НМТ з предмета «Математика», 12 червня: відповіді та розбір

Покупець придбав у супермаркеті $3$ пляшки соняшникової олії по $60$ грн кожна. На касі він розрахувався купюрою номіналом $500$ грн. Яку решту повинен отримати покупець?

На рисунку зображено графік залежності об’єму води в басейні $($у м${}^3$) від часу його спорожнення $($у год$)$. За графіком визначте, скільки кубічних метрів води залишиться в басейні через $5$ годин після початку його спорожнення.

Діагональ $AC$ прямокутника $ABCD$ утворює зі стороною $AB$ кут $60^{\circ }($див. рисунок$).AC=8$ см. Визначте довжину сторони $AB$.

Розв’яжіть рівняння $3(4x-2)=0$.

Через вершину $C$ ромба $ABCD$ проведено пер$-$ пендикуляр $PC$ до площини ромба. Діагоналі ромба перетинаються в точці $O$. Укажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої $PO$.

Яка з нерівностей є правильною, якщо $a=2^{-3},b=\lg 1,c=(-3{)}^2$?

Розв’яжіть нерівність ${\log }_6(3-2x)<{\log }_{6}3$.

У прямокутній системі координат $xy$ зображено квадрат $KLMN,K(-1;0),L(-1;2),M(1;2),N(1;0)($див. рисунок$)$. Скільки спільних точок з квадратом $KLMN$ має графік рівняння $x^2+y^2=4$?

На сторонах $AB$ та $BC$ трикутника $ABC$ вибрано точки $M$ та $N$ відповідно так, що $AM=MB,CN=NB$. Які твердження є правильними?

I. $AC\parallel MN$.
II. Відрізок $MN$ є середньою лінією трикутника $ABC$.
III. Площі трикутника $MBN$ та чотирикутника $AMNC$ рівні.

Визначте лінійну функцію, графік якої утворює з додатним напрямом осі $x$ кут $45^{\circ }$.

Від бази відпочинку «Затишна» до навколишніх озер веде кілька стежок. До озера Прозоре веде $2$ стежки, до озера Мальовниче $4$ стежки, а до озера Пісочне $-3$ стежки. Турист навмання вибирає одну стежку, щоб дійти до одного з озер. Яка ймовірність того, що турист вибере маршрут до озера Мальовниче?

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(-6;0;8)$ і $B(-5;2;6)$. Знайдіть координати вектора $\vec{a}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$, де $O-$ початок координат.

Обчисліть значення виразу ${\sin }^2\alpha +2{\cos }^2\alpha$, якщо ${\cos }^2\alpha =0,6$.

Відпочинкова зона в Парку здоров’я складається з двох ділянок квадратної форми площею $144$ м${}^2$ і $225$ м${}^2$ і ділянки у формі прямокутного трикутника, гіпотенуза та катет якого є сторонами квадратів $($див. рисунок$)$. На ділянці трикутної форми розміщено фонтан, який на схемі зображений у формі кола, що дотикається до сторін трикутника. Визначте радіус цього кола.

Визначте додатний корінь рівняння $\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}-10=0$.

Узгодьте вираз (1–3) з тотожно рівним йому виразом (А – Д).

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Усередині рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точку $M$, яка рівновіддалена від усіх вершин трапеції. $\angle BMC=60^{\circ }$, $\angle MAD=30^{\circ }$. Узгодьте кут $(1-3)$ з його градусною мірою $($А $-$ Д$)$.

Обчисліть $\underset{0}{\overset{3}{\int }}(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)dx$.

Улітку середня місячна кількість відвідувачів кінотеатру «Мрія» становила $18000$ осіб. У червні кількість відвідувачів кінотеатру «Мрія» була на $40\%$ більшою, а в серпні $-$ на $20\%$ більшою, ніж у липні. Визначте кількість відвідувачів кінотеатру «Мрія» в червні.

На рисунку зображено правильну трикутну призму й циліндр. Радіус основи циліндра дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи призми. Висота призми дорівнює периметру її основи. Визначте площу $($у см${}^2$) бічної поверхні призми, якщо висота цилін$-$ дра дорівнює $4$ см, а його об’єм $-256\pi$ см${}^3$.

Визначте суму всіх цілих значень $a$, що належать відрізку $[-4;8]$, за кожного з яких рівняння $\frac{2^{|3x-a+8|}-32}{x+2}=0$ має два різні корені.