НМТ з предмета «Математика», 9 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Знайдіть найменший з-поміж наведених розв’язок нерівності $2 x + 7 > 27$ .

А
$20$
Б
$15$
(правильна відповідь)
В
$5$
Г
$10$
Д
$- 5$

Правильна відповідь

Пояснення

Розв'яжемо лінійну нерівність.

Крок 1. Перенесемо всі числа в праву частину нерівності, змінивши знак на протилежний:

2 x > 27 - 7

2 x > 20

Крок 2. Поділимо обидві частини нерівності на $2$ . Оскільки $2$ — додатне число, знак нерівності не змінюється:

x > \frac{20}{2}

x > 10

Крок 3. Проаналізуємо результат. Нам потрібно знайти найменший розв'язок з-поміж наведених. Оскільки $x$ строго більший за $10$ , то наймешим серед варіантів відповідей є число $15$ .

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На діаграмі відображено дані про швидкість автомобілів, яку зафіксували камери спостереження у вечірній час. За даними діаграми визначте загальну кількість автомобілів, рух яких було зафіксовано.

А
$45$
Б
$48$
В
$49$
(правильна відповідь)
Г
$50$
Д
$52$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Нам надано стовпчасту діаграму (гістограму), яка показує кількість автомобілів для кожного діапазону швидкості. Щоб знайти загальну кількість автомобілів, рух яких було зафіксовано, потрібно просто додати показники всіх стовпчиків.

Крок 2. Обчислення. Зчитуємо дані з діаграми по вертикальній осі:
Для швидкості

40 - 60

км/год:

8

автомобілів.
Для швидкості

61 - 80

км/год:

12

автомобілів.
Для швидкості

81 - 100

км/год:

15

автомобілів.
Для швидкості

101 - 120

км/год:

10

автомобілів.
Для швидкості понад

120

км/год:

4

автомобілі.

Додаємо ці значення:

8 + 12 + 15 + 10 + 4 = 49

Висновок: Загальна кількість зафіксованих автомобілів становить

49

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Дарина купила сир та фрукти, витративши $240$ грн. Скільки грошей Дарина витратила на фрукти, якщо за сир вона заплатила $\frac{3}{5}$ витраченої суми?

А
$34$ грн
Б
$30$ грн
В
$45$ грн
Г
$60$ грн
Д
$96$ грн
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на знаходження частини від числа.

Крок 1. Аналізуємо умову. Загальна сума витрачених грошей становить

240

грн. За сир Дарина заплатила

\frac{3}{5}

від усієї суми.

Крок 2. Знайдемо, скільки грошей було витрачено на сир. Для цього загальну суму помножимо на поданий дріб:

240 \cdot \frac{3}{5} = \frac{240 \cdot 3}{5}

Скоротимо

240

5

(ділимо

240

на

5

, отримуємо

48

48 \cdot 3 = 144

грн.

Крок 3. Знайдемо, скільки грошей залишилося на фрукти. Віднімемо від загальної суми вартість сиру:

240 - 144 = 96

грн.

Альтернативний спосіб:
Якщо сир коштує

\frac{3}{5}

від усієї суми, то фрукти коштують

1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

від суми. Тоді:

240 \cdot \frac{2}{5} = 48 \cdot 2 = 96

грн.

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

На рисунку 1 схематично зображено бічну проєкцію будівельної драбини-трансформера (рис. 2), розкладеної у вигляді помосту на горизонтальній підлозі (пряма $A D$ ). Чотирикутник $A BC D$ – рівнобічна трапеція. Визначте градусну міру кута $B A D$ , якщо $∠ BC D = 11 0^{\circ}$ .

А
$7 0^{\circ}$
(правильна відповідь)
Б
$5 5^{\circ}$
В
$6 0^{\circ}$
Г
$11 0^{\circ}$
Д
$3 5^{\circ}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та властивостей фігури. За умовою, чотирикутник

A BC D

— це рівнобічна трапеція. Основами є паралельні відрізки

BC

та

A D

, а бічними сторонами —

A B

та

C D

.
Для рівнобічної трапеції діють такі базові правила:
1) Кути при кожній з основ є рівними. Тобто кут при вершині

B

дорівнює куту при вершині

C

(

∠ A BC = ∠ BC D

), а кут при вершині

A

дорівнює куту при вершині

D

(

∠ B A D = ∠ A D C

).
2) Сума кутів, прилеглих до будь-якої бічної сторони, завжди дорівнює

18 0^{\circ}

. Тобто

∠ B A D + ∠ A BC = 18 0^{\circ}

.

