НМТ з предмета «Математика», 11 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. Покрокові пояснення редакції «Зливи НМТ» є до 21 із 22 завдань; решту ми поступово доповнюємо. Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Іван продає кулькові ручки або по $5$ грн за одну ручку, або по $10$ грн за комплект із трьох ручок. Яку найменшу суму може заробити Іван, продавши $80$ ручок?

А
$400$ грн
Б
$260$ грн
В
$300$ грн
Г
$350$ грн
Д
$270$ грн
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Щоб заробити найменшу суму, Іван повинен продати максимальну кількість ручок у комплектах, оскільки так одна ручка коштує дешевше.

Крок 1. Аналізуємо ціни:
- Одна ручка окремо коштує

5

грн.
- Комплект із

3

ручок коштує

10

грн. Отже, в комплекті одна ручка обходиться в

10 : 3 \approx 3, 33

грн, що значно вигідніше.

Крок 2. Рахуємо кількість комплектів:
Поділимо загальну кількість ручок (

80

) на розмір одного комплекту (

3

80 : 3 = 26

(остача

2

).
Отже, Іван може продати щонайбільше

26

повних комплектів по

3

ручки в кожному. Залишається ще

2

ручки, які доведеться продати поштучно.

Крок 3. Обчислюємо загальну суму:
Вартість

26

комплектів:

26 \cdot 10 = 260

грн.
Вартість

2

окремих ручок:

2 \cdot 5 = 10

грн.
Загальна найменша сума:

260 + 10 = 270

грн.

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено графік зміни температури (у °C) $T$ повітря протягом доби. Визначте різницю (у °C) найбільшого і найменшого зафіксованих значень температури повітря.

А
$4$
Б
$6$
В
$8$
(правильна відповідь)
Г
$10$
Д
$24$

Правильна відповідь

Пояснення до цього завдання ще готується. Спробуйте самостійно записати правило або крок, який веде до правильної відповіді.

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено піцу у формі круга з центром у точці $O$ . Дуга $B m K$ становить половину довжини цього кола. Градусна міра дуги $A m B$ дорівнює $22 0^{\circ}$ . Визначте градусну міру кута $A O K$ .

А
$1 0^{\circ}$
Б
$2 0^{\circ}$
В
$3 0^{\circ}$
Г
$4 0^{\circ}$
(правильна відповідь)
Д
$4 5^{\circ}$

Правильна відповідь

Пояснення

Умова задачі: Нам задано круглу піцу. Дуга

B m K

становить половину кола. Градусна міра дуги

A m B

дорівнює

22 0^{\circ}

. Потрібно знайти центральний кут

A O K

.

Крок 1. Аналіз властивостей кола та дуг:
Градусна міра повного кола становить

36 0^{\circ}

. Оскільки дуга

B m K

становить половину довжини кола, її градусна міра дорівнює:

\cup B m K = \frac{36 0 ^{\circ}}{2} = 18 0^{\circ}

Це означає, що відрізок

B K

є діаметром кола, який ділить його навпіл.

Крок 2. Визначення градусної міри дуги $A K$ :
За умовою, велика дуга

A m B

(яка виділена синім кольором) дорівнює

22 0^{\circ}

. З малюнка чітко видно, що ця дуга складається з двох частин: півкола

B m K

та додаткової дуги

A K

.
Запишемо це у вигляді рівняння:

\cup A m B = \cup B m K + \cup A K

Підставимо відомі значення:

22 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + \cup A K

Звідси знайдемо градусну міру дуги

A K

\cup A K = 22 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

Крок 3. Зв'язок центрального кута з дугою:
Шуканий кут

A O K

є центральним кутом, що спирається на дугу

A K

. За теоремою про центральний кут, його градусна міра дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається:

∠ A O K = \cup A K = 4 0^{\circ}

Цьому значенню відповідає варіант відповіді Г.

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему нерівностей ${x ⩾ - 4, 2 x < 5.$

А
$[- 4; + \infty)$
Б
$(2, 5; + \infty)$
В
$[- 4; 2, 5)$
(правильна відповідь)
Г
$(- \infty; - 4]$
Д
$(- \infty; 2, 5)$

Правильна відповідь

Пояснення

Маємо систему двох лінійних нерівностей. Щоб її розв'язати, потрібно знайти спільні значення змінної

x

, які задовольняють обидві нерівності одночасно.

Крок 1. Розв'яжемо першу нерівність.
Вона вже має простий вигляд:

x ⩾ - 4

. Це означає, що нам підходять усі числа, які більші або дорівнюють

- 4

.

Крок 2. Розв'яжемо другу нерівність.
Маємо:

2 x < 5

. Щоб знайти

x

, поділимо обидві частини на

2

x < \frac{5}{2}

x < 2, 5

Крок 3. Знаходимо переріз (спільну частину) проміжків.
З першої нерівності:

x \in [- 4; + \infty)

. Дужка квадратна, бо знак

⩾

(включаючи число

- 4

).
З другої нерівності:

x \in (- \infty; 2, 5)

. Дужка кругла, бо знак

<

(не включаючи число

2, 5

).
Об'єднаємо ці умови: число

x

має бути одночасно більшим або рівним

- 4

і меншим за

2, 5

.
Отже,

x \in [- 4; 2, 5)

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

У якій просторовій фігурі можна провести апофему?

