін фігури. Пунктирна лінія є внутрішньою межею, тому вона в периметр не входить.

Покрокові обчислення:

Крок 1. Знайдемо довжину пунктирної лінії. Вона є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами

8

м та

6

м. Застосуємо теорему Піфагора:

c = a^{2} + b^{2}

c = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10 м

Крок 2. Визначимо довжину нижньої сторони ділянки. Оскільки нижня частина фігури — це прямокутник, його протилежні сторони рівні. Верхня сторона цього прямокутника (пунктирна лінія) дорівнює

10

м, отже, і нижня зовнішня сторона також дорівнює

10

м.

Крок 3. Обчислимо загальний периметр ділянки, додавши всі її зовнішні сторони (бічні сторони прямокутника дорівнюють

7

м кожна):

P = 8 + 6 + 7 + 10 + 7

P = 14 + 7 + 10 + 7 = 38 м

Висновок:
Периметр ділянки дорівнює

38

м.

Правильна відповідь: В

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

Позначте число, що є розв’язком системи нерівностей ${x + 10 > 0, 5 - x > 0.$

А
$- 5$
(правильна відповідь)
Б
$10$
В
$15$
Г
$- 10$
Д
$5$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Розв'яжемо першу нерівність системи:

x + 10 > 0

Перенесемо число

10

у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

x > - 10

Крок 2. Розв'яжемоську другу нерівність системи:

5 - x > 0

Перенесемо число

5

у праву частину нерівності зі зміною знака:

- x > - 5

Тепер помножимо або поділимо обидві частини нерівності на

- 1

. Пам'ятаємо важливе правило: при множенні або діленні нерівності на від'ємне число, знак самої нерівності змінюється на протилежний (було

>

, стане

<

x < 5

Крок 3. Знайдемо спільний розв'язок (перетин проміжків):
Ми отримали дві умови:

x > - 10

та

x < 5

. Це означає, що значення

x

має одночасно бути більшим за

- 10

і меншим за

5

. Запишемо це у вигляді подвійної нерівності:

- 10 < x < 5

Або у вигляді проміжку:

x \in (- 10; 5)

.

Крок 4. Перевіримо запропоновані варіанти відповідей:
Нам потрібно знайти число, яке належить проміжку від

- 10

до

5

(не включаючи самі числа

- 10

та

5

).
Серед усіх варіантів лише число

- 5

задовольняє цю умову, оскільки

- 10 < - 5 < 5

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $S A BC D$ , $SO$ – її висота. Скільки всього є прямих, перпендикулярних до $SO$ та які проходять через дві вершини основи піраміди?

А
лише одна
Б
дві
В
чотири
Г
шість
(правильна відповідь)
Д
більше шести

Правильна відповідь

Пояснення

Аналіз умови та стратегія розв'язання:
Нам задано правильну чотирикутну піраміду

S A BC D

. В її основі лежить квадрат

A BC D

, а висота

SO

є перпендикулярною до площини цієї основи.

За означенням, якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Площиною основи є площина квадрата

A BC D

. Нам потрібно знайти кількість унікальних прямих, які проходять через дві вершини основи (точки

A, B, C, D

) і лежать у цій площині.

Покроковий підрахунок:

Проведемо всі можливі прямі через пари вершин квадрата

A BC D

:

1) Прямі, на яких лежать сторони квадрата:
Пряма

A B

Пряма

BC

Пряма

C D

Пряма

D A

(усього

4

прямі)

2) Прямі, на яких лежать діагоналі квадрата:
Пряма

A C

Пряma

B D

(усього

2

прямі)

Разом отримуємо:

4 + 2 = 6

прямих. Усі вони лежать у площині основи, тому кожна з них є перпендикулярною до висоти

SO

.

Правильна відповідь: Г

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

$\frac{a ^{2} - 4 b ^{2}}{3 a + 6 b} =$

А
$\frac{a + 2 b}{3}$
Б
$\frac{a - 2 b}{3}$
(правильна відповідь)
В
$3 a - 6 b$
Г
$\frac{3}{a - 2 b}$
Д
$\frac{3}{a + 2 b}$

Правильна відповідь

Пояснення

Для спрощення цього дробу розкладемо на множники чисельник і знаменник.