Крок 2. Покрокове розв'язання.
Оскільки трапеція рівнобічна, застосуємо перше правило:

∠ A BC = ∠ BC D = 11 0^{\circ}

Тепер застосуємо друге правило для бічної сторони

A B

∠ B A D + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Переносимо відоме число в праву частину з протилежним знаком, щоб знайти невідомий кут:

∠ B A D = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

Куля утворена обертанням

А
кола навколо його діаметра
Б
круга навколо прямої, що проходить через його центр
(правильна відповідь)
В
кола навколо його хорди
Г
круга навколо прямої, що не проходить через його центр
Д
кола навколо дотичної

Правильна відповідь

Пояснення

Це завдання перевіряє знання тіл обертання в геометрії.

Крок 1. Пригадаймо визначення.
Сфера — це поверхня (оболонка), яка утворюється обертанням кола навколо його діаметра. Вона порожня всередині.
Куля — це суцільне об'ємне тіло, обмежене сферою.

Крок 2. Щоб отримати суцільну фігуру (кулю), потрібно обертати суцільну плоску фігуру (круг). Обертання має відбуватися навколо прямої, що містить діаметр круга (тобто проходить через його центр).

Отже, правильне твердження: куля утворена обертанням круга навколо прямої, що проходить через його центр.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

$∣ 5^{- 1} - 3∣ =$

А
$- 2, 8$
Б
$- 8$
В
$2, 8$
(правильна відповідь)
Г
$2$
Д
$8$

Правильна відповідь

Пояснення

Завдання на обчислення виразу з модулем та від'ємним степенем.

Крок 1. Позбудемося від'ємного степеня. За правилом

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

, маємо:

5^{- 1} = \frac{1}{5}

Крок 2. Перетворимо звичайний дріб на десятковий для зручності віднімання. Для цього чисельник і знаменник помножимо на

2

\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0, 2

Крок 3. Виконаємо дію в модулі:

∣0, 2 - 3∣ = ∣ - 2, 8∣

Крок 4. Застосуємо визначення модуля. Модуль від'ємного числа дорівнює протилежному додатному числу:

∣ - 2, 8∣ = 2, 8

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть рівняння $3^{x} = 81 \cdot 9^{x}$ .

А
$- 2$
Б
$- 4$
(правильна відповідь)
В
$3$
Г
$- 3$
Д
$4$

Правильна відповідь

Пояснення

Розв'яжемо показникове рівняння.

Крок 1. Стратегія розв'язання. Нам потрібно звести всі основи степенів до одного спільного числа. У нас є числа

3

81

та

9

. Усі вони є степенями трійки:

81 = 3^{4}

9 = 3^{2}

Крок 2. Підставимо ці значення в наше рівняння:

3^{x} = 3^{4} \cdot (3^{2})^{x}

Крок 3. Використаємо властивість степеня

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

3^{x} = 3^{4} \cdot 3^{2 x}

Крок 4. Використаємо властивість множення степенів з однаковими основами

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

3^{x} = 3^{4 + 2 x}

Крок 5. Оскільки основи однакові, ми можемо прирівняти показники:

x = 4 + 2 x

Крок 6. Розв'яжемо отримане лінійне рівняння. Перенесемо невідомі в ліву сторону:

x - 2 x = 4

- x = 4

x = - 4

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку $[-4; 4]$ . Укажіть проміжок, на якому функція набуває лише від’ємних значень.

А
$(-4; -1)$
Б
$(0; 1)$
В
$(1; 4)$
Г
$(1; 2)$
(правильна відповідь)
Д
$(3; 4)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Нам потрібно знайти проміжок, на якому функція

y = f (x)

набуває лише від'ємних значень. Математично це означає, що значення по осі

y

мають бути строго меншими за нуль (

y < 0

). Візуально на графіку ми шукаємо той відрізок осі

x

, де крива розташована повністю і строго нижче осі

O x

(не торкаючись її і не піднімаючись вище).

Крок 2. Визначення нулів функції. Подивимось, у яких точках графік перетинає вісь

O x

(де

y = 0

). Це точки

x = - 4

x = 1

та

x = 3

.
За графіком чітко видно, що крива опускається нижче осі

O x

тільки між точками перетину

x = 1

та

x = 3

. Отже, функція набуває від'ємних значень на інтервалі

(1; 3)

.

Крок 3. Перевірка варіантів відповідей. Нас просять вказати проміжок, на якому функція набуває лише від'ємних значень. Це означає, що ми маємо знайти серед варіантів той, який є підмножиною знайденого нами інтервалу

(1; 3)

, або збігається з ним.
Розглянемо варіант

(1; 2)

. Оскільки весь проміжок від

1

до

2

лежить всередині великого інтервалу

(1; 3)

, графік на цьому відрізку знаходиться виключно нижче осі абсцис. Усі інші запропоновані варіанти або містять додатні значення (наприклад,

(- 4; - 1)

), або захоплюють їх частину.