А
у правильній піраміді
(правильна відповідь)
Б
у конусі
В
у циліндрі
Г
у призмі
Д
у будь-якій піраміді

Правильна відповідь

Пояснення

Апофема — це специфічний геометричний термін.

За означенням, апофема — це висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини до сторони основи.

Давайте розберемо інші фігури:
- У циліндрі та конусі є твірна, а не апофема.
- У призмі бічні грані — паралелограми або прямокутники, вони мають висоти, але термін «апофема» для них не використовується.
- У довільній піраміді висоти бічних граней можуть бути різними і вони не називаються апофемами. Апофема існує лише в правильній піраміді, де всі бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Отже, правильна відповідь — у правильній піраміді.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Якщо $\frac{2 , 5}{x} = \frac{y}{2}$ , то $x y =$

А
$0, 8$
Б
$5$
(правильна відповідь)
В
$1, 25$
Г
$6, 25$
Д
$4, 5$

Правильна відповідь

Пояснення

Перед нами звичайна пропорція.

Крок 1. Основна властивість пропорції стверджує, що добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів (це правило часто називають «правилом хрестика»).
У пропорції

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

виконується рівність:

a \cdot d = b \cdot c

.

Крок 2. Застосуємо це правило до нашого рівняння:

\frac{2 , 5}{x} = \frac{y}{2}

Крайні члени:

2, 5

2

. Середні члени:

x

y

.
Перемножимо їх навхрест:

x \cdot y = 2, 5 \cdot 2

Крок 3. Обчислимо добуток:

x y = 5

.
Отже, добуток

x y

дорівнює

5

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Якому проміжку належить корінь рівняння $lo g_{0, 5} (x - 2) = - 2$ ?

А
$[1; 3)$
Б
$[3; 5)$
В
$[5; 7)$
(правильна відповідь)
Г
$[7; 9)$
Д
$[9; + \infty)$

Правильна відповідь

Пояснення

Це просте логарифмічне рівняння. Розв'яжемо його за означенням логарифма.

Крок 1. Область допустимих значень (ОДЗ).
Вираз під логарифмом завжди має бути строго більшим за нуль.

x - 2 > 0

x > 2

.

Крок 2. Застосовуємо означення логарифма.
Логарифм

lo g_{a} b = c

означає, що основа

a

в степені

c

дорівнює

b

(

a^{c} = b

).
У нашому рівнянні основа дорівнює

0, 5

, степінь дорівнює

- 2

, а підлогарифмічний вираз — це

x - 2

. Отримаємо:

x - 2 = 0, 5^{- 2}

Крок 3. Обчислюємо праву частину.
Десятковий дріб

0, 5

можна записати як звичайний:

\frac{1}{2}

. Тоді:

x - 2 = (\frac{1}{2})^{- 2}

Від'ємний показник степеня перевертає дріб:

x - 2 = 2^{2}

x - 2 = 4

Крок 4. Знаходимо корінь.
Переносимо

- 2

вправо зі знаком плюс:

x = 4 + 2

x = 6

.
Число

6

входить в ОДЗ (

6 > 2

).

Крок 5. Перевіряємо, якому проміжку належить число

6

.
Число

6

знаходиться між

5

та

7

, тому воно належить проміжку

[5; 7)

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

Укажіть точку, яка належить графіку функції $y = sin x$ .

А
$(\frac{π}{2}; 1)$
(правильна відповідь)
Б
$(π; - 1)$
В
$(0; 1)$
Г
$(π; 1)$
Д
$(\frac{π}{2}; 0)$

Правильна відповідь

Пояснення

Щоб перевірити, чи належить точка графіку функції, потрібно підставити координати цієї точки

(x; y)

у рівняння функції

y = sin x

. Якщо утвориться правильна рівність, то точка належить графіку.

Давайте перевіримо кожну точку:
- Точка

(π; - 1)

. Підставляємо

x = π

sin (π) = 0

. Оскільки

0 \neq = - 1

, ця точка не підходить.
- Точка

(0; 1)

. Підставляємо

x = 0

sin (0) = 0

. Оскільки

0 \neq = 1

, ця точка не підходить.
- Точка

(π; 1)

. Підставляємо

x = π

sin (π) = 0

. Оскільки

0 \neq = 1

, ця точка не підходить.
- Точка

(\frac{π}{2}; 0)

. Підставляємо

x = \frac{π}{2}

sin (\frac{π}{2}) = 1

. Оскільки

1 \neq = 0

, ця точка не підходить.
- Точка

(\frac{π}{2}; 1)

. Підставляємо

x = \frac{π}{2}

sin (\frac{π}{2}) = 1

. Отримали

1 = 1

, рівність правильна.