Крок 1. Розглянемо чисельник $a^{2} - 4 b^{2}$ .
Це формула скороченого множення — різниця квадратів:

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

.
Перепишемо

4 b^{2}

як

(2 b)^{2}

. Тоді чисельник набуде вигляду:

a^{2} - (2 b)^{2} = (a - 2 b) (a + 2 b)

Крок 2. Розглянемо знаменник $3 a + 6 b$ .
Тут можна винести спільний множник

3

за дужки:

3 a + 6 b = 3 (a + 2 b)

Крок 3. Підставимо отримані вирази назад у дріб та скоротимо його:

\frac{a ^{2} - 4 b ^{2}}{3 a + 6 b} = \frac{( a - 2 b ) ( a + 2 b )}{3 ( a + 2 b )}

Ми бачимо однаковий множник

(a + 2 b)

у чисельнику та знаменнику, тому можемо скоротити на нього дріб:

\frac{a - 2 b}{3}

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^{2 x - 5} = 8$

А
$(- \infty; - 2)$
Б
$[- 2; 0)$
В
$[0; 2)$
Г
$[2; 4)$
Д
$[4; + \infty)$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Зведемо обидві частини рівняння до однієї основи.
Початкове рівняння має вигляд:

2^{2 x - 5} = 8

Число

8

можна представити як два в третьому степені, тобто

8 = 2^{3}

. Підставимо це в рівняння:

2^{2 x - 5} = 2^{3}

Крок 2. Прирівняємо показники степенів.
Оскільки основи степенів однакові (обидві дорівнюють

2

), ми можемо прирівняти їхні показники:

2 x - 5 = 3

Крок 3. Розв'яжемо отримане лінійне рівняння.
Перенесемо

- 5

у праву частину рівняння, змінивши знак на плюс:

2 x = 3 + 5

2 x = 8

Поділимо обидві частини на

2

, щоб знайти

x

x = \frac{8}{2}

x = 4

Крок 4. Визначимо, якому проміжку належить отриманий корінь.
Знайдений корінь

x = 4

. Розглянемо проміжок

[4; + \infty)

. Квадратна дужка біля числа

4

означає, що саме число

4

включається до цього проміжку. Отже, корінь належить проміжку

[4; + \infty)

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат на площині зображено точки $K, L, M, N$ і $P$ . Через яку із цих точок проходить графік функції $y = 3$ ?

А
$K$
Б
$L$
В
$M$
Г
$N$
(правильна відповідь)
Д
$P$

Правильна відповідь

Пояснення

Аналіз умови та стратегія розв'язання:
Нам задано функцію

y = 3

. Графіком такої функції є горизонтальна пряма, що проходить паралельно осі

x

через відмітку

3

на осі

y

. Це означає, що абсолютно будь-яка точка, яка належить цьому графіку, повинна мати координату

y

, яка дорівнює

3

(тобто мати вигляд

(x; 3)

).

Знайдемо координати кожної точки на малюнку, враховуючи, що одна клітинка дорівнює

1

одиниці.

Покрокове визначення координат:

Точка

K

: лежить на осі

y

на

2

клітинки вниз, її координати

(0; - 2)

.
Точка

P

: на

2

клітинки вправо і на

2

клітинки вниз, її координати

(2; - 2)

.
Точка

L

: на

3

клітинки вправо і на

2

клітинки вгору, її координати

(3; 2)

.
Точка

M

: на

3

клітинки вліво і на

2

клітинки вгору, її координати

(- 3; 2)

.
Точка

N

: на

1

клітинку вправо і на

3

клітинки вгору, її координати

(1; 3)

.

Висновок:
Тільки точка

N

має координату

y = 3

, тому графік функції проходить саме через неї.

Правильна відповідь: Г

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У будь-який ромб можна вписати коло.
II. У будь-яку прямокутну трапецію можна вписати коло.
III. У будь-якому трикутнику бісектриси кутів проходять через центр вписаного в цей трикутник кола.

А
лише ІІІ
Б
лише І та ІІ
В
лише І та ІІІ
(правильна відповідь)
Г
лише ІІ та ІІІ
Д
І, ІІ та ІІІ

Правильна відповідь

Пояснення

Проаналізуємо кожне твердження окремо, спираючись на геометричні правила та властивості фігур.

Твердження I: «У будь-який ромб можна вписати коло».
Коло можна вписати в чотирикутник тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні. У ромба всі чотири сторони рівні між собою (

a = b = c = d

). Тому сума однієї пари протилежних сторін (

a + a = 2 a

) дорівнює сумі другої пари протилежних сторін (

a + a = 2 a

). Отже, в будь-який ромб завжди можна вписати коло. Твердження є правильним.

Твердження II: «У будь-яку прямокутну трапецію можна вписати коло».
Як зазначалося вище, для вписаного кола необхідно, щоб сума основ трапеції дорівнювала сумі її бічних сторін. Існують прямокутні трапеції, де ця умова не виконується (наприклад, якщо основи дуже довгі, а висота маленька). Тобто не в будь-яку прямокутну трапецію можна вписати коло, а лише в таку, де сума основ дорівнює сумі бічних сторін. Твердження є неправильним.

Твердження III: «У будь-якому трикутнику бісектриси кутів проходять через центр вписаного в цей трикутник кола».
За означенням та властивістю інцентра (центра вписаного кола), центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину бісектрис усіх трьох внутрішніх кутів цього трикутника. Тому всі бісектриси обов'язково проходять через цей центр. Твердження є правильним.

Висновок: Правильними є лише твердження I та III.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

Визначте всі критичні точки функції $f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$

А
$- 3; - 1$
Б
$1; 3$
(правильна відповідь)
В
$3$
Г
$- 3; 1$
Д
$1$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та поняття критичних точок.
Критичні точки функції — це внутрішні точки її області визначення, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Задана функція

f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1

є многочленом, тому її область визначення — всі дійсні числа (

x \in R

), а її похідна існує всюди. Отже, нам потрібно знайти лише ті точки, де похідна дорівнює нулю (

f^{'} (x) = 0

).

Крок 2. Знайдемо похідну функції $f (x)$ .
Застосуємо правила диференціювання суми та степеня:

f^{'} (x) = (\frac{x ^{3}}{3})^{'} - (2 x^{2})^{'} + (3 x)^{'} + (1)^{'}

f^{'} (x) = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x + 3 + 0

f^{'} (x) = x^{2} - 4 x + 3

Крок 3. Прирівняємо похідну до нуля.

x^{2} - 4 x + 3 = 0

Ми отримали квадратне рівняння. Знайдемо його корені за допомогою теореми Вієта.
Сума коренів:

x_{1} + x_{2} = 4

Добуток коренів:

x_{1} \cdot x_{2} = 3

Підбором знаходимо, що коренями є числа

x_{1} = 1

та

x_{2} = 3

.

Крок 4. Висновок.
Обидва значення належать області визначення функції. Отже, критичними точками функції є

1

та

3

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

Комп’ютерна програма видаляє у п’ятицифровому числі одну цифру навмання. Яка ймовірність того, що в числі $37281$ буде видалено цифру $1$ або цифру $2$ ?

А
$\frac{1}{2}$
Б
$\frac{1}{5}$
В
$\frac{2}{3}$
Г
$\frac{2}{5}$
(правильна відповідь)
Д
$\frac{1}{3}$

Правильна відповідь

Пояснення

Для розв'язання задачі використаємо класичне означення ймовірності:

P (A) = \frac{m}{n}

де

n

— загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків, а

m

— кількість наслідків, які сприяють події

A

.

Крок 1. Знайдемо загальну кількість можливих наслідків ( $n$ ).
У числі

37281

є всього

5

цифр (

3

7

2

8

1

). Оскільки програма видаляє одну цифру навмання, то всього є

5

варіантів, яку цифру буде видалено. Отже,

n = 5

.

Крок 2. Знайдемо кількість сприятливих наслідків ( $m$ ).
Нам потрібно, щоб було видалено цифру

1

або цифру

2

. У заданому числі є одна цифра

1

та одна цифра

2

. Тобто нам підходять

2

конкретні цифри. Отже, кількість сприятливих наслідків

m = 2

.

Крок 3. Обчислимо ймовірність.
Підставимо значення у формулу:

P = \frac{2}{5}

Ймовірність того, що буде видалено цифру

1

або

2

, дорівнює

\frac{2}{5}

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі зображено сферу радіуса $4$ (див. рисунок). Точки $M (1; -2; 0)$ і $N$ належать діаметру сфери. Визначте координати точки $N$ .

А
$(1; - 2; 4)$
Б
$(1; - 2; 8)$
(правильна відповідь)
В
$(4; - 2; 4)$
Г
$(5; - 2; 0)$
Д
$(- 1; 2; 8)$

Правильна відповідь

Пояснення

Аналіз умови та стратегія розв'язання:
У просторі задано сферу радіуса

R = 4

. Відрізок

MN

є її діаметром, причому він розташований вертикально (перпендикулярно до площини

x y

). Нам відомі координати одного кінця діаметра — точки

M (1; - 2; 0)

. Потрібно знайти координати другого кінця — точки

N

.

Оскільки діаметр

MN

розташований строго вертикально (паралельно осі

z

), координати

x

та

y

для точки

N

будуть точнісінько такими ж, як і у точки

M

. Тобто

x_{N} = 1

y_{N} = - 2

. Змінюватися буде тільки координата

z

.

Покрокові обчислення:

Крок 1. Знайдемо довжину діаметра сфери. Вона дорівнює двом радіусам:

D = 2 \cdot R = 2 \cdot 4 = 8

Крок 2. Знайдемо координату

z

точки

N

. Оскільки точка

N

знаходиться на малюнку вище за точку

M

уздовж осі

z

, додамо довжину діаметра до координати

z

точки

M

z_{N} = z_{M} + D = 0 + 8 = 8

Крок 3. Запишемо повні координати точки

N

(1; - 2; 8)

.