Висновок: Правильний проміжок —

(1; 2)

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Трикутник $A BC$ вписано в коло з центром у точці $O$ , що належить стороні $A C$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

I. $∠ A BC$ є прямим.
II. $∠ B A C$ вдвічі менший від $∠ BOC$ .
III. Довжина $A C$ вдвічі більша за довжину $BO$ .

А
лише І
Б
лише І та ІІ
В
лише І та ІІІ
Г
лише ІІ та ІІІ
Д
І, ІІ та ІІІ
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ. За умовою коло описане навколо трикутника

A BC

, а його центр (точка

O

) лежить прямо на стороні

A C

. Якщо центр кола належить хорді, то така хорда автоматично є діаметром кола. Отже, відрізок

A C

— це діаметр.

Крок 2. Перевірка тверджень по черзі.

Твердження I. $∠ A BC$ є прямим.
Кут

∠ A BC

є вписаним кутом, і він спирається на діаметр

A C

. За фундаментальною геометричною теоремою, будь-який вписаний кут, що спирається на діаметр кола, дорівнює

9 0^{\circ}

. Отже, він є прямим. Твердження правильне.

Твердження II. $∠ B A C$ вдвічі менший від $∠ BOC$ .
Кут

∠ B A C

є вписаним і спирається на дугу

BC

. Кут

∠ BOC

є центральним кутом (бо його вершина лежить у центрі кола) і спирається на ту саму дугу

BC

. За теоремою про вписані та центральні кути, градусна міра вписаного кута завжди дорівнює половині центрального кута, якщо вони спираються на одну дугу. Тому

∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ BOC

. Твердження правильне.

Твердження III. Довжина $A C$ вдвічі більша за довжину $BO$ .
Як ми визначили у кроці 1,

A C

— це діаметр кола. Відрізок

BO

з'єднує центр кола з точкою на колі, тобто

BO

— це радіус. За визначенням, діаметр завжди вдвічі більший за радіус (

d = 2 r

). Тому

A C = 2 \cdot BO

. Твердження правильне.

Висновок: Усі три твердження (I, II та III) є правильними.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

Обчисліть площу $S$ заштрихованої фігури, обмеженої графіком функції $y = e^{x}$ , осями координат і прямою $x = 1$ .

А
$S = e + 1$
Б
$S = e$
В
$S = 1$
Г
$S = 1 - e$
Д
$S = e - 1$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. На рисунку зображено фігуру, яку в математиці називають криволінійною трапецією. Вона обмежена:
• зверху — графіком показникової функції

y = e^{x}

• знизу — віссю абсцис

O x

(рівняння прямої

y = 0

)
• ліворуч — віссю ординат

O y

(рівняння прямої

x = 0

)
• праворуч — вертикальною прямою

x = 1

.

Крок 2. Стратегія розв'язання. Площа

S

криволінійної трапеції, обмеженої неперервною і невід'ємною функцією

f (x)

на відрізку

[a; b]

, обчислюється за допомогою визначеного інтеграла. У нашому випадку межі інтегрування — від

0

до

1

.
Складемо інтеграл:

S = \int_{0}^{1} e^{x} d x

Крок 3. Обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца.
Спочатку знайдемо первісну (антипохідну) для функції

e^{x}

. Це унікальна функція, первісна якої дорівнює їй самій, тобто

F (x) = e^{x}

.
Тепер підставимо межі інтегрування (верхню межу мінус нижню):

S = e^{x}_{0}^{1} = e^{1} - e^{0}

Крок 4. Спрощення результату.
Будь-яке число в першому степені дорівнює самому собі, тому

e^{1} = e

.
Будь-яке число (крім нуля) в нульовому степені завжди дорівнює одиниці, тому

e^{0} = 1

.
Підставляємо ці значення:

S = e - 1

Висновок: Площа заштрихованої фігури дорівнює

S = e - 1

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

На столі лежать $18$ світлин, серед яких $8$ із зображенням природи, $6$ – із зображенням людей та $4$ – із зображенням будівель. Яка ймовірність того, що навмання вибрана світлина буде із зображенням природи або людини?

А
$\frac{2}{9}$
Б
$\frac{4}{9}$
В
$\frac{7}{9}$
(правильна відповідь)
Г
$\frac{5}{9}$
Д
$\frac{11}{18}$

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на класичну ймовірність.

Крок 1. Знайдемо загальну кількість можливих подій (усіх світлин на столі). За умовою їх $18$ .

N = 18

Крок 2. Знайдемо кількість сприятливих подій. Нам потрібно витягнути світлину із природою АБО людиною. Отже, нам підходять світлини обох цих категорій. Додамо їхню кількість:
$8$ (природи) $+$ $6$ (людини) $=$ $14$ (сприятливих світлин).