Отже, графіку функції належить лише точка

(\frac{π}{2}; 1)

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень правильні щодо трикутника зі сторонами $a$ , $b$ і $c$ ?

I. Якщо $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , то трикутник прямокутний.
II. Для будь-якого трикутника справджується нерівність $a + b > c$ .
III. Якщо $a + b = a + c$ й $a = c$ , то трикутник правильний.

А
лише І
Б
лише І та ІІ
В
лише І та ІІІ
Г
лише ІІ та ІІІ
Д
І, ІІ та ІІІ
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Проаналізуємо кожне з тверджень окремо, спираючись на базові властивості трикутників.

Твердження I: Якщо

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, то трикутник прямокутний.
Це знаменита теорема Піфагора (а точніше, обернена теорема Піфагора). Вона стверджує: якщо квадрат однієї сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то кут, що лежить навпроти найбільшої сторони, є прямим (

9 0^{\circ}

). Твердження правильне.

Твердження II: Для будь-якого трикутника справджується нерівність

a + b > c

.
Це правило називається «Нерівність трикутника». Будь-яка сторона трикутника завжди повинна бути строго меншою за суму двох інших сторін. Якщо ця умова не виконується, трикутник просто неможливо побудувати. Твердження правильне.

Твердження III: Якщо

a + b = a + c

a = c

, то трикутник правильний.
Давайте спростимо першу рівність

a + b = a + c

. Віднімемо

a

з обох частин, отримаємо

b = c

.
Крім того, нам дано другу умову:

a = c

.
Отже, маємо

a = c

та

b = c

. З цього випливає, що

a = b = c

. Якщо всі три сторони трикутника рівні, такий трикутник називається рівностороннім або правильним. Твердження правильне.

Висновок: усі три твердження (І, ІІ та ІІІ) є правильними.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

Скільки всього не цілих членів має геометрична прогресія ( $b_{n}$ ), у якої $b_{1} = \frac{5}{27}$ а знаменник $q = 3$ ?

А
один
Б
два
В
три
(правильна відповідь)
Г
чотири
Д
п’ять

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Запишемо формулу для членів геометричної прогресії.
Будь-який член можна знайти, помноживши попередній на знаменник

q

.
Формула

n

-го члена:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

.
За умовою:

b_{1} = \frac{5}{27}

, а знаменник

q = 3

.

Крок 2. Обчислимо перші кілька членів прогресії по черзі.
Перший член:

b_{1} = \frac{5}{27}

. Це дробове число, отже воно не ціле.

Другий член:

b_{2} = b_{1} \cdot q = \frac{5}{27} \cdot 3 = \frac{15}{27}

. Скоротимо дріб на

3

, отримаємо

\frac{5}{9}

. Це число теж не ціле.

Третій член:

b_{3} = b_{2} \cdot q = \frac{5}{9} \cdot 3 = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}

. Це число також не ціле.

Четвертий член:

b_{4} = b_{3} \cdot q = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5

. А ось це число вже ціле!

П'ятий член:

b_{5} = b_{4} \cdot q = 5 \cdot 3 = 15

(ціле).
Всі наступні члени утворюватимуться множенням попереднього цілого числа на

3

, тому вони всі завжди будуть цілими числами.

Крок 3. Висновок.
Лише перші три члени (

b_{1}

b_{2}

b_{3}

) є не цілими числами. Отже, загальна кількість не цілих членів — три.

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

В автосалоні продають сім моделей автомобілів однієї марки. Кожна модель представлена в чотирьох кольорах. Під час придбання автомобіля покупець обов’язково оформлює поліс страхування, який може надати одна з трьох страхових компаній. Скільки всього існує різних варіантів вибору моделі й кольору автомобіля для купівлі та страхової компанії для оформлення поліса страхування?

А
$14$
Б
$31$
В
$33$
Г
$84$
(правильна відповідь)
Д
$28$

Правильна відповідь

Пояснення

Ця задача розв'язується за допомогою основного правила комбінаторики — правила множення.
Якщо якусь дію A можна виконати

m

способами, а після цього дію B можна виконати

n

способами, то обидві дії разом можна виконати

m \cdot n

способами.

Крок 1. Аналізуємо етапи вибору покупця.
Покупцю потрібно зробити три послідовні вибори:
1) Обрати модель автомобіля. За умовою, є

7

різних моделей. Отже, маємо

7

варіантів.
2) Обрати колір. Кожна модель має

4

кольори. Отже, для будь-якої обраної моделі є

4

варіанти кольору.
3) Обрати страхову компанію. Є

3

різні страхові компанії, отже, маємо

3

варіанти вибору поліса.

Крок 2. Обчислюємо загальну кількість комбінацій.
Оскільки ці вибори відбуваються незалежно один від одного і покупець повинен обрати все разом (і модель, і колір, і страховку), ми просто перемножуємо кількість варіантів на кожному кроці:
Загальна кількість варіантів =

7 \cdot 4 \cdot 3

7 \cdot 4 = 28

28 \cdot 3 = 84

Отже, всього існує

84

різних варіанти.