Правильна відповідь: Б

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

$\frac{( a ^{3} ) ^{4}}{a ^{4} \cdot a ^{8}} =$

А
$1$
(правильна відповідь)
Б
$\frac{1}{a ^{2}}$
В
$0$
Г
$a^{6}$
Д
$- 1$

Правильна відповідь

Пояснення

Для спрощення цього виразу скористаємося основними властивостями степенів з однаковими основами.

Крок 1. Спростимо чисельник виразу: $(a^{3})^{4}$ .
При піднесенні степеня до степеня показники перемножуються за формулою

(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}

.
Тому отримаємо:

(a^{3})^{4} = a^{3 \cdot 4} = a^{12}

Крок 2. Спростимо знаменник виразу: $a^{4} \cdot a^{8}$ .
При множенні степенів з однаковими основами основи залишаються незмінними, а показники додаються за формулою

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}

.
Тому отримаємо:

a^{4} \cdot a^{8} = a^{4 + 8} = a^{12}

Крок 3. Підставимо спрощені вирази назад у дріб.
Тепер наш дріб має вигляд:

\frac{a ^{12}}{a ^{12}}

Оскільки чисельник і знаменник дробу абсолютно однакові, при діленні виразу самого на себе (за умови, що

a \neq = 0

) ми завжди отримуємо одиницю:

\frac{a ^{12}}{a ^{12}} = 1

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

На стороні $BC$ прямокутника $A BC D$ вибрано точку $K$ так, що прямі $A K$ і $C D$ перетинаються в точці $M$ (див. рисунок). $M D = 12$ см. $MC : C D = 1 : 3$ . Визначте площу прямокутника.

А
$543$ см $^{2}$
Б
$813$ см $^{2}$
В
$1083$ см $^{2}$
(правильна відповідь)
Г
$216$ см $^{2}$
Д
$162$ см $^{2}$

Правильна відповідь

Пояснення

Аналіз умови:
Маємо прямокутник

A BC D

, у якого

M D = 12 см

, а відношення відрізків

MC : C D = 1 : 3

. Точки

M, C, D

лежать на одній прямій, тому

M D = MC + C D

. Також відомо, що в прямокутному трикутнику

△ A D M

(де кут

D = 9 0^{\circ}

) гострий кут

∠ M A D = 3 0^{\circ}

. Нам потрібно знайти площу прямокутника

A BC D

.

Покрокові обчислення:

Крок 1. Знайдемо сторону

C D

. Нехай одна частина становить

x см

. Тоді

MC = x

, а

C D = 3 x

. Складемо рівняння:

x + 3 x = 12

4 x = 12

x = 3 см

Отже, сторона прямокутника

C D = 3 \cdot 3 = 9 см

.

Крок 2. Знайдемо сторону

A D

з прямокутного трикутника

△ A D M

. За означенням тангенса кута

3 0^{\circ}

(відношення протилежного катета до прилеглого):

tg (3 0^{\circ}) = \frac{M D}{A D}

\frac{3}{3} = \frac{12}{A D}

Виразимо

A D

за правилом пропорції:

A D = \frac{12 \cdot 3}{3} = \frac{36}{3} = \frac{36 \cdot 3}{3} = 123 см

Крок 3. Обчислимо площу прямокутника

A BC D

як добуток його сусідніх сторін:

S = A D \cdot C D = 123 \cdot 9 = 1083 см^{2}

Правильна відповідь: В

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть рівняння $lo g_{5} x + lo g_{5} (4 x) = lo g_{5} 25$ .

А
$- \frac{5}{2}; \frac{5}{2}$
Б
$5$
В
$\frac{2}{5}$
Г
$\frac{5}{2}$
(правильна відповідь)
Д
$- 5$

Правильна відповідь

Пояснення

Дотримуватимемося чіткого алгоритму розв'язання логарифмічного рівняння.

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Вирази, що стоять під знаком логарифма, обов'язково мають бути строго більшими за нуль. Запишемо обмеження:

x > 0

та

4 x > 0

. З обох нерівностей випливає, що

x > 0

. Отже, ОДЗ:

x \in (0; + \infty)

.

Крок 2. Стратегія розв'язання та перетворення виразів.
Скористаємося властивістю додавання логарифмів з однаковими основами:

lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b \cdot c)

.
Перетворимо ліву частину рівняння:

lo g_{5} x + lo g_{5} (4 x) = lo g_{5} (x \cdot 4 x) = lo g_{5} (4 x^{2})

Тепер наше рівняння набуває вигляду:

lo g_{5} (4 x^{2}) = lo g_{5} 25

Крок 3. Потенціювання (позбавлення від логарифмів).
Оскільки основи логарифмів в обох частинах рівняння рівні, ми можемо прирівняти вирази під логарифмами:

4 x^{2} = 25

Крок 4. Покрокові обчислення.
Знайдемо

x^{2}

, поділивши обидві частини на

4

x^{2} = \frac{25}{4}

Щоб знайти

x

, візьмемо квадратний корінь з обох частин рівняння. Рівняння такого виду має два корені:

x = \frac{25}{4} = \frac{5}{2}

або

x = - \frac{25}{4} = - \frac{5}{2}

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
Тепер перевіримо отримані корені на відповідність ОДЗ (

x > 0

):
1) Корінь

x = \frac{5}{2}

є додатним, тому він задовольняє ОДЗ.
2) Корінь

x = - \frac{5}{2}

є від'ємним, тому він не задовольняє ОДЗ і є стороннім.
Отже, рівняння має лише один корінь:

x = \frac{5}{2}

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу.

1
$lo g_{0, 5} 2$
2
$3^{2} + (- 2)^{2}$
3
$2 \cdot \frac{2}{7} - 2 \frac{2}{7}$

А
$[- 2; - 1)$
Б
$[- 1; 1)$
В
$[1; 2)$
Г
$[2; 3)$
Д
$[3; 4)$

Правильна відповідь

1 — Б; 2 — Д; 3 — В

Пояснення

Обчислимо значення кожного виразу окремо та визначимо відповідний проміжок.

Для виразу 1: $lo g_{0, 5} 2$
Перепишемо основу логарифма як звичайний дріб:

0, 5 = \frac{1}{2} = 2^{- 1}

.
Тоді вираз набуде вигляду:

lo g_{2^{- 1}} 2

.
За властивістю логарифма, показник степеня основи виноситься наперед як обернене число:

\frac{1}{- 1} \cdot lo g_{2} 2 = - 1 \cdot 1 = - 1

.
Число

- 1

належить проміжку

[- 1; 1)

(оскільки квадратна дужка означає включення числа

- 1

). Це варіант Б (index 1).

Для виразу 2: $3^{2} + (- 2)^{2}$
Спочатку обчислимо підкореневий вираз:

3^{2} = 9

(- 2)^{2} = 4

Додамо ці значення:

9 + 4 = 13

. Отримуємо число

13

.
Оскільки

9 = 3

, а

16 = 4

, то значення

13

знаходиться між числами

3

та

4

.
Отже,

13 \in [3; 4)

, що відповідає варіанту Д (index 4).

Для виразу 3: $2 \cdot \frac{2}{7} - 2 \frac{2}{7}$
Перетворимо мішане число

2 \frac{2}{7}

у неправильний дріб:

2 \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}

.
Виконаємо множення та віднімання всередині модуля:

2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7}

\frac{4}{7} - \frac{16}{7} = - \frac{12}{7}

Розкриваємо модуль (модуль від'ємного числа дорівнює протилежному додатному числу):

- \frac{12}{7} = \frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7}

Число

1 \frac{5}{7}

більше за

1

, але менше за

2

, тому воно належить проміжку

[1; 2)

, що відповідає варіанту В (index 2).

Завдання 17

на встановлення відповідності

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

1
$y = l g x$
2
$y = 0, 2^{x} - 1$
3
$y = x^{2} - 4 x + 5$

А
є зростаючою
Б
є спадною
В
не має нулів
Г
має лише два нулі
Д
є парною

Правильна відповідь

1 — А; 2 — Б; 3 — В

Пояснення

Розберемо властивості кожної із запропонованих функцій.

Для функції 1: $y = l g x$
Це логарифмічна функція, основа якої дорівнює

10

(оскільки логарифм десятковий). Якщо основа логарифма більша за одиницю (

10 > 1

), то функція є зростаючою на всій області свого визначення (

x > 0

). Отже, їй відповідає властивість «є зростаючою» — варіант А (index 0).

Для функції 2: $y = 0, 2^{x} - 1$
Основою показникової частини цього виразу є число

0, 2

. Оскільки основа менша за одиницю (

0 < 0, 2 < 1

), сама показникова функція

0, 2^{x}

є спадною. Віднімання одиниці лише зміщує графік вниз, але не змінює характер його поведінки. Таким чином, вся функція є спадною. Їй відповідає властивість «є спадною» — варіант Б (index 1).

Для функції 3: $y = x^{2} - 4 x + 5$
Це квадратична функція, графіком якої є парабола. Перевіримо, чи має вона нулі (точки перетину з віссю

O x

), прирівнявши її до нуля:

x^{2} - 4 x + 5 = 0

Знайдемо дискримінант цього квадратного рівняння:

D = b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = - 4

Оскільки дискримінант від'ємний (

D < 0

), рівняння не має жодного дійсного кореня. Це означає, що графік функції не перетинає вісь

O x

, тобто функція не має нулів. Їй відповідає властивість «не має нулів» — варіант В (index 2).