M = 14

Крок 3. Застосуємо формулу ймовірності $P = \frac{M}{N}$ , де $M$ — кількість сприятливих подій, а $N$ — загальна кількість:

P = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , вершина $A$ якого збігається з початком координат, а ребра $A B$ , $A D$ й $A A_{1}$ лежать на координатних осях (див. рисунок). Визначте координати вектора $D B_{1}$ .

А
$(-2; 3; -4)$
Б
$(2; 3; 4)$
В
$(2; -3; 4)$
(правильна відповідь)
Г
$(-2; -3; -4)$
Д
$(-2; 3; 4)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та вибір стратегії. Маємо прямокутний паралелепіпед у просторовій системі координат. Нам потрібно знайти координати вектора

D B_{1}

. Щоб знайти координати вектора, заданого двома точками, треба від координат його кінця (точки

B_{1}

) відняти відповідні координати початку (точки

D

). Отже, першочергова задача — визначити координати точок

D

та

B_{1}

за рисунком.

Крок 2. Визначення координат потрібних точок.
Точка

A

є початком координат, тобто

A (0; 0; 0)

.
Точка

D

лежить на осі

y

. За рисунком її координата на цій осі дорівнює

3

. Оскільки вона лежить прямо на осі

y

, її

x

та

z

координати дорівнюють нулю. Отже, координати точки $D (0; 3; 0)$ .

Знайдемо координати вершини

B_{1}

. Поглянемо спочатку на точку

B

. Вона лежить на осі

x

у точці з координатою

2

. Отже,

B (2; 0; 0)

.
Вершина

B_{1}

розташована безпосередньо "над" точкою

B

. Оскільки бічне ребро паралелепіпеда

B B_{1}

паралельне осі

z

і має таку саму висоту, як

A A_{1}

(яка дорівнює

4

), то

z

-координата точки

B_{1}

дорівнює

4

. Координати

x

y

залишаються такими ж, як у точки

B

. Отже, координати точки $B_{1} (2; 0; 4)$ .

Крок 3. Обчислення координат вектора.
Використовуємо формулу

D B_{1} = (x_{B_{1}} - x_{D}; y_{B_{1}} - y_{D}; z_{B_{1}} - z_{D})

:
Координата

x

2 - 0 = 2

Координата

y

0 - 3 = - 3

Координата

z

4 - 0 = 4

Висновок: Координати вектора

D B_{1} = (2; - 3; 4)

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Спростіть вираз $25 b - (b - 5) (5 + b) + 25$ .

А
$- b^{2} + 25 b + 50$
(правильна відповідь)
Б
$b^{2} + 25 b + 50$
В
$- b^{2} + 25$
Г
$- b^{2} + 25 b$
Д
$b^{2} + 25 b$

Правильна відповідь

Пояснення

Спростимо алгебраїчний вираз.

Крок 1. Проаналізуємо вираз:

25 b - (b - 5) (5 + b) + 25

. Основна складність — це добуток двох дужок.

Крок 2. Звернемо увагу на дужки

(b - 5) (5 + b)

. Від перестановки доданків сума не змінюється, тому

(5 + b) = (b + 5)

. Маємо:

(b - 5) (b + 5)

. Це формула скороченого множення — різниця квадратів:

(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}

.
Застосуємо її:

(b - 5) (b + 5) = b^{2} - 5^{2} = b^{2} - 25

Крок 3. Підставимо отриманий результат назад у наш вираз, ОБОВ'ЯЗКОВО залишивши його в дужках, оскільки перед ним стоїть знак мінус:

25 b - (b^{2} - 25) + 25

Крок 4. Розкриємо дужки. Оскільки перед ними стоїть мінус, знаки всередині змінюються на протилежні:

25 b - b^{2} + 25 + 25

Крок 5. Зведемо подібні доданки (

25 + 25 = 50

- b^{2} + 25 b + 50

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник $A BC$ , у якому $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ . Точки $K$ і $M$ є серединами сторін $A B$ та $A C$ відповідно. Визначте площу чотирикутника $K BCM$ , якщо $A C = 24$ см.

А
$24$ см $^{2}$
Б
$243$ см $^{2}$
В
$72$ см $^{2}$
Г
$723$ см $^{2}$
Д
$363$ см $^{2}$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Маємо рівнобедрений трикутник

A BC

, де кут при вершині

∠ A BC = 12 0^{\circ}

. Це означає, що кути при основі

A C

дорівнюють

(18 0^{\circ} - 12 0^{\circ}) /2 = 3 0^{\circ}

. Основа

A C = 24

см.
Точки

K

та

M

є серединами бічної сторони

A B

та основи

A C

відповідно. Нам потрібно знайти площу чотирикутника

K BCM

.

Крок 2. Стратегія розв'язання. Площу чотирикутника

K BCM

дуже зручно шукати як різницю площ великого трикутника і малого:

S_{K BCM} = S_{△ A BC} - S_{△ A K M}

Отже, спочатку знайдемо загальну площу

△ A BC

.

Крок 3. Обчислення площі $△ A BC$ .
Проведемо висоту

B D

з вершини

B

до основи

A C

. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, одночасно є медіаною (ділить

A C

навпіл) та бісектрисою (ділить

∠ A BC

навпіл).
Оскільки точка

M

вже є серединою

A C

, то відрізок

BM

— це і є наша висота! Тобто

∠ A MB = 9 0^{\circ}

.
У прямокутному трикутнику

A BM

маємо:
Катет

A M = \frac{A C}{2} = \frac{24}{2} = 12

см.
Кут

∠ A = 3 0^{\circ}

.
Знайдемо висоту

BM

через тангенс кута

A

tan (3 0^{\circ}) = \frac{BM}{A M} ⟹ BM = A M \cdot tan (3 0^{\circ})

BM = 12 \cdot \frac{1}{3} = \frac{12 3}{3} = 43

см.
Тепер знайдемо площу всього

△ A BC

за класичною формулою (півдобуток основи на висоту):

S_{△ A BC} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 43 = 483 см^{2}

Крок 4. Обчислення площі $△ A K M$ .
Оскільки точки

K

M

— середини сторін, відрізок

K M

є середньою лінією

△ A BC

. Середня лінія відтинає від великого трикутника подібний йому малий трикутник

A K M

.
Коефіцієнт подібності лінійних розмірів

k = \frac{1}{2}

. За теоремою про площі подібних фігур, площа малого трикутника відноситься до площі великого як квадрат коефіцієнта подібності (

k^{2} = \frac{1}{4}

S_{△ A K M} = \frac{1}{4} \cdot S_{△ A BC} = \frac{1}{4} \cdot 483 = 123 см^{2}

Крок 5. Знаходження площі $K BCM$ .

S_{K BCM} = 483 - 123 = 363 см^{2}

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь ${x + y = - 4, x y + y^{2} = 12.$

Якщо $(x_{0}; y_{0})$ – розв’язок системи, то $x_{0} \cdot y_{0} =$

А
$- 1$
Б
$3$
(правильна відповідь)
В
$2$
Г
$- 4$
Д
$- 3$

Правильна відповідь

Пояснення

Розв'яжемо систему рівнянь.

Крок 1. Проаналізуємо систему:

{x + y = - 4 x y + y^{2} = 12

Крок 2. Подивимося на друге рівняння:

x y + y^{2} = 12

. З лівої частини можна винести спільний множник

y

за дужки:

y (x + y) = 12

Крок 3. Звернімо увагу на перше рівняння системи: воно каже нам, що сума

(x + y)

дорівнює

- 4

. Підставимо число

- 4

замість дужки

(x + y)

у наше перетворене друге рівняння:

y \cdot (- 4) = 12

Крок 4. Знайдемо значення

y

y = \frac{12}{- 4} = - 3

Крок 5. Тепер, знаючи

y

, знайдемо

x

. Підставимо

y = - 3

у перше рівняння системи (

x + y = - 4

x + (- 3) = - 4

x - 3 = - 4

x = - 4 + 3

x = - 1

Отже, розв'язком системи є пара чисел

x_{0} = - 1

та

y_{0} = - 3

.

Крок 6. За умовою задачі нам потрібно знайти добуток

x_{0} \cdot y_{0}

- 1 \cdot (- 3) = 3

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу.

1
$\frac{200}{8}$
2
$lo g_{8} 200$
3
$8 cos 12 0^{\circ}$

А
$[-5; 0)$
Б
$[0; 2)$
В
$[2; 4)$
Г
$[4; 6)$
Д
$[6; + \infty)$

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — В; 3 — А

Пояснення

Оцінимо значення кожного з трьох математичних виразів.

Вираз 1:

\frac{200}{8}

За властивостями коренів, ми можемо об'єднати їх під один спільний корінь:

= \frac{200}{8} = 25 = 5

Число

5

належить проміжку

[4; 6)

.

Вираз 2:

lo g_{8} 200

Пригадаємо означення логарифма. Це степінь, у який треба піднести число

8

, щоб отримати

200

.
Ми знаємо, що:

8^{2} = 64

8^{3} = 512

Оскільки число

200

лежить між

64

та

512

, то значення нашого логарифма лежить між числами

2

3

(тобто це

2

з чимось). Це значення належить проміжку

[2; 4)

.