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

Визначте точку, симетричну точці $A (2; -3; 7)$ відносно координатної площини $yz$ .

А
$(2; 3; -7)$
Б
$(-2; -3; 7)$
(правильна відповідь)
В
$(2; -3; -7)$
Г
$(2; 3; 7)$
Д
$(-2; 3; -7)$

Правильна відповідь

Пояснення

Щоб знайти координати точки, симетричної заданій відносно певної площини, потрібно запам'ятати просте правило.

Крок 1. Правило симетрії.
Якщо ми шукаємо симетрію відносно координатної площини (наприклад, площини

yz

), то координати точок

y

та

z

залишаються незмінними. Натомість координата тієї осі, якої «немає» у назві площини (у нашому випадку це вісь

x

), змінює свій знак на протилежний.

Крок 2. Застосовуємо правило до нашої точки.
Початкова точка має координати

A (x; y; z)

, де:

x = 2

y = - 3

z = 7

Координати

y

та

z

залишаємо як є:

y = - 3

z = 7

.
Координату

x

змінюємо на протилежну: було

2

, стане

- 2

.

Крок 3. Формуємо відповідь.
Отримана точка матиме координати

(- 2; - 3; 7)

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Спростіть вираз $\frac{( a ^{2} - 1 ) ( a + 1 )}{a ^{2} + 2 a + 1}$ .

А
$a - 1$
(правильна відповідь)
Б
$\frac{a + 1}{a - 1}$
В
$a + 1$
Г
$\frac{a - 1}{2}$
Д
$1 - a$

Правильна відповідь

Пояснення

Щоб спростити такий дріб, потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники за допомогою формул скороченого множення, а потім скоротити однакові вирази.

Крок 1. Аналізуємо чисельник:

(a^{2} - 1) (a + 1)

.
Перша дужка

(a^{2} - 1)

— це формула різниці квадратів:

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

.
Тому

a^{2} - 1 = a^{2} - 1^{2} = (a - 1) (a + 1)

.
Підставимо це назад у чисельник:

(a - 1) (a + 1) (a + 1) = (a - 1) (a + 1)^{2}

.

Крок 2. Аналізуємо знаменник:

a^{2} + 2 a + 1

.
Цей вираз — це повний квадрат суми:

x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2}

.
Тут

x = a

, а

y = 1

.
Отже,

a^{2} + 2 a + 1 = (a + 1)^{2}

.

Крок 3. Спрощуємо дріб.
Запишемо дріб з новими чисельником і знаменником:

\frac{( a - 1 ) ( a + 1 ) ^{2}}{( a + 1 ) ^{2}}

Тепер ми можемо повністю скоротити вираз

(a + 1)^{2}

у чисельнику і знаменнику (за умови, що

a \neq = - 1

).
Після скорочення залишається лише

(a - 1)

.

Відповідь:

a - 1

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

У ромб $A BC D$ вписано коло із центром $O$ , відрізок $O K$ – радіус цього кола, відрізок $B D$ – діагональ ромба (див. рисунок). Визначте площу ромба $A BC D$ , якщо $O K = 6$ см, а $∠ C D B = 7 5^{\circ}$ .

А
$1443$ см $^{2}$
Б
$144$ см $^{2}$
В
$963$ см $^{2}$
Г
$288$ см $^{2}$
(правильна відповідь)
Д
$2883$ см $^{2}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз геометричних властивостей ромба:
У ромбі

A BC D

діагоналі перпендикулярні й точкою перетину

O

діляться навпіл. Також точка

O

є центром вписаного кола. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тому якщо за умовою

∠ C D B = 7 5^{\circ}

, то весь кут ромба

∠ A D C = 2 \cdot 7 5^{\circ} = 15 0^{\circ}

.

Розглянемо прямокутний трикутник

△ CO D

(кут

∠ CO D = 9 0^{\circ}

). У ньому кут

∠ O D C = ∠ C D B = 7 5^{\circ}

. Тоді гострий кут

∠ OC D = 9 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 1 5^{\circ}

.

Крок 2. Стратегія розв'язання:
Радіус

O K = 6

см проведений у точку дотику, тому

O K ⊥ C D

. Відрізок

O K

є висотою прямокутного трикутника

△ CO D

, проведеною до гіпотенузи. Знайдемо площу цього трикутника, а потім помножимо її на

4

, оскільки чотири такі трикутники складають повну площу ромба (

S = 4 \cdot S_{△ CO D}

).

