НМТ з предмета «Математика», 4 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

В астрономії для визначення відстані використовують позасистемну одиницю довжини – астрономічна одиниця (а. о.), що дорівнює середній відстані від Землі до Сонця: $1 а . о . \approx 149, 6$ млн км. Запишіть це значення (у км) у стандартному вигляді.

А
$149, 6 \cdot 1 0^{6}$
Б
$1, 496 \cdot 1 0^{8}$
(правильна відповідь)
В
$0, 1496 \cdot 1 0^{9}$
Г
$1496 \cdot 1 0^{5}$
Д
$14, 96 \cdot 1 0^{7}$

Правильна відповідь

Пояснення

Спочатку згадаємо, що один мільйон — це десять у шостому степені, тобто

1 млн = 1 0^{6}

.

Отже, початкове значення

149, 6 млн км

ми можемо записати у вигляді математичного виразу:

149, 6 \cdot 1 0^{6} км

Стандартний вигляд числа — це його запис у вигляді добутку

a \cdot 1 0^{n}

, де число

a

обов'язково має бути в межах від

1

до

10

(

1 ⩽ a < 10

), а

n

— ціле число (показник степеня).

Перетворимо число

149, 6

, щоб воно задовольняло цю умову. Для цього перенесемо кому на два знаки ліворуч, отримавши

1, 496

. Оскільки ми зменшили число в

100

разів, нам потрібно помножити його на

1 0^{2}

, щоб його значення не змінилося:

149, 6 = 1, 496 \cdot 1 0^{2}

Тепер підставимо це перетворення у наш початковий вираз:

149, 6 \cdot 1 0^{6} = (1, 496 \cdot 1 0^{2}) \cdot 1 0^{6}

При множенні степенів з однаковими основами їхні показники додаються (

2 + 6 = 8

). Звідси випливає кінцевий результат у стандартному вигляді:

1, 496 \cdot 1 0^{8} км

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На діаграмі відображено інформацію про ціну пакета цукерок «Чудасія», «Каштанчики», «Шокос», «Смакс» і «Няммі» в деякому магазині. Якщо в Катрусі є лише 200 грн, то із зазначених цукерок вона може придбати

А
лише «Каштанчики» або «Шокос»
Б
лише «Чудасія»
В
лише «Чудасія», «Смакс» або «Няммі»
(правильна відповідь)
Г
будь-який один пакет цукерок
Д
лише «Каштанчики», «Смакс» або «Няммі»

Правильна відповідь

Пояснення

Щоб відповісти на питання, проаналізуємо стовпчикову діаграму цін, зображену на рисунку.

У Катрусі є лише $200$ грн, і вона хоче придбати один пакет цукерок. Це означає, що їй вистачить грошей лише на ті цукерки, вартість яких менша або точно дорівнює $200$ грн. Визначимо за діаграмою вартість кожного пакета:

1. «Чудасія» (жовтий стