НМТ з предмета «Математика», 5 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Настінний принтер друкує зображення зі сталою швидкістю $3$ м $^{2}$ за одну годину. Скільки хвилин принтер друкував на стіні будинку зображення площею $2, 4$ м $^{2}$ ?

А
$36$
Б
$40$
В
$51$
Г
$48$
(правильна відповідь)
Д
$45$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови завдання.
Нам відома стала швидкість друку принтера:

v = 3

^{2}

за одну годину, а також загальна площа зображення, яку потрібно надрукувати:

S = 2.4

^{2}

.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Щоб знайти час

t

у годинах, потрібно площу зображення

S

поділити на швидкість друку

v

t = \frac{S}{v}

Оскільки у нас запитують відповідь у хвилинах, отриманий час у годинах ми переведемо у хвилини, помноживши його на

60

(оскільки в одній годині міститься

60

хвилин).

Крок 3. Покрокові обчислення.
Знайдемо час роботи принтера у годинах:

t = \frac{2.4}{3} = 0.8 годин

Тепер переведемо цей час у хвилини, помноживши десятковий дріб на

60

0.8 \cdot 60 = 48 хвилин

Крок 4. Фінальний висновок.
Принтер друкував зображення на стіні будинку протягом

48

хвилин.

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів транспортної мережі деякого міста щодо визначення якості пасажирських перевезень (у балах за шкалою 1–10). Визначте кількість опитуваних, які поставили оцінку, вищу за $8$ балів.

А
$19$
Б
$100$
(правильна відповідь)
В
$200$
Г
$275$
Д
$475$

Правильна відповідь

Пояснення

Для знаходження відповіді уважно проаналізуємо графік, зображений на рисунку.

Крок 1. Зрозуміємо вимогу задачі. Нам потрібно визначити кількість опитуваних, які поставили оцінку, вищу за $8$ балів. Це означає, що нам підходять оцінки

9

балів та

10

балів.

Крок 2. Визначимо за графіком кількість людей для кожної з цих оцінок:
1) Знайдемо на горизонтальній осі («Оцінка в балах») число

9

. Піднімемося вгору до відповідної точки графіка і подивимося на її значення на вертикальній осі («Кількість опитуваних»). Ця точка розташована точно посередині між

50

100

, що відповідає значенню

75

. Отже, оцінку

9

балів поставили

75

опитуваних.
2) Знайдемо на горизонтальній осі число

10

. Піднімемося вгору до точки графіка і подивимося на її значення на вертикальній осі. Ця точка розташована точно посередині між

0

50

, що відповідає значенню

25

. Отже, оцінку

10

балів поставили

25

опитуваних.

Крок 3. Обчислимо загальну кількість опитуваних, додавши знайдені значення:

75 + 25 = 100

Правильна відповідь: Б.

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Плоска сітчаста секція сушарки для фруктів та овочів має вигляд частини круга, яку обмежено колами радіусів $R$ см і $3$ см, $R > 3$ (див. рисунок). За якою формулою можна обчислити площу (у см $^{2}$ ) $S$ такої секції?

А
$S = 2 π R - 6 π$
Б
$S = π R^{2} - 6 π$
В
$S = π (R - 3)^{2}$
Г
$S = π R^{2} + 9 π$
Д
$S = π R^{2} - 9 π$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови задачі. Секція сушарки має форму кільця, обмеженого двома колами. Велике коло має радіус

R

см, а мале коло має радіус

3

см, причому за умовою

R > 3

.

Крок 2. Стратегія розв'язання. Площу плоских фігур такого типу можна знайти як різницю площ двох кругів: більшого круга (радіуса

R

) та меншого круга (радіуса

3

).

Крок 3. Застосування формули площі круга. Нагадаємо, що площа круга обчислюється за формулою:

S = π r^{2}

1) Площа великого круга з радіусом

r = R

дорівнює:

S_{великого} = π R^{2}

2) Площа меншого круга з радіусом

r = 3

дорівнює:

S_{меншого} = π \cdot 3^{2} = 9 π

Крок 4. Обчислення площі шуканої секції. Віднімемо від площі великого круга площу меншого круга:

S = S_{великого} - S_{меншого} = π R^{2} - 9 π

Правильна відповідь: Д.

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь $⎩ ⎨ ⎧ \frac{8}{x} = - 2, x + \frac{y}{2} = 0.$

А
$(-4; 8)$
(правильна відповідь)
Б
$(4; -8)$
В
$(0, 25; -0, 5)$
Г
$(-0, 25; 0, 5)$
Д
$(-4; -8)$

Правильна відповідь

Пояснення

Дотримуємося чіткого алгоритму для розв'язання системи рівнянь:

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
У першому рівнянні системи змінна

x

міститься в знаменнику дробу. Оскільки ділити на нуль не можна, обов'язково вказуємо обмеження для змінної:

x \neq = 0

.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Система складається з двох рівнянь. Перше рівняння містить лише одну змінну

x

. Це дозволяє спочатку знайти значення

x

з першого рівняння, а потім підставити його у друге рівняння для знаходження змінної

y

.