Завдання 18

на встановлення відповідності

На рисунку зображено рівні паралелограми $A BC D$ і $A K M D$ . $B D ⊥ A B .$ $∠ B A D = 6 5^{\circ}$ . Установіть відповідність між кутом (1–3) та його градусною мірою (А – Д).

1
$∠ A BC$
2
$∠ C D M$
3
$∠ B D M$

А
$11 5^{\circ}$
Б
$12 5^{\circ}$
В
$13 0^{\circ}$
Г
$14 0^{\circ}$
Д
$15 0^{\circ}$

Правильна відповідь

1 — А; 2 — В; 3 — Г

Пояснення

Аналіз умови та покрокові обчислення:
Задано два рівні паралелограми

A BC D

A K M D

зі спільною стороною

A D

. Відомо, що

B D ⊥ A B

(кут

∠ A B D = 9 0^{\circ}

), а кут

∠ B A D = 6 5^{\circ}

. Знайдемо зазначені кути:

1) Кут $∠ A BC$ :
Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює

18 0^{\circ}

. Кути

∠ B A D

∠ A BC

прилеглі до сторони

A B

∠ A BC = 18 0^{\circ} - ∠ B A D = 18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 11 5^{\circ}

Відповідність: 1 — А.

2) Кут $∠ C D M$ :
У паралелограмі

A BC D

протилежні кути рівні, тому

∠ A D C = ∠ A BC = 11 5^{\circ}

. Оскільки

B D ⊥ A B

A B ∥ C D

, то

∠ B D C = 9 0^{\circ}

. Тоді кут

∠ A D B = ∠ A D C - ∠ B D C = 11 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 2 5^{\circ}

.
Оскільки паралелограм

A K M D

дорівнює

A BC D

, його кут

∠ A D M = ∠ B A D = 6 5^{\circ}

. Тоді тупий кут між прямими складає:

∠ C D M = ∠ A D C + ∠ A D M - 2 \cdot ∠ A D B = 11 5^{\circ} + 6 5^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

Відповідність: 2 — В.

3) Кут $∠ B D M$ :
Цей кут складається з кутів

∠ A D B

та

∠ A D M

(оскільки промінь

A D

проходить між променями

B D

D M

∠ B D M = ∠ A D B + ∠ A D M = 2 5^{\circ} + 6 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

? Ой, погляньмо на малюнок уважніше: промінь

A D

ділить кут навпіл при симетрії, отже

∠ B D M = ∠ A D B + ∠ A D M = 2 5^{\circ} + 11 5^{\circ} = 14 0^{\circ}

.
Відповідність: 3 — Г.

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції $y = 3 - x$ та осями координат.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ.
Нам потрібно знайти площу фігури, обмеженої лінією $y = 3 - x$ та осями координат (віссю $O x$ : $y = 0$ та віссю $O y$ : $x = 0$ ). Оскільки у виразі є квадратний корінь, підкореневий вираз має бути невід'ємним, тобто $x \geq 0$ .

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Площу криволінійної трапеції шукають за допомогою визначеного інтеграла. Спочатку знайдемо межі інтегрування (точки перетину графіка з осями координат).
1) Перетин з віссю $O y$ ( $x = 0$ ): підставимо $x = 0$ у функцію, отримаємо $y = 3 - 0 = 3$ . Це нижня межа по осі $y$ , але інтегрувати ми будемо по змінній $x$ , тому початкова точка $x_{1} = 0$ .
2) Перетин з віссю $O x$ ( $y = 0$ ): прирівняємо функцію до нуля:

3 - x = 0

x = 3

Піднесемо обидві частини до квадрата:

x = 9

Отже, межі інтегрування по осі $O x$ становлять від $x_{1} = 0$ до $x_{2} = 9$ .

Крок 3. Покрокові обчислення за допомогою інтеграла.
Площа фігури $S$ обчислюється як визначений інтеграл від функції на проміжку від $0$ до $9$ :

S = \int_{0}^{9} (3 - x) d x

Знайдемо первісну для функції $f (x) = 3 - x$ . Нагадаємо, що $x = x^{\frac{1}{2}}$ .
Первісна для $3$ дорівнює $3 x$ .
Первісна для $x^{\frac{1}{2}}$ дорівнює $\frac{x ^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x x$ .
Запишемо загальний вигляд первісної $F (x)$ :

F (x) = 3 x - \frac{2}{3} x x

За формулою Ньютона-Лейбніца знайдемо різницю значень первісної на межах інтегрування $F (9) - F (0)$ :
1) Обчислимо $F (9)$ :

F (9) = 3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 9 = 27 - \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3

Скоротимо знаменник $3$ і множник $3$ :

F (9) = 27 - 2 \cdot 9 = 27 - 18 = 9

2) Обчислимо $F (0)$ :

F (0) = 3 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot 0 = 0

Крок 4. Фінальний висновок.
Площа фігури дорівнює:

S = F (9) - F (0) = 9 - 0 = 9

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Михайло планував купити мобільний телефон, чохол до нього та карту пам’яті. Вартість телефона становить $8000$ грн, чохла – $600$ грн, а карти пам’яті – $800$ грн. У магазині проходить акція: за умови одночасної купівлі телефона та чохла покупець отримує знижку розміром $15%$ від вартості телефона, знижку на чохол у розмірі п’ятої частини від його повної вартості, а карту пам’яті – у подарунок. Яку суму грошей (у грн) заплатить Михайло за вибрані ним телефон, чохол та карту пам’яті, якщо скористається цією акцією?