Крок 3. Покрокові обчислення елементів трикутника:
У прямокутному трикутнику

△ O K C

(де

∠ O K C = 9 0^{\circ}

sin (∠ OC D) = \frac{O K}{OC} ⟹ sin (1 5^{\circ}) = \frac{6}{OC} ⟹ OC = \frac{6}{sin ( 1 5 ^{\circ} )}

У прямокутному трикутнику

△ O KD

(де

∠ O KD = 9 0^{\circ}

sin (∠ O DK) = \frac{O K}{O D} ⟹ sin (7 5^{\circ}) = \frac{6}{O D}

Оскільки

sin (7 5^{\circ}) = sin (9 0^{\circ} - 1 5^{\circ}) = cos (1 5^{\circ})

, отримуємо:

O D = \frac{6}{cos ( 1 5 ^{\circ} )}

Площа прямокутного трикутника

△ CO D

через його катети

OC

та

O D

дорівнює:

S_{△ CO D} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot O D = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{sin ( 1 5 ^{\circ} )} \cdot \frac{6}{cos ( 1 5 ^{\circ} )} = \frac{18}{sin ( 1 5 ^{\circ} ) cos ( 1 5 ^{\circ} )}

Використаємо тригонометричну формулу подвійного аргументу для синуса:

2 sin (α) cos (α) = sin (2 α)

. Помножимо чисельник і знаменник на

2

S_{△ CO D} = \frac{36}{2 sin ( 1 5 ^{\circ} ) cos ( 1 5 ^{\circ} )} = \frac{36}{sin ( 3 0 ^{\circ} )}

Оскільки

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

, підставимо це значення:

S_{△ CO D} = \frac{36}{1/2} = 36 \cdot 2 = 72 см^{2}

Крок 4. Фінальний висновок:
Площа всього ромба в

4

рази більша за площу трикутника

r ian g l e CO D

S = 4 \cdot S_{△ CO D} = 4 \cdot 72 = 288 см^{2}

Правильний варіант відповіді — Г.

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть рівняння $∣1 - 2 x ∣ = 8$ . Якщо рівняння має єдиний корінь, то позначте його. Якщо рівняння має більш як один корінь, то визначте їхню суму.

А
$- 1$
Б
$7$
В
$1$
(правильна відповідь)
Г
$- 4, 5$
Д
$- 3, 5$

Правильна відповідь

Пояснення

Маємо рівняння з модулем. Модуль числа — це відстань від цього числа до нуля на координатній прямій. Відстань

8

до нуля мають два числа:

8

та

- 8

.
Тому вираз під модулем може дорівнювати або

8

, або

- 8

.

Крок 1. Розбиваємо на два окремих рівняння.
Рівняння 1:

1 - 2 x = 8

Рівняння 2:

1 - 2 x = - 8

Крок 2. Розв'язуємо перше рівняння.

1 - 2 x = 8

Переносимо

1

вправо зі знаком мінус:

- 2 x = 8 - 1

- 2 x = 7

Ділимо на

- 2

x_{1} = - 3, 5

Крок 3. Розв'язуємо друге рівняння.

1 - 2 x = - 8

Переносимо

1

вправо зі знаком мінус:

- 2 x = - 8 - 1

- 2 x = - 9

Ділимо на

- 2

x_{2} = 4, 5

Крок 4. Знаходимо суму коренів.
У нас вийшло два корені. За умовою задачі потрібно знайти їхню суму:

x_{1} + x_{2} = - 3, 5 + 4, 5 = 1

.
Отже, сума коренів дорівнює

1

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д).

1
$\frac{2}{5} - \frac{12}{3}$
2
$\frac{24}{6}$
3
$5^{3} \cdot 0, 2^{4}$

А
$0, 2$
Б
$2$
В
$3, 6$
Г
$4$
Д
$5$

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — А

Пояснення

Розв'яжемо кожен з трьох виразів окремо.

Вираз 1:

\frac{2}{5} - \frac{12}{3}

Спершу виконаємо дію в дужках. Дріб

\frac{12}{3}

легко ділиться:

12 : 3 = 4

.
Тоді маємо:

\frac{2}{5} - 4

.
Зведемо до спільного знаменника.

4 = \frac{20}{5}

\frac{2}{5} - \frac{20}{5} = \frac{2 - 20}{5} = \frac{- 18}{5} = - 3, 6

Модуль від'ємного числа робить його додатним:

∣ - 3, 6∣ = 3, 6

.
Отже, перший вираз відповідає значенню

3, 6

.

Вираз 2:

\frac{24}{6}

За властивістю коренів

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

, можемо записати це під один великий корінь:

\frac{24}{6}

Виконаємо ділення під коренем:

24 : 6 = 4

.
Тоді залишається обчислити

4 = 2

.
Отже, другий вираз відповідає значенню

2

.