Вираз 3:

8 cos 12 0^{\circ}

Знайдемо значення

cos 12 0^{\circ}

. За формулами зведення:

cos 12 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - 0, 5

.
Тоді підставляємо у вираз:

8 \cdot (- 0, 5) = - 4

Число

- 4

належить проміжку

[- 5; 0)

Завдання 17

на встановлення відповідності

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

1
$y = sin x$
2
$y = x^{2} + 2$
3
$y = 3 x + 2$

А
парна
Б
графік функції симетричний відносно осі $x$
В
спадає на області визначення
Г
зростає на області визначення
Д
графік функції проходить через точку $(0; 0)$

Правильна відповідь

1 — Д; 2 — А; 3 — Г

Пояснення

Розглянемо властивості кожної із заданих функцій.

Функція 1:

y = sin x

Це класична тригонометрична функція. Якщо ми підставимо замість ікса нуль, то отримаємо:

y = sin 0 = 0

. Отже, точка

(0; 0)

належить графіку цієї функції. Графік функції проходить через початок координат.

Функція 2:

y = x^{2} + 2

Перевіримо цю функцію на парність. Для цього підставимо

(- x)

замість

x

y (- x) = (- x)^{2} + 2 = x^{2} + 2 = y (x)

Оскільки

y (- x) = y (x)

, ця функція є парною. (Її графік — це парабола, яка симетрична відносно осі ординат

y

).

Функція 3:

y = 3 x + 2

Це лінійна функція, графіком якої є пряма лінія. Коефіцієнт біля

x

дорівнює

3

. Оскільки цей кутовий коефіцієнт додатний (

k = 3 > 0

), то функція зростає на всій області визначення.

Завдання 18

на встановлення відповідності

На рисунку зображено квадрат $A BC D$ , діагональ якого дорівнює $82$ см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

1
відстань між серединами сторін $A B$ і $A D$
2
радіус кола, уписаного в квадрат $A BC D$
3
медіана трикутника $A BC$ , проведена з вершини $A$

А
$22$ см
Б
$4$ см
В
$42$ см
Г
$8$ см
Д
$45$ см

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — Д

Пояснення

Крок 1. Аналіз базових параметрів квадрата.
За умовою ми маємо квадрат

A BC D

, діагональ якого дорівнює

d = 82

см. За відомою формулою діагональ квадрата пов'язана з його стороною

a

як

d = a 2

. Звідси легко знайти сторону квадрата:

a 2 = 82 ⟹ a = 8 см

Отже, всі сторони квадрата дорівнюють

8

см.

Крок 2. Розгляд першої умови: "відстань між серединами сторін $A B$ і $A D$ ".
Нехай точка

M

— середина сторони

A B

, а точка

N

— середина сторони

A D

. Тоді відрізки від вершини

A

до цих точок дорівнюють половині сторони квадрата:

A M = 4

см,

A N = 4

см.
Оскільки кут квадрата прямий (

∠ A = 9 0^{\circ}

), ми отримуємо прямокутний рівнобедрений трикутник

A MN

. Шукана відстань — це гіпотенуза

MN

. Застосуємо теорему Піфагора:

MN = A M^{2} + A N^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 16 + 16 = 32

Розкладемо

32

як

16 \cdot 2

, щоб винести корінь:

MN = 16 \cdot 2 = 42 см

Цей результат відповідає варіанту В.

Крок 3. Розгляд другої умови: "радіус кола, вписаного в квадрат $A BC D$ ".
Центр вписаного кола лежить на перетині діагоналей. Радіус вписаного в квадрат кола (відстань від центру до будь-якої сторони) завжди дорівнює рівно половині сторони квадрата.

r = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 см

Цей результат відповідає варіанту Б.

Крок 4. Розгляд третьої умови: "медіана трикутника $A BC$ , проведена з вершини $A$ ".
Розглянемо трикутник

A BC

. Це прямокутний рівнобедрений трикутник (катети

A B = 8

BC = 8

∠ B = 9 0^{\circ}

).
Медіана, проведена з вершини

A

, падає на середину протилежної сторони

BC

. Позначимо цю середину як точку

K

. Тоді відрізок

B K = \frac{BC}{2} = 4

см.
Тепер розглянемо новий прямокутний трикутник

A B K

, у якому катети

A B = 8

та

B K = 4

. Шукана медіана

A K

— це його гіпотенуза. За теоремою Піфагора:

A K = A B^{2} + B K^{2} = 8^{2} + 4^{2} = 64 + 16 = 80

Винесемо множник з-під кореня, представивши

80

як

16 \cdot 5

A K = 16 \cdot 5 = 45 см

Цей результат відповідає варіанту Д.

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Визначте критичні точки функції $f (x) = 4 x^{3} + 9 x^{2} - 30 x + 5$ . Яка з цих точок є точкою максимуму функції $f (x)$ ?