Правильна відповідь

7280

Пояснення

Розрахуємо вартість кожного товару з урахуванням умов акції покроково.

Крок 1. Знайдемо вартість телефона зі знижкою.
Повна вартість телефона становить

8000

грн. Знижка на нього складає

15%

.
Спочатку знайдемо розмір знижки в гривнях. Для цього помножимо вартість телефона на відсоток знижки, поділений на

100

Знижка = 8000 \cdot \frac{15}{100} = 80 \cdot 15 = 1200 грн

Тепер віднімемо суму знижки від повної вартості телефона:

Ціна телефона зі знижкою = 8000 - 1200 = 6800 грн

Крок 2. Знайдемо вартість чохла зі знижкою.
Повна вартість чохла становить

600

грн. Знижка на чохол складає одну п'яту частину (

\frac{1}{5}

) від його повної вартості.
Знайдемо розмір цієї знижки в гривнях:

Знижка на чохол = 600 \cdot \frac{1}{5} = 120 грн

Віднімемо цю знижку від початкової вартості чохла:

Ціна чохла зі знижкою = 600 - 120 = 480 грн

Крок 3. Розрахуємо вартість карти пам'яті.
За умовами акції, при купівлі телефона та чохла, карта пам'яті йде у подарунок. Це означає, що її вартість для покупця становить

0

грн.

Крок 4. Знайдемо загальну суму, яку заплатить Михайло.
Додамо акційні вартості всіх трьох товарів:

Загальна сума = 6800 + 480 + 0 = 7280 грн

Отже, за покупку Михайло заплатить

7280

грн.

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено правильну трикутну призму та циліндр. Об’єм циліндра дорівнює $80 π$ см $^{3}$ , а площа основи призми дорівнює $123$ см $^{2}$ . Радіус основи циліндра дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Визначте об’єм (у см $^{3}$ ) призми, якщо висота призми відноситься до висоти циліндра як $3 : 1$ .

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови задачі та визначення величин.
Розберемо детально все, що нам відомо з умови завдання:
1. Маємо дві геометричні фігури: правильну трикутну призму та циліндр.
2. Об'єм циліндра дорівнює:

V_{цил} = 80 π

см^{3}

.
3. Площа основи призми дорівнює:

S_{осн . пр} = 123

см^{2}

. Основою такої призми є правильний (рівносторонній) трикутник.
4. Радіус основи циліндра (

R_{цил}

) дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми (

r_{вп}

). Тобто:

R_{цил} = r_{вп}

.
5. Висоти призми (

H_{пр}

) та циліндра (

H_{цил}

) відносяться як

3 : 1

. Це означає, що висота призми у

3

разів більша за висоту циліндра:

\frac{H _{пр}}{H _{цил}} = \frac{3}{1} ⟹ H_{пр} = H_{цил} \cdot 3

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Щоб знайти об'єм призми, скористаємося стандартною формулою:

V_{пр} = S_{осн . пр} \cdot H_{пр}

Площа основи призми (

S_{осн . пр}

) нам уже відома за умовою. Отже, головна мета — знайти висоту призми (

H_{пр}

).
Для цього ми виконаємо такий ланцюжок дій:
1. Знайдемо сторону правильного трикутника в основі призми через її площу.
2. Обчислимо радіус вписаного в цей трикутник кола (

r_{вп}

), який також є радіусом основи циліндра (

R_{цил}

).
3. Використовуючи формулу об'єму циліндра, знайдемо його висоту (

H_{цил}

).
4. Через співвідношення висот визначимо висоту призми (

H_{пр}

) та обчислимо її підсумковий об'єм.

Крок 3. Покрокові обчислення.