Вираз 3:

5^{3} \cdot 0, 2^{4}

Перетворимо десятковий дріб

0, 2

на звичайний:

0, 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

.
Тоді вираз має вигляд:

5^{3} \cdot (\frac{1}{5})^{4}

.
Піднесемо дріб до четвертого степеня:

(\frac{1}{5})^{4} = \frac{1 ^{4}}{5 ^{4}} = \frac{1}{5 ^{4}}

.
Отримаємо:

5^{3} \cdot \frac{1}{5 ^{4}} = \frac{5 ^{3}}{5 ^{4}}

При діленні степенів з однаковими основами показники віднімаються:

3 - 4 = - 1

.
Маємо

5^{- 1}

, що дорівнює

\frac{1}{5}

.
Переведемо назад у десятковий дріб:

\frac{1}{5} = 0, 2

.
Отже, третій вираз відповідає значенню

0, 2

Завдання 17

на встановлення відповідності

У прямокутній системі координат на площині $x y$ зображено відрізок $A B$ (див. рисунок). Увідповідніть функцію (1–3) із кількістю (А – Д) спільних точок її графіка з відрізком $A B$ .

1
$y = 0, 5^{x}$
2
$y = cos x$
3
$y = 1 - x$

А
жодної
Б
лише одна
В
лише дві
Г
лише три
Д
безліч

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — Д

Пояснення

Крок 1. Аналіз умов та геометричного змісту відрізка $A B$ :
Знайдемо координати кінців відрізка за малюнком:
Точка

A

лежить на осі

y

, її координати

A (0; 1)

.
Точка

B

має координати

B (- 1; 2)

.
Складемо рівняння прямої, що проходить через ці дві точки, у вигляді

y = k x + b

. Підставимо координати точки

A

1 = k \cdot 0 + b ⟹ b = 1

. Тепер підставимо точку

B

2 = k \cdot (- 1) + 1 ⟹ - k = 1 ⟹ k = - 1

. Отже, рівняння прямої має вигляд

y = 1 - x

. Відрізок

A B

— це частина цієї прямої для значень

x

з проміжку

[- 1; 0]

.

Крок 2. Дослідження кожної функції:

1) $y = 0, 5^{x}$
Перевіримо значення цієї показникової функції на кінцях проміжку:
При

x = - 1

y = 0, 5^{- 1} = (\frac{1}{2})^{- 1} = 2

(отримали точку

B (- 1; 2)

).
При

x = 0

y = 0, 5^{0} = 1

(отримали точку

A (0; 1)

).
Оскільки показникова функція

y = 0, 5^{x}

є строго спадною та опуклою вниз, її графік перетинає відрізок (пряму лінію) тільки в цих двох спільних точках — кінцях відрізка. Тому для першої функції кількість спільних точок — лише дві (В).

2) $y = cos x$
Перевіримо значення функції в точці

x = 0

y = cos 0 = 1

(отримали точку

A (0; 1)

). Тобто одна спільна точка вже є. На інтервалі

x \in [- 1; 0)

значення

cos x

завжди строго менші за

1

, тоді як значення ординат точок відрізка

y = 1 - x

строго більші за

1

(оскільки віднімається від'ємне число). Через це інших перетинів на проміжку немає. Кількість спільних точок — лише одна (Б).

3) $y = 1 - x$
Графіком цієї лінійної функції є пряма, яка повністю збігається з прямою, на якій лежить відрізок

A B

. Оскільки графік містить весь відрізок повністю, вони мають нескінченну кількість сплишних точок. Кількість спільних точок — безліч (Д).

Завдання 18

на встановлення відповідності

Вершини $A$ та $D$ прямокутника $A BC D$ є центрами кіл, які дотикаються ззовні, вершина $B$ належить більшому колу (див. рисунок). Радіуси більшого і меншого кіл дорівнюють $6$ см і $2$ см. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

1
$BC$
2
$B D$
3
відстань від точки $C$ до відрізка $B D$

А
$4, 8$ см
Б
$5, 2$ см
В
$8$ см
Г
$10$ см
Д
$12$ см

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Г; 3 — А

Пояснення

Крок 1. Аналіз геометричної конфігурації:
Нам задано прямокутник

A BC D

. Вершина

A

є центром більшого кола з радіусом

R = 6

см. Оскільки вершина

B

лежить на цьому колі, довжина сторони прямокутника

A B

дорівнює радіусу цього кола:

A B = R = 6 см

Вершина

D

є центром меншого кола з радіусом

r = 2

см. Оскільки кола дотикаються зовні, відстань між їхніми центрами дорівнює сумі їхніх радіусів:

A D = R + r = 6 + 2 = 8 см

Оскільки

A BC D

— прямокутник, протилежні сторони рівні:

BC = A D = 8

см, а

C D = A B = 6

см.

Крок 2. Знаходження довжин відрізків:

1) Відрізок $BC$ :
Як ми вже визначили з властивостей протилежних сторін прямокутника,

BC = A D = 8

см. Тому для пункту 1 відповідь — В (8 см).

2) Відрізок $B D$ :
Відрізок

B D

є діагоналлю прямокутника і гіпотенузою в прямокутному трикутнику

△ A B D

(кут

∠ A = 9 0^{\circ}

). За теоремою Піфагора:

B D = A B^{2} + A D^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 см

Тому для пункту 2 відповідь — Г (10 см).

3) Відстань від точки $C$ до відрізка $B D$ :
У прямокутнику діагональ ділить його на два рівні прямокутні трикутники (

△ BC D = △ D A B

). Тому відстань від точки

C

до діагоналі

B D

(висота трикутника

△ BC D

) дорівнює висоті

h

, проведеній з вершини

A

на гіпотенузу

B D

у трикутнику

△ A B D

.
Висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, знайдемо за формулою добутку катетів, поділеного на гіпотенузу:

h = \frac{A B \cdot A D}{B D} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4, 8 см

Тому для пункту 3 відповідь — А (4,8 см).

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Дотична, проведена до графіка функції $y = 2 x^{2} - 5 x - 11$ в точці з абсцисою $x_{0}$ , нахилена до додатного напряму осі x під кутом $4 5^{\circ}$ . Визначте $y (x_{0})$ .

Правильна відповідь

Пояснення

Це завдання на геометричний зміст похідної.

Крок 1. Геометричний зміст похідної.
Похідна функції в точці

x_{0}

дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка в цій точці:

f^{'} (x_{0}) = tg α

.
За умовою, кут

α = 4 5^{\circ}

.
Знайдемо тангенс цього кута:

tg (4 5^{\circ}) = 1

.
Отже, значення похідної в точці

x_{0}

дорівнює

1

y^{'} (x_{0}) = 1

.

Крок 2. Знайдемо похідну заданої функції.
Наша функція:

y = 2 x^{2} - 5 x - 11

.
Похідна

y^{'} = (2 x^{2})^{'} - (5 x)^{'} - (11)^{'}

y^{'} = 2 \cdot 2 x - 5 - 0 = 4 x - 5

.

Крок 3. Знайдемо абсцису точки дотику

x_{0}

.
Прирівняємо знайдену похідну до

1

4 x_{0} - 5 = 1

4 x_{0} = 1 + 5

4 x_{0} = 6

x_{0} = 6 : 4 = 1, 5

.

Крок 4. Знайдемо значення функції в цій точці (

y (x_{0})

).
Тепер потрібно підставити знайдене

x_{0} = 1, 5

у початкову функцію (не в похідну!):

y (1, 5) = 2 \cdot (1, 5)^{2} - 5 \cdot 1, 5 - 11

Рахуємо:

1, 5^{2} = 2, 25

2 \cdot 2, 25 = 4, 5

5 \cdot 1, 5 = 7, 5

Підставляємо:

4, 5 - 7, 5 - 11 = - 3 - 11 = - 14

.

Висновок: Значення функції в точці дотику дорівнює

- 14

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Базова ціна оренди однієї байдарки становить $900$ грн за добу. Перші три доби оренди ця ціна залишається незмінною. Починаючи з четвертої доби, надається знижка на оренду байдарки від базової вартості: на четверту добу – знижка $10%$ , а на п’яту та кожну наступну добу – знижка $15%$ . Скільки всього гривень сплатить клієнт за оренду байдарки протягом $6$ днів?

Правильна відповідь

5040

Пояснення

Крок 1. Аналіз умов оплати.
Оренда триває

6

днів. Розпишемо вартість для кожного дня окремо:
- 1-й день: базова ціна (

900

грн)
- 2-й день: базова ціна (

900

грн)
- 3-й день: базова ціна (

900

грн)
- 4-й день: знижка

10%

від базової ціни
- 5-й день: знижка

15%

від базової ціни
- 6-й день: знижка

15%

від базової ціни

Крок 2. Обчислення вартості для кожного дня.
Вартість за перші три дні:

3 \cdot 900 = 2700

грн.

Вартість на 4-й день:
Знижка

10%

означає, що клієнт платить

100% - 10% = 90%

від ціни.

90%

від

900

грн — це

900 \cdot 0, 9 = 810

грн.

Вартість на 5-й та 6-й дні:
Знижка

15%

означає, що клієнт платить

100% - 15% = 85%

від ціни.

85%

від

900

грн — це

900 \cdot 0, 85 = 765

грн.
Оскільки таких днів два (п'ятий і шостий), сума за них:

765 \cdot 2 = 1530

грн.

Крок 3. Підрахунок загальної суми.
Додаємо витрати за всі

6

днів:
Загальна сума =

2700

(за

1 - 3

дні) +

810

(за

4

-й день) +

1530

(за

5

-й і

6

-й дні).

2700 + 810 = 3510

3510 + 1530 = 5040

грн.

Отже, клієнт сплатить

5040

гривень.

Завдання 21

з відкритою відповіддю

Задано циліндр та конус, що мають рівні основи (див. рисунок). Радіус основи конуса дорівнює $5$ см, а його твірна дорівнює $13$ см. Визначте, у скільки разів об’єм циліндра більший за об’єм конуса, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $150 π$ см $^{2}$ .

Правильна відповідь

3,75

Пояснення

Крок 1. Аналіз заданих величин конуса:
Для конуса відомо: радіус основи

R = 5

см, твірна

L = 13

см. Знайдемо його висоту

H_{конуса}

за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника, утвореного радіусом, висотою та твірною:

H_{конуса} = L^{2} - R^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12 см

Крок 2. Обчислення об'єму конуса:
Формула об'єму конуса:

V_{конуса} = \frac{1}{3} π R^{2} H_{конуса}

Підставимо значення:

V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 5^{2} \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 25 \cdot 12 = 100 π см^{3}

Крок 3. Знаходження елементів та об'єму циліндра:
Циліндр і конус мають рівні основи, отже, радіус основи циліндра також дорівнює

R = 5

см. Нам задано площу бічної поверхні циліндра:

S_{бічна} = 150 π см^{2}

.
Формула площі бічної поверхні циліндра:

S_{бічна} = 2 π R H_{циліндра}

. Звідси виразимо і знайдемо висоту циліндра

H_{циліндра}

150 π = 2 π \cdot 5 \cdot H_{циліндра}

150 π = 10 π \cdot H_{циліндра} ⟹ H_{циліндра} = \frac{150 π}{10 π} = 15 см

Тепер знайдемо об'єм циліндра за формулою:

V_{циліндра} = π R^{2} H_{циліндра} = π \cdot 5^{2} \cdot 15 = π \cdot 25 \cdot 15 = 375 π см^{3}

Крок 4. Порівняння об'ємів:
Щоб дізнатися, у скільки разів об'єм циліндра більший за об'єм конуса, поділимо перший на другий:

\frac{V _{циліндра}}{V _{конуса}} = \frac{375 π}{100 π} = 3, 75

Відповідь:

3, 75

Завдання 22

з відкритою відповіддю

За якого найбільшого значення $a$ рівняння $\frac{( 2 ^{x} - \frac{1}{8} ) ( 2 ^{x} - 4 2 ^{2 a - 5} )}{x ^{2} - 6 x + 9} = 0$ має єдиний корінь?

Правильна відповідь

Пояснення

Це завдання з параметром. Розв'язуємо його дуже обережно та системно.

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ.
Маємо дріб, який дорівнює нулю. Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли:
1) Чисельник дорівнює нулю.
2) Знаменник не дорівнює нулю (на нуль ділити не можна!).

Знайдемо ОДЗ (обмеження для знаменника):

x^{2} - 6 x + 9 \neq = 0

Помічаємо, що це формула повного квадрата:

(x - 3)^{2} \neq = 0

.
Звідси випливає, що

x - 3 \neq = 0

, тобто

x \neq = 3

. Це наша заборонена точка.

Крок 2. Прирівнюємо чисельник до нуля.

(2^{x} - \frac{1}{8}) \cdot (2^{x} - 4 2^{2 a - 5}) = 0

Добуток двох виразів дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю. Маємо два рівняння:
1)

2^{x} - \frac{1}{8} = 0

2^{x} - 4 2^{2 a - 5} = 0

Крок 3. Розв'яжемо перше рівняння.

2^{x} = \frac{1}{8}

Оскільки

8 = 2^{3}

, то

\frac{1}{8} = 2^{- 3}

2^{x} = 2^{- 3} ⟹ x = - 3

Цей корінь

x = - 3

задовольняє ОДЗ (

- 3 \neq = 3

), отже, це гарантований перший корінь рівняння, незалежно від параметра

a

.

Крок 4. Розв'яжемо друге рівняння.

2^{x} = 4 2^{2 a - 5}

Перепишемо корінь 4-го степеня як дробовий показник:

2^{x} = 2^{\frac{2 a - 5}{4}}

Оскільки основи однакові, прирівнюємо показники:

x = \frac{2 a - 5}{4}

Це наш «другий» потенційний корінь, який залежить від параметра

a

.

Крок 5. Умова єдиного кореня.
За умовою, рівняння повинно мати єдиний корінь.
Але ми вже точно маємо один дійсний корінь

x = - 3

.
Щоб нових коренів не додалося (щоб корінь залишився єдиним), «другий» корінь має або збігатися з першим (тоді це той самий корінь), або бути стороннім (тобто дорівнювати забороненому значенню

x = 3

з ОДЗ, і тоді ми його відкинемо).

Розглянемо обидва сценарії:

Сценарій 1: Другий корінь збігається з першим.

\frac{2 a - 5}{4} = - 3

Множимо на

4

2 a - 5 = - 12

2 a = - 12 + 5

2 a = - 7

a = - 3, 5

Сценарій 2: Другий корінь потрапляє в заборонену точку (не задовольняє ОДЗ).

\frac{2 a - 5}{4} = 3

Множимо на

4

2 a - 5 = 12

2 a = 12 + 5

2 a = 17

a = 8, 5

Крок 6. Фінальний висновок.
Отже, рівняння має єдиний корінь при двох значеннях параметра:

a = - 3, 5

та

a = 8, 5

.
Нас просять знайти найбільше значення

a

.
Серед

- 3, 5

та

8, 5

найбільшим є

8, 5