Правильна відповідь

-2,5

Пояснення

Знайдемо критичні точки та точку максимуму для функції.

Крок 1. Критичні точки — це точки, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Знайдемо похідну

f^{'} (x)

за правилами диференціювання:

(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}

f^{'} (x) = 4 \cdot 3 x^{2} + 9 \cdot 2 x - 30 \cdot 1 + 0

f^{'} (x) = 12 x^{2} + 18 x - 30

Крок 2. Прирівняємо похідну до нуля, щоб знайти критичні точки:

12 x^{2} + 18 x - 30 = 0

Для спрощення поділимо все рівняння на

6

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

Крок 3. Розв'яжемо квадратне рівняння через дискримінант (

D = b^{2} - 4 a c

D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49

Оскільки

D > 0

, рівняння має два корені.

D = 7

x_{1} = \frac{- 3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1

x_{2} = \frac{- 3 - 7}{4} = \frac{- 10}{4} = - 2, 5

Маємо дві критичні точки:

1

та

- 2, 5

.

Крок 4. Визначимо, яка з них є точкою максимуму. Для цього можна використати метод інтервалів (визначити знаки похідної на проміжках) або знайти другу похідну.
Знайдемо другу похідну:

f^{''} (x) = (12 x^{2} + 18 x - 30)^{'} = 24 x + 18

Підставимо наші критичні точки у другу похідну:
1)

f^{''} (1) = 24 \cdot 1 + 18 = 42

. Оскільки результат додатний (

> 0

), то

x = 1

— це точка мінімуму.
2)

f^{''} (- 2, 5) = 24 \cdot (- 2, 5) + 18 = - 60 + 18 = - 42

. Оскільки результат від'ємний (

< 0

), то

x = - 2, 5

— це точка максимуму.

Отже, точка максимуму:

- 2, 5

Завдання 20

з відкритою відповіддю

У будинку $150$ квартир: однокімнатні, двокімнатні та трикімнатні. Кількість однокімнатних квартир становить $40%$ від загальної кількості квартир, двокімнатних на $20%$ менше, ніж однокімнатних. Скільки трикімнатних квартир у будинку?

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на відсотки.

Крок 1. За умовою в будинку всього

150

квартир (це

100%

). Знайдемо кількість однокімнатних квартир, яка становить

40%

від загальної кількості. Для цього переведемо відсотки у десятковий дріб (

40% = 0, 4

) і помножимо на загальну кількість:

150 \cdot 0, 4 = 60

(однокімнатних квартир).

Крок 2. Знайдемо кількість двокімнатних квартир. Сказано, що їх на

20%

менше, ніж однокімнатних. Тобто базою для цих відсотків тепер є кількість однокімнатних (

60

квартир).
Кількість двокімнатних становить

100% - 20% = 80%

від кількості однокімнатних.
Переведемо у дріб (

80% = 0, 8

) і помножимо:

60 \cdot 0, 8 = 48

(двокімнатних квартир).

Альтернативний підрахунок: Знайдемо ці

20%

від

60

60 \cdot 0, 2 = 12

. Віднімемо їх від кількості однокімнатних:

60 - 12 = 48

.

Крок 3. Знайдемо загальну кількість одно- та двокімнатних квартир разом:

60 + 48 = 108

(квартир).

Крок 4. Решта квартир у будинку — трикімнатні. Віднімемо від загальної кількості:

150 - 108 = 42

(трикімнатні квартири).

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено пряму чотирикутну призму й чотирикутну піраміду $S A BC D$ , основою якої є ромб $A BC D$ . Основою призми є прямокутник, більша сторона якого дорівнює $20$ см, а менша сторона дорівнює діагоналі $A C$ ромба. $B D = 20$ см, $S A = SC = 25$ см, $SB = S D = 26$ см. Визначте об’єм (у см $^{3}$ ) призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює $680$ см $^{2}$ .

Правильна відповідь

2800

Пояснення

Крок 1. Аналіз піраміди та пошук діагоналі ромба.
Уважно читаємо умову. Спочатку розглянемо піраміду

S A BC D

, в основі якої лежить ромб

A BC D

. Нам відомо, що діагональ ромба

B D = 20

см. Нехай

O

— точка перетину діагоналей ромба. За властивостями ромба, його діагоналі перетинаються під кутом

9 0^{\circ}

і діляться точкою перетину навпіл. Отже, відрізки

BO = O D = \frac{20}{2} = 10

см.

Вершина піраміди

S

проєктується в точку

O

(це можна довести тим, що бічні ребра попарно рівні:

SB = S D = 26

см і

S A = SC = 25

см).
Розглянемо прямокутний трикутник

SOB

(де

∠ SOB = 9 0^{\circ}

). Гіпотенуза

SB = 26

, катет

BO = 10

. За теоремою Піфагора знайдемо висоту піраміди

SO

SO = S B^{2} - B O^{2} = 2 6^{2} - 1 0^{2} = 676 - 100 = 576 = 24 см

Тепер розглянемо інший прямокутний трикутник

SO A

з гіпотенузою

S A = 25

і знайденим катетом

SO = 24

. Знайдемо відрізок

A O

(половину другої діагоналі ромба):

A O = S A^{2} - S O^{2} = 2 5^{2} - 2 4^{2} = 625 - 576 = 49 = 7 см

Оскільки діагональ ділиться навпіл, уся діагональ

A C = 2 \cdot A O = 2 \cdot 7 = 14

см.

Крок 2. Аналіз призми та обчислення її висоти.
Тепер переходимо до призми. За умовою, основою призми є прямокутник. Його більша сторона

a = 20

см, а менша сторона дорівнює знайденій нами діагоналі

A C

, тобто

b = 14

см.
Знайдемо периметр основи (прямокутника) цієї призми:

P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (20 + 14) = 2 \cdot 34 = 68 см

Нам відомо, що площа бічної поверхні призми дорівнює

680 см^{2}

. Формула площі бічної поверхні прямої призми:

S_{біч} = P \cdot H

, де

H

— висота призми.
Звідси знайдемо висоту призми:

680 = 68 \cdot H ⟹ H = \frac{680}{68} = 10 см

Крок 3. Обчислення об'єму призми.
Об'єм призми обчислюється як добуток площі основи на висоту (

V = S_{осн} \cdot H

).
Площа основи-прямокутника:

S_{осн} = a \cdot b = 20 \cdot 14 = 280 см^{2}

.
Тоді загальний об'єм:

V = 280 \cdot 10 = 2800 см^{3}

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Визначте кількість усіх цілих значень $a$ , за кожного з яких рівняння $2 x - a \cdot (lo g_{3} (x - 4) - 2) = 0$ має два різні корені.

Правильна відповідь

Пояснення

Це рівняння з параметром. Розв'яжемо його крок за кроком.

Крок 1. Аналіз та ОДЗ (Область допустимих значень)
У нас є квадратний корінь і логарифм. Вони накладають суворі обмеження на змінну

x

:
1) Підкореневий вираз має бути невід'ємним:

2 x - a \geq 0 \Rightarrow 2 x \geq a \Rightarrow x \geq \frac{a}{2}

.
2) Підлогарифмічний вираз має бути строго додатним:

x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4

.
Обидві ці умови мають виконуватися одночасно для будь-якого кореня.

Крок 2. Знаходження потенційних коренів
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.
Перший випадок:

2 x - a = 0

2 x - a = 0

x_{1} = \frac{a}{2}

Другий випадок:

lo g_{3} (x - 4) - 2 = 0

lo g_{3} (x - 4) = 2

За означенням логарифма:

x - 4 = 3^{2}

x - 4 = 9

x_{2} = 13

Крок 3. Умова наявності двох РІЗНИХ коренів
Щоб рівняння мало рівно два корені, числа

x_{1}

та

x_{2}

мають бути різними (

x_{1} \neq = x_{2}

) і ОБИДВА повинні входити в ОДЗ.

Перевіримо корінь

x_{2} = 13

на ОДЗ:
Умова

x > 4

виконується (

13 > 4

).
Умова

x \geq \frac{a}{2}

вимагає, щоб

13 \geq \frac{a}{2}

, звідси помноживши на

2

, отримуємо

26 \geq a

, або

a \leq 26

. Отже, щоб

x = 13

був дійсним коренем, параметр

a

має бути не більшим за

26

.

Перевіримо корінь

x_{1} = \frac{a}{2}

на ОДЗ:
Умова

x \geq \frac{a}{2}

виконується автоматично.
Умова

x > 4

вимагає, щоб

\frac{a}{2} > 4

, звідси

a > 8

. Отже, щоб

x_{1}

був дійсним коренем, параметр

a

має бути строго більшим за

8

.

Також корені не повинні збігатися (інакше корінь буде лише один):

\frac{a}{2} \neq = 13 \Rightarrow a \neq = 26

Оскільки

a \leq 26

a \neq = 26

, маємо сувору нерівність

a < 26

.

Об'єднуємо всі отримані умови:

8 < a < 26

.

Крок 4. Знаходження кількості цілих значень
Нам потрібні цілі числа в інтервалі

(8; 26)

. Це числа

9, 10, 11, \dots, 25

.
Щоб знайти їхню кількість, віднімаємо від останнього числа перше і додаємо одиницю:

25 - 9 + 1 = 17

.

Отже, існує

17

таких цілих значень параметра

a