Крок 3. Покрокові обчислення.
Знайдемо

x

з першого рівняння системи:

\frac{8}{x} = - 2

Помножимо обидві частини рівняння на

x

(враховуючи, що

x \neq = 0

8 = - 2 x

Розділимо обидві частини на

- 2

, щоб знайти значення змінної:

x = \frac{8}{- 2}

x = - 4

Тепер підставимо отримане значення

x = - 4

у друге рівняння системи:

- 4 + \frac{y}{2} = 0

Перенесемо число

- 4

у праву частину рівняння з протилежним знаком:

\frac{y}{2} = 4

Помножимо обидві частини рівняння на

2

, щоб позбутися знаменника й знайти остаточне значення

y

y = 4 \cdot 2

y = 8

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Ми отримали пару чисел:

x = - 4

y = 8

. Перевіряємо ОДЗ: значення

x = - 4

задовольняє умову

x \neq = 0

. Отже, розв'язком системи рівнянь є координатна пара

(- 4; 8)

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

Площина $β$ дотикається сфери в точці $M$ (див. рисунок). Скільки можна провести площин, кожна з яких перпендикулярна до площини $β$ і має зі сферою лише одну спільну точку?

А
жодної
Б
лише одну
В
лише дві
Г
лише три
Д
безліч
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз геометричної ситуації. Маємо сферу та площину

β

, яка дотикається до цієї сфери в точці

M

. Нам потрібно знайти кількість площин, які одночасно задовольняють дві умови:
1) є перпендикулярними до площини

β

;
2) мають зі сферою лише одну спільну точку (тобто є дотичними до сфери).

Крок 2. Стратегія розв'язання. Якщо площина має зі сферою лише одну спільну точку, вона є дотичною до цієї сфери. Радіус сфери, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до дотичної площини. Оскільки шукана площина має бути перпендикулярною до заданої площини

β

, то її точка дотику повинна лежати на великому колі сфери (екваторі відносно полюса

M

), де радіус-вектори паралельні площині

β

.

Крок 3. Висновок. На цьому великому колі сфери існує нескінченна кількість точок. У кожній такій точці можна провести дотичну площину, і кожна з них буде перпендикулярною до площини

β

. Отже, таких площин можна провести безліч.

Правильна відповідь: Д.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

$(a + 6) (a - 6) - (a - 4)^{2} =$

А
$12 a + 20$
Б
$- 8 a - 52$
В
$8 a - 52$
(правильна відповідь)
Г
$4 a - 52$
Д
$- 4 a - 20$

Правильна відповідь

Пояснення

$(a + 6) (a - 6) - (a - 4)^{2} = a^{2} - 36 - (a^{2} - 8 a + 16) = a^{2} - 36 - a^{2} + 8 a - 16 = 8 a - 52$ . Правильна відповідь: $8 a - 52$ .

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Якому проміжку належить корінь рівняння $5^{x} \cdot 2 0^{x} = 1000$ ?

А
$(- \infty; 0)$
Б
$[0; 1, 5)$
В
$[1, 5; 2)$
(правильна відповідь)
Г
$[2; 4)$
Д
$[4; + \infty)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ.
Задано показникове рівняння

5^{x} \cdot 2 0^{x} = 1000

. Оскільки показникова функція визначена для всіх дійсних чисел, область допустимих значень для змінної

x

не має жодних обмежень.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Використаємо властивість степенів з однаковим показником:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

. Це дозволить об'єднати основи в лівій частині. Після цього зведемо ліву і праву частини рівняння до однієї спільної основи, щоб прирівняти їхні показники степенів.

Крок 3. Покрокові обчислення.
Застосуємо властивість степеня до лівої частини рівняння:

2 0^{x} \cdot 5^{x} = (5 \cdot 20)^{x}

(5 \cdot 20)^{x} = 1000

Обчислимо добуток у дужках:

5 \cdot 20 = 100

. Отримуємо рівняння:

10 0^{x} = 1000

Тепер представимо числа

100

1000

як степені числа

10

, оскільки

100 = 1 0^{2}

, а

1000 = 1 0^{3}

(1 0^{2})^{x} = 1 0^{3}

При піднесенні степеня до степеня показники перемножуються:

1 0^{2 x} = 1 0^{3}

Оскільки основи в обох частинах рівняння рівні, ми можемо прирівняти їхні показники степенів:

2 x = 3

Розділимо обидві частини рівняння на

2

і знайдемо

x

у вигляді десяткового дробу:

x = \frac{3}{2} = 1.5

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Знайдений корінь дорівнює

1.5

. Перевіримо, якому з проміжків належить це число. Число

1.5

входить до півінтервалу

[1.5; 2)

, оскільки квадратна дужка біля числа

1.5

означає, що сама межа включена в цей числовий проміжок.

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат на площині зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку $[-5; 5]$ (див. рисунок). Визначте точку екстремуму функції $y = f (x - 3)$ .

А
$5$
(правильна відповідь)
Б
$1$
В
$- 1$
Г
$2$
Д
$- 5$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз графіка. На рисунку зображено графік функції

y = f (x)

. Нам потрібно знайти точку екстремуму (значення координати

x

, де функція досягає свого максимуму) для перетвореної функції

y = f (x - 3)

.