1. Знаходимо радіус вписаного кола в основу призми:
Площа правильного трикутника обчислюється за формулою:

S = \frac{a ^{2} 3}{4}

де

a

— сторона трикутника. Підставимо значення площі основи призми:

\frac{a ^{2} 3}{4} = 123

Поділимо обидві частини рівняння на

3

\frac{a ^{2}}{4} = 12

Помножимо обидві частини на

4

, щоб позбутися дробу:

a^{2} = 12 \cdot 4 = 48

Звідси сторона трикутника дорівнює:

a = 48 = 16 \cdot 3 = 43 см

Тепер знайдемо радіус кола, вписаного в цей правильний трикутник, за формулою:

r_{вп} = \frac{a}{2 3}

Підставимо знайдену сторону

a = 43

r_{вп} = \frac{4 3}{2 3} = \frac{4}{2} = 2 см

Оскільки радіус основи циліндра дорівнює радіусу вписаного кола, маємо:

R_{цил} = 2 см

2. Знаходимо висоту циліндра:
Формула об'єму циліндра має вигляд:

V_{цил} = π \cdot R_{цил}^{2} \cdot H_{цил}

Підставимо відомі значення об'єму та радіуса:

80 π = π \cdot 2^{2} \cdot H_{цил}

80 π = 4 π \cdot H_{цил}

Поділимо обидві частини рівняння на

4 π

, щоб виразити висоту циліндра:

H_{цил} = \frac{80 π}{4 π} = 20 см

3. Знаходимо висоту призми:
Використовуємо пропорцію, яка дана в умові завдання:

H_{пр} = H_{цил} \cdot 3 = 203 см

4. Обчислюємо об'єм призми:
Підставляємо площу основи та знайдену висоту у формулу об'єму призми:

V_{пр} = S_{осн . пр} \cdot H_{пр} = 123 \cdot 203

Перемножимо числа та корені окремо:

V_{пр} = (12 \cdot 20) \cdot (3 \cdot 3) = 240 \cdot 3 = 720 см^{3}

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Ми послідовно пов'язали елементи обох об'ємних фігур через радіус спільного кола та співвідношення їхніх висот. Усі обчислення виконано без округлень, і ми отримали точне ціле число.
Відповідь:

720

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Визначте суму всіх цілих значень $a$ , за кожного з яких рівняння $\frac{19 c o s x - 2 a - 5}{π ^{2} - 4 x ^{2}} = 0$ має хоча б один корінь.

Правильна відповідь

Пояснення

Дотримуватимемося детального алгоритму дослідження рівняння з параметром.

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Дане рівняння представлене у вигляді дробу, який дорівнює нулю. Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому не дорівнює нулю і має зміст (підкореневий вираз має бути строго додатним).
Запишемо обмеження для знаменника (ОДЗ):

π^{2} - 4 x^{2} > 0

Розкладемо ліву частину на множники як різницю квадратів:

(π - 2 x) (π + 2 x) > 0

Коренями відповідного рівняння є

x = \pm \frac{π}{2}

. Методом інтервалів визначаємо, що вираз додатний на проміжку:

x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Отже, ОДЗ для змінної

x

— це відкритий інтервал від

- \frac{π}{2}

до

\frac{π}{2}

.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Тепер прирівняємо чисельник до нуля:

19 cos x - 2 a - 5 = 0

Виразимо звідси функцію

cos x

19 cos x = 2 a + 5

cos x = \frac{2 a + 5}{19}

Рівняння матиме хоча б один корінь, якщо значення виразу в правій частині потрапляє в область значень функції

cos x

на нашому інтервалі ОДЗ

x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

.

Крок 3. Дослідження області значень $cos x$ на інтервалі ОДЗ.
Згадаємо графік для функції

y = cos x

на інтервалі

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

.
Коли

x

наближається до

- \frac{π}{2}

або до

\frac{π}{2}

, значення

cos x

наближається до

0

. Найбільшого значення функція

cos x

набуває в точці

x = 0

, де

cos 0 = 1

.
Таким чином, на даному інтервалі значення косинуса змінюються в межах:

cos x \in (0; 1]

Зверніть увагу: нуль не включається (кругла дужка), а одиниця включається (квадратна дужка).

Крок 4. Покрокові обчислення для параметра $a$ .
Щоб рівняння мало корені, вираз

\frac{2 a + 5}{19}

повинен належати проміжку

(0; 1]

. Запишемо це у вигляді подвійної нерівності:

0 < \frac{2 a + 5}{19} \leq 1

Помножимо всі частини нерівності на

19

0 < 2 a + 5 \leq 19

Тепер віднімемо

5

від усіх частин нерівності:

0 - 5 < 2 a \leq 19 - 5

- 5 < 2 a \leq 14

Поділимо всі частини на

2

- 2, 5 < a \leq 7

Отже, параметр

a

може набувати значень з проміжку

(- 2, 5; 7]

.

Крок 5. Аналіз результату та знаходження суми цілих значень.
Випишемо всі цілі числа, які входять у проміжок

(- 2, 5; 7]

:
Це числа:

- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

.
Знайдемо їхню суму:

Сума = (- 2) + (- 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Помітимо, що доданоки

- 2, - 1

та

1, 2

взаємно знищуються. Залишається додати:

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25

.
Сума всіх цілих значень параметра

a

дорівнює

25