Крок 2. Визначення екстремуму початкової функції. Подивимося на графік функції

y = f (x)

. Ми бачимо чіткий пік (точку максимуму). Знайдемо координату

x

цього піку. Відрахуємо по клітинках від осі

y

вправо: пік розташований на відстані

2

клітинок, що відповідає значенню

x = 2

. Отже, початкова точка екстремуму це

x = 2

.

Крок 3. Геометричне перетворення графіка. Згадаймо правило перетворення графіків функцій: функція виду

y = f (x - a)

отримується шляхом зсуву графіка функції

y = f (x)

уздовж осі

x

на

a

одиниць вправо, якщо

a > 0

. У нашому випадку

a = 3

, тому весь графік разом із точкою екстремуму переміщується вправо на

3

одиниці.

Крок 4. Покроковий розрахунок нової точки екстремуму. До початкової координати

x = 2

додамо

3

одиниці зсуву:

x_{нова} = 2 + 3 = 5

Правильна відповідь: А.

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

На сторонах $A B$ та $BC$ довільного трикутника $A BC$ вибрано точки $M$ та $N$ відповідно так, що $A M = MB$ , $CN = NB$ . Які з наведених тверджень є правильними?

I. Чотирикутник $A MNC$ є трапецією.
II. Трикутник $MBN$ рівнобедрений.
III. Периметр трикутника $MBN$ дорівнює половині периметра трикутника $A BC$ .

А
лише ІІ
Б
лише І та ІІ
В
лише І та ІІІ
(правильна відповідь)
Г
лише ІІ та ІІІ
Д
І, ІІ та ІІІ

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови завдання.
Нам задано довільний трикутник

A BC

, у якому точки

M

та

N

є серединами сторін

A B

та

BC

відповідно, оскільки за умовою

A M = MB

CN = NB

. Відрізок, який сполучає середини двох сторін трикутника, називається його середньою лінією. Отже,

MN

— середня лінія трикутника

A BC

.

Крок 2. Перевірка твердження I.
За властивістю середньої лінії трикутника, вона завжди паралельна третій стороні цього трикутника. Звідси випливає, що

MN ∥ A C

. Оскільки дві сторони чотирикутника

A MNC

паралельні (

MN ∥ A C

), а дві інші сторони (

A M

та

CN

) лежать на бічних сторонах і не є паралельними, цей чотирикутник за визначенням є трапецією. Твердження I є правильним.

Крок 3. Перевірка твердження II.
За умовою трикутник

A BC

є довільним, тобто його сторони

A B

та

BC

можуть мати абсолютно різну довжину. Тоді їхні половини

MB = \frac{A B}{2}

та

NB = \frac{BC}{2}

також не будуть рівними між собою. Оскільки в трикутнику

MBN

бічні сторони не рівні, він не обов'язково є рівнобедреним. Твердження II неправильне.

Крок 4. Перевірка твердження III.
Периметр трикутника — це сума довжин усіх його сторін. Запишемо периметр малого трикутника

MBN

P_{MBN} = MB + BN + MN

За властивістю середньої лінії трикутника, її довжина дорівнює половині третьої сторони:

MN = \frac{A C}{2}

. Підставимо вирази сторін малого трикутника через сторони великого трикутника

A BC

P_{MBN} = \frac{A B}{2} + \frac{BC}{2} + \frac{A C}{2} = \frac{A B + BC + A C}{2} = \frac{P _{A BC}}{2}

Отже, периметр трикутника

MBN

дійсно дорівнює половині периметра трикутника

A BC

. Твердження III є правильним.

Крок 5. Фінальний висновок.
Правильними виявилися лише твердження I та III.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

В арифметичній прогресії ( $a_{n}$ ): $a_{1} + a_{2} = 11, 2, a_{1} + a_{4} = 8, 8$ . Визначте різницю $d$ цієї прогресії.

А
$d = -1, 2$
(правильна відповідь)
Б
$d = 2, 2$
В
$d = 1, 2$
Г
$d = -1, 7$
Д
$d = -0, 6$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Стратегія розв'язання.
Для знаходження різниці арифметичної прогресії

d

виразимо всі невідомі члени прогресії через її перший член

a_{1}

та різницю

d

. Для цього використаємо загальну формулу n-го члена арифметичної прогресії:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Крок 2. Вираження членів прогресії.
Запишемо формули для другого (

a_{2}

) та четвертого (

a_{4}

) членів:

a_{2} = a_{1} + d

a_{4} = a_{1} + 3 d

Крок 3. Покрокові обчислення.
Підставимо ці вирази в систему рівнянь, яку дано в умові:

{a_{1} + (a_{1} + d) = 11.2 a_{1} + (a_{1} + 3 d) = 8.8

Спростимо кожне рівняння, додавши подібні доданки

a_{1} + a_{1} = 2 a_{1}

{2 a_{1} + d = 11.2 2 a_{1} + 3 d = 8.8

Щоб позбутися змінної

a_{1}

і знайти різницю

d

, викориsegmentємо метод віднімання рівнянь. Віднімемо перше рівняння від другого рівняння системи:

(2 a_{1} + 3 d) - (2 a_{1} + d) = 8.8 - 11.2

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

2 a_{1} + 3 d - 2 a_{1} - d = - 2.4

2 d = - 2.4

Розділимо обидві частини рівняння на

2

d = \frac{- 2.4}{2}

d = - 1.2

Крок 4. Фінальний висновок.
Різниця арифметичної прогресії дорівнює

- 1.2

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

Під час футбольного матчу тренер команди збирається замінити нападником одного із чотирьох захисників. Скільки всього варіантів такої заміни, якщо на лаві запасних два нападники?

А
$2$
Б
$4$
В
$6$
Г
$8$
(правильна відповідь)
Д
$10$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови завдання.
Тренер хоче провести заміну гравців. Йому потрібно вибрати одного захисника з

4

наявних на полі і замінити його на одного нападника з

2

наявних на лаві запасних.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Оскільки вибір захисника та вибір нападника є двома незалежними послідовними діями, для знаходження загальної кількості варіантів такої заміни ми маємо застосувати основне комбінаторне правило добутку.

Крок 3. Покрокові обчислення.
Кількість способів обрати одного захисника для заміни з чотирьох можливих дорівнює

4

.
Кількість способів обрати одного нападника з двох запасних дорівнює

2

.
За правилом добутку, щоб знайти загальну кількість комбінацій, перемножимо ці варіанти між собою:

4 \cdot 2 = 8 варіантів

Крок 4. Фінальний висновок.
Усього існує

8

різних варіантів виконання такої заміни гравців.

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

Визначте координати середини відрізка $A B$ , якщо $A (1; 2; 3)$ і $B (3; 1; 1)$ .

А
$(-2; -1; -2)$
Б
$(1; -0, 5; -1)$
В
$(2; 1, 5; 2)$
(правильна відповідь)
Г
$(4; 3; 1)$
Д
$(-1; -0, 5; -1)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Стратегія розв'язання.
Щоб знайти координати середини відрізка, потрібно обчислити середнє арифметичне відповідних координат його кінців. Тобто ми додаємо координати точок

A

та

B

по кожній осі окремо і ділимо результат навпіл. Нехай середина відрізка має координати

C (x_{c}; y_{c}; z_{c})

, тоді формули мають такий вигляд:

x_{c} = \frac{x _{a} + x _{b}}{2}, y_{c} = \frac{y _{a} + y _{b}}{2}, z_{c} = \frac{z _{a} + z _{b}}{2}

Крок 2. Покрокові обчислення.
Нам задано точки

A (1; 2; 3)

та

B (3; 1; 1)

. Підставимо їхні значення у формули:
1. Обчислимо абсцису (

x_{c}

x_{c} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2

2. Обчислимо ординату (

y_{c}

y_{c} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5

3. Обчислимо аплікату (

z_{c}

z_{c} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

Крок 3. Фінальний висновок.
Координати середини відрізка

A B

становлять

(2; 1.5; 2)

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Спростіть вираз $tg^{2} α - tg^{2} α \cdot sin^{2} α$ .

А
$cos^{2} α$
Б
$tg^{2} α$
В
$0$
Г
$- sin^{2} α$
Д
$sin^{2} α$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Стратегія розв'язання.
Для спрощення цього тригонометричного виразу спочатку винесемо спільний множник за дужки, а потім застосуємо основні тригонометричні тотожності.

Крок 2. Покрокові обчислення.
У виразі

tg^{2} α - tg^{2} α \cdot sin^{2} α

обидва доданки містять спільний множник

tg^{2} α

. Винесемо його за дужки:

tg^{2} α (1 - sin^{2} α)

Згадаємо основну тригонометричну тотожність:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

. З неї випливає, що вираз у дужках дорівнює косинусу в квадраті:

1 - sin^{2} α = cos^{2} α

Підставимо цей результат у наш вираз:

tg^{2} α \cdot cos^{2} α

Тепер розпишемо тангенс через відношення синуса до косинуса, тобто

tg α = \frac{s i n α}{c o s α}

, а відповідно для квадрата:

tg^{2} α = \frac{s i n ^{2} α}{c o s ^{2} α}

\frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} \cdot cos^{2} α

Множник

cos^{2} α

у чисельнику та знаменнику скорочується, і залишається лише чисельник.

Крок 3. Фінальний висновок.
Після всіх спрощень вираз дорівнює

sin^{2} α

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

У прямокутник $A BC D$ вписано прямокутний трикутник $A K M$ так, як зображено на рисунку. Обчисліть площу трикутника $A K M$ , якщо $A K = 12$ см, $A B = 15$ см, $∠ K A D = 3 0^{\circ}$ .

А
$36$ см $^{2}$
Б
$96$ см $^{2}$
В
$72$ см $^{2}$
Г
$723$ см $^{2}$
Д
$363$ см $^{2}$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови задачі. Дано прямокутник

A BC D

, у якому сторона

A B = 15

см, отже протилежна сторона

C D = 15

см. Вписано прямокутний трикутник

A K M

з прямим кутом при вершині

K

(

∠ A K M = 9 0^{\circ}

). Відомо, що

A K = 12

см і

∠ K A D = 3 0^{\circ}

. Нам потрібно знайти площу трикутника

A K M

.

Крок 2. Стратегія розв'язання. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

S = \frac{1}{2} \cdot A K \cdot K M

Катет

A K = 12

см нам відомий. Щоб знайти другий катет

K M

, нам потрібно послідовно розглянути прямокутні трикутники навколо нього.

Крок 3. Покрокові обчислення.
1) Розглянемо прямокутний трикутник

A DK

(

∠ D = 9 0^{\circ}

). У ньому гіпотенуза

A K = 12

см, а

∠ K A D = 3 0^{\circ}

. За властивістю катета, що лежить навпроти кута

3 0^{\circ}

, маємо:

DK = \frac{1}{2} \cdot A K = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 см

2) Знайдемо довжину відрізка

C K

. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то

C D = A B = 15

см. Тоді:

C K = C D - DK = 15 - 6 = 9 см

3) Знайдемо кути при вершині

K

. У прямокутному трикутнику

A DK

сума гострих кутів дорівнює

9 0^{\circ}

, тому:

∠ A KD = 9 0^{\circ} - ∠ K A D = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Оскільки точки

D

K

C

лежать на одній прямій, сума кутів

∠ A KD

∠ A K M

та

∠ M K C

становить

18 0^{\circ}

(розгорнутий кут):

∠ M K C = 18 0^{\circ} - ∠ A KD - ∠ A K M = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

4) Розглянемо прямокутний трикутник

MC K

(

∠ C = 9 0^{\circ}

). У ньому нам відомий катет

C K = 9

см і прилеглий кут

∠ M K C = 3 0^{\circ}

. Знайдемо гіпотенузу

K M

через косинус кута:

cos (∠ M K C) = \frac{C K}{K M}

cos (3 0^{\circ}) = \frac{9}{K M}

\frac{3}{2} = \frac{9}{K M} ⟹ K M = \frac{9 \cdot 2}{3} = \frac{18}{3} = 63 см

Крок 4. Обчислення площі трикутника

A K M

. Тепер підставимо значення обох катетів у формулу площі:

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 63 = 6 \cdot 63 = 363 см^{2}

Правильна відповідь: Д.

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність $(2 x - 3)^{2} < 25$ .

А
$(- \infty; 4)$
Б
$(- 1; 4)$
(правильна відповідь)
В
$(- 4; 1)$
Г
$(4; + \infty)$
Д
$(- \infty; 1)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови завдання.
Задано квадратичну нерівність вигляду

(2 x - 3)^{2} < 25

. Областю допустимих значень для змінної

x

є всі дійсні числа.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Перенесемо число

25

у ліву частину нерівності та розкладемо отриманий вираз на множники за допомогою формули різниці квадратів

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

. Після цього застосуємо метод інтервалів.

Крок 3. Покрокові обчислення.
Перенесемо

25

ліворуч зі зміною знака:

(2 x - 3)^{2} - 25 < 0

Оскільки

25 = 5^{2}

, скористаємося формулою різниці квадратів:

((2 x - 3) - 5) ((2 x - 3) + 5) < 0

Спростимо вирази всередині кожних дужок, звівши подібні числа:

(2 x - 3 - 5) (2 x - 3 + 5) < 0

(2 x - 8) (2 x + 2) < 0

Винесемо спільні цифрові множники з кожної дужки для спрощення виразу. З першої дужки винесемо

2

, з другої теж винесемо

2

2 (x - 4) \cdot 2 (x + 1) < 0

4 (x - 4) (x + 1) < 0

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число

4

. При діленні на додатне число знак нерівності не змінюється:

(x - 4) (x + 1) < 0

Знайдемо нулі функції, прирівнявши кожну дужку до нуля:

x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4

та

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

. Ці точки ділять числову пряму на три інтервали:

(- \infty; - 1)

(- 1; 4)

та

(4; + \infty)

.

Крок 4. Визначення знаків та аналіз результату.
Визначимо знак виразу на проміжках. Візьмемо для перевірки число

0

з інтервалу

(- 1; 4)

і підставимо його у вираз:

(0 - 4) (0 + 1) = - 4

, що є від'ємним значенням (знак мінус). Оскільки знак нерівності строго менше нуля (

< 0

), нам потрібен саме той інтервал, де отримано мінус.

Крок 5. Фінальний висновок.
Розв'язком нерівності є інтервал

(- 1; 4)

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д).

1
$∣ - 6 + cos 4 π ∣$
2
$2 \cdot 18$
3
$lo g_{2} \frac{1}{32}$

А
$7$
Б
$5$
В
$6$
Г
$- 6$
Д
$- 5$

Правильна відповідь

1 — Б; 2 — В; 3 — Д

Пояснення

Послідовно обчислимо значення кожного із трьох математичних виразів:

1. Для виразу

∣ - 6 + cos 4 π ∣

:
Функція косинуса є періодичною із періодом

2 π

, тому значення косинуса повторюється через кожні

2 π

. Це означає, що

cos 4 π = cos 0 = 1

. Підставимо це значення у вираз під знак модуля:

∣ - 6 + 1∣ = ∣ - 5∣

Модуль будь-якого числа завжди є невід'ємним, тому модуль від'ємного числа дорівнює протилежному йому додатному числу:

∣ - 5∣ = 5

. Цьому значенню відповідає число

5

.

2. Для виразу

2 \cdot 18

:
За властивостями арифметичного квадратного кореня, добуток коренів можна записати як корінь із добутку цих чисел під одним радикалом:

2 \cdot 18 = 36

Арифметичний квадратний корінь із числа

36

дорівнює

6

, оскільки

6^{2} = 36

. Цьому значенню відповідає число

6

.

3. Для виразу

lo g_{2} \frac{1}{32}

:
Представимо дріб під логарифмом у вигляді степеня з основою

2

. Знаємо, що

32 = 2^{5}

, тоді за властивістю степеня з від'ємним показником отримуємо:

\frac{1}{32} = 2^{- 5}

. Підставимо це значення в логарифм:

lo g_{2} 2^{- 5}

За основною властивістю логарифма (

lo g_{a} a^{p} = p

), показник степеня виноситься наперед як множник:

lo g_{2} 2^{- 5} = - 5

. Цьому значенню відповідає число

- 5

Завдання 17

на встановлення відповідності

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А–Д).

1
$y = x^{4} - x^{2}$
2
$y = lo g_{0, 2} x$
3
$y = - \frac{1}{x}$

А
область визначення збігається з областю значень
Б
є спадною
В
має лише три нулі
Г
має лише два нулі
Д
графік функції розташований у І та ІІІ координатних чвертях

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — А

Пояснення

Проаналізуємо властивості кожної із трьох наведених функцій:

1. Функція

y = x^{4} - x^{2}

:
Знайдемо нулі цієї функції, прирівнявши вираз до нуля:

x^{4} - x^{2} = 0

. Винесемо спільний множник

x^{2}

за дужки:

x^{2} (x^{2} - 1) = 0

. Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси отримуємо два випадки:
а)

x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0

б)

x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = 1

або

x = - 1

.
Таким чином, функція має рівно три нулі:

- 1

0

та

1

. Їй відповідає властивість «має лише три нулі».

2. Функція

y = lo g_{0, 2} x

:
Це логарифмічна функція. Її поведінка залежить від основи логарифма. У нашому випадку основа дорівнює

0.2

. Оскільки основа менша за одиницю (

0.2 < 1

), то за властивостями логарифмічної функції вона є строго спадною на всій своїй області визначення. Їй відповідає властивість «є спадною».

3. Функція

y = - \frac{1}{x}

:
Знайдемо область визначення (всі можливі значення

x

): знаменник дробу не може бути нулем, тому

x \neq = 0

, що дає множину

(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)

. Тепер знайдемо область значень (всі можливі значення

y

): оскільки чисельник дробу дорівнює

- 1

і ніколи не стає нулем, то і сам дріб ніколи не може дорівнювати нулю, тобто

y \neq = 0

, що дає множину

(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)

. Ми бачимо, що область визначення абсолютно збігається з областю значень функції. Їй відповідає властивість «область визначення збігається з областю значень».

Завдання 18

на встановлення відповідності

На рисунку зображено правильний трикутник $A BC$ та прямокутні рівнобедрені трикутники $A K B$ і $BMC$ . Установіть відповідність між кутом (1–3) та його градусною мірою (А – Д).

1
$∠ A CM$
2
$∠ K BM$
3
$∠ K A M$

А
$7 5^{\circ}$
Б
$9 0^{\circ}$
В
$10 5^{\circ}$
Г
$13 5^{\circ}$
Д
$15 0^{\circ}$

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Д; 3 — А

Пояснення

Крок 1. Аналіз геометричної фігури. Умова задачі містить три трикутники:
1)

△ A BC

— правильний (рівносторонній), тому всі його сторони рівні (

A B = BC = A C

), а всі внутрішні кути дорівнюють

6 0^{\circ}

.
2)

△ A K B

та

△ BMC

— прямокутні рівнобедрені трикутники з прямими кутами при вершинах

K

та

M

(

∠ A K B = ∠ BMC = 9 0^{\circ}

). Оскільки вони рівнобедрені, готрі кути при їхніх основах дорівнюють по

4 5^{\circ}

(тобто

∠ K B A = ∠ K A B = 4 5^{\circ}

та

∠ MBC = ∠ MCB = 4 5^{\circ}

).

Крок 2. Покрокове знаходження кутів та встановлення відповідностей.

1. Знаходження кута $∠ A CM$ :
Цей кут складається з двох кутів:

∠ A CB

(кута правильного трикутника) та

∠ MCB

(кута прямокутного рівнобедреного трикутника):

∠ A CM = ∠ A CB + ∠ MCB = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

Отже, для пункту 1 відповідність — В.

2. Знаходження кута $∠ K BM$ :
Цей кут утворюється навколо вершини

B

сумою трьох кутів:

∠ K B A

∠ A BC

та

∠ CBM

∠ K BM = ∠ K B A + ∠ A BC + ∠ CBM = 4 5^{\circ} + 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 15 0^{\circ}

Отже, для пункту 2 відповідність — Д.

3. Знаходження кута $∠ K A M$ :
Розглянемо трикутник

△ K BM

. Оскільки трикутники

△ A K B

та

△ BMC

побудовані на рівних сторонах правильного трикутника (

A B = BC

), вони є рівними. Звідси випливає, що їхні катети також рівні:

K B = BM

. Це означає, що

△ K BM

— рівнобедрений з вершиною

B

.
Оскільки

∠ K BM = 15 0^{\circ}

, знайдемо кути при його основі:

∠ B K M = \frac{18 0 ^{\circ} - 15 0 ^{\circ}}{2} = 1 5^{\circ}

Тепер знайдемо кут

∠ A K M

. Оскільки

∠ A K B = 9 0^{\circ}

, то:

∠ A K M = ∠ A K B - ∠ B K M = 9 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

Через рівність трикутників

△ A BM

та

△ A CM

за двома сторонами та кутом між ними, сторони

A M

та

K M

рівні (

A M = K M

). Отже, трикутник

△ K A M

є рівнобедреним з основою

A K

, тому кути при його основі рівні:

∠ K A M = ∠ A K M = 7 5^{\circ}

Отже, для пункту 3 відповідність — А.

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Обчисліть значення похідної функції $y = \frac{x}{3 x - 2}$ в точці $x_{0} = 4$ .

Правильна відповідь

-0,035

Пояснення

Крок 1. Стратегія розв'язання.
Задано функцію, яка є часткою двох виразів. Для знаходження її похідної скористаємося стандартним правилом диференціювання частки двох функцій:

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

У нашому прикладі чисельник

u = x

, а знаменник

v = 3 x - 2

.

Крок 2. Знайдемо похідні чисельника і знаменника по черзі:
Похідна чисельника:

u^{'} = (x)^{'} = \frac{1}{2 x}

Похідна знаменника:

v^{'} = (3 x - 2)^{'} = 3

Крок 3. Покрокові обчислення.
Підставимо знайдені вирази у загальну формулу похідної частки:

y^{'} = \frac{\frac{1}{2 x} \cdot ( 3 x - 2 ) - x \cdot 3}{( 3 x - 2 ) ^{2}}

Тепер нам потрібно обчислити значення отриманої похідної в точці

x_{0} = 4

. Для цього підставимо число

4

замість кожної змінної

x

у вираз:
Обчислимо значення окремих компонентів для зручності:

4 = 2

\frac{1}{2 4} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0.25

Знаменник у точці

4

3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10

Підставимо ці проміжні числа у формулу похідної:
Чисельник:

0.25 \cdot 10 - 2 \cdot 3 = 2.5 - 6 = - 3.5

Знаменник:

1 0^{2} = 100

Обчислимо кінцевий дріб:

y^{'} (4) = \frac{- 3.5}{100} = - 0.035

Крок 4. Фінальний висновок.
Значення похідної функції в точці

x_{0} = 4

дорівнює

- 0.035

Завдання 20

з відкритою відповіддю

При купівлі трьох однакових футболок діє акційна пропозиція. За першу футболку покупець сплачує її повну вартість, за другу – на $20%$ менше, ніж за першу, а за третю – на $40%$ менше, ніж за першу. Усього за три футболки Микола заплатив $1056$ грн. Скільки гривень коштує одна футболка без знижки?

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Стратегія розв'язання.
Для розв'язання цієї текстової задачі на відсотки складемо лінійне рівняння. Нехай повна вартість однієї футболки без будь-яких знижок дорівнює

x

гривень. Тоді виразимо акційну вартість кожної із трьох куплених футболок через цю змінну.

Крок 2. Покрокові обчислення.
За умовою акції:
Вартість першої футболки становить повну ціну:

x

Вартість другої футболки на

20%

менша за першу:

x - 0.2 x = 0.8 x

Вартість третьої футболки на

40%

менша за першу:

x - 0.4 x = 0.6 x

Відомо, що всього за три футболки Микола заплатив суму

1056

грн. Додамо вартість усіх трьох футболок та прирівняємо її до цієї суми:

x + 0.8 x + 0.6 x = 1056

Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння, додавши коефіцієнти

1 + 0.8 + 0.6 = 2.4

2.4 x = 1056

Знайдемо змінну

x

, поділивши загальну суму на отриманий коефіцієнт:

x = \frac{1056}{2.4}

Для зручності обчислення без калькулятора помножимо чисельник і знаменник на

10

, щоб позбутися десяткового дробу в знаменнику:

x = \frac{10560}{24}

Виконаємо ділення й отримаємо результат:

x = 440

Крок 3. Фінальний висновок.
Одна футболка без акційної знижки коштує

440

гривень.

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено пряму чотирикутну призму та конус. Основою призми є ромб, площа якого $216$ см $^{2}$ , а сторона – $15$ см. Радіус основи конуса дорівнює половині висоти ромба. Висота призми і твірна конуса рівні. Знайдіть площу (у см $^{2}$ ) повної поверхні призми, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $144 π$ см $^{2}$ .

Правильна відповідь

1632

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та визначення величин. Дано пряму чотирикутну призму та конус. Основою призми є ромб із площею

S_{ромба} = 216 см^{2}

та стороною

a = 15

см. Площа бічної поверхні конуса

S_{бічна конуса} = 144 π см^{2}

.

Крок 2. Стратегія розв'язання. Площу повної поверхні призми знайдемо за формулою:

S_{повна} = 2 \cdot S_{основи} + S_{бічна}

Площа основи (

S_{основи} = S_{ромба} = 216 см^{2}

) вже відома. Бічну площу прямої призми знайдемо за формулою

S_{бічна} = P_{основи} \cdot H

, де

P_{основи}

— периметр ромба, а

H

— висота призми. Висоту призми знайдемо через параметри конуса.

Крок 3. Покрокові обчислення.
1) Знайдемо висоту ромба (

h_{ромба}

). Площа ромба обчислюється як добуток сторони на висоту:

S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}

216 = 15 \cdot h_{ромба} ⟹ h_{ромба} = \frac{216}{15} = 14.4 см

2) Знайдемо радіус основи конуса (

R

). За умовою він дорівнює половині висоти ромба:

R = \frac{1}{2} \cdot h_{ромба} = \frac{14.4}{2} = 7.2 см

3) Знайдемо твірну конуса (

l

). Формула бічної поверхні конуса:

S_{бічна конуса} = π \cdot R \cdot l

144 π = π \cdot 7.2 \cdot l ⟹ 144 = 7.2 \cdot l ⟹ l = \frac{144}{7.2} = 20 см

4) За умовою висота призми

H

дорівнює твірній конуса

l

, отже:

H = 20 см

5) Обчислимо периметр ромба (

P_{основи}

P_{основи} = 4 \cdot a = 4 \cdot 15 = 60 см

6) Обчислимо площу бічної поверхні призми:

S_{бічна} = P_{основи} \cdot H = 60 \cdot 20 = 1200 см^{2}

Крок 4. Обчислення площі повної поверхні призми. Підставимо всі значення у фінальну формулу:

S_{повна} = 2 \cdot 216 + 1200 = 432 + 1200 = 1632 см^{2}

Відповідь: 1632.

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Визначте найменше ціле значення a, за якого рівняння $\frac{l o g _{9} ( 2 x - 4 a + 3 ) - 2}{a ^{2} - x ^{2}} = 0$ має корінь.

Правильна відповідь

Пояснення

Дотримуємося детального покрокового алгоритму для розв'язання складного завдання з параметром:

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Задано рівняння, що містить дріб, логарифм та квадратний корінь у знаменнику. Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому визначений і не дорівнює нулю. Складемо систему обмежень:
1) Вираз під квадратним коренем у знаменнику має бути строго більшим за нуль (оскільки корінь міститься в знаменнику і ділити на нуль не можна):

a^{2} - x^{2} > 0

.
2) Вираз під знаком логарифма має бути строго додатним:

2 x - 4 a + 3 > 0

. Проте, під час розв'язання чисельника ми побачимо, що цей вираз автоматично набуде додатного значення, тому окремо його можна не розв'язувати.

Крок 2. Стратегія розв'язання та пошук коренів.
Прирівняємо чисельник дробу до нуля:

lo g_{9} (2 x - 4 a + 3) - 2 = 0

Перенесемо число

2

праворуч:

lo g_{9} (2 x - 4 a + 3) = 2

За означенням логарифма, вираз під логарифмом дорівнює основі, піднесеній до степеня в правій частині:

2 x - 4 a + 3 = 9^{2}

2 x - 4 a + 3 = 81

Виразимо змінну

x

через параметр

a

. Перенесемо всі інші доданки праворуч зі зміною знаків:

2 x = 81 + 4 a - 3

2 x = 4 a + 78

Розділимо обидві частини на

2

x = 2 a + 39

Ми знайшли потенційний корінь рівняння. Тепер підставимо його в обмеження знаменника, щоб з'ясувати, за яких значень параметра

a

цей корінь існує.

Крок 3. Покрокові обчислення для параметра.
Підставимо вираз

x = 2 a + 39

у нерівність ОДЗ

a^{2} - x^{2} > 0

a^{2} - (2 a + 39)^{2} > 0

Помножимо нерівність на

- 1

, щоб змінити знак нерівності на протилежний для зручності розв'язання:

(2 a + 39)^{2} - a^{2} < 0

Розкладемо ліву частину на множники за допомогою формули різниці квадратів

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

((2 a + 39) - a) ((2 a + 39) + a) < 0

Спростимо вирази всередині кожних дужок:

(a + 39) (3 a + 39) < 0

Винесемо спільний множник

3

із других дужок за межі виразу:

3 (a + 39) (a + 13) < 0

Розділимо обидві частини на додатне число

3

(a + 39) (a + 13) < 0

Це квадратична нерівність відносно параметра

a

. Нулі лівої частини:

a = - 39

та

a = - 13

. За методом інтервалів, оскільки знак нерівності строго менше нуля (

< 0

), розв'язком є відкритий інтервал між цими коренями:

a \in (- 39; - 13)

Це означає, що рівняння матиме корінь лише тоді, коли параметр

a

строго більший за

- 39

і строго менший за

- 13

.

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
За умовою задачі нам потрібно знайти найменше ціле значення параметра

a

. Оскільки інтервал є відкритим (круглі дужки, межі не включаються), число

- 39

не може бути розв'язком. Найменшим цілим числом, яке є строго більшим за

- 39

і входить у цей інтервал, є число

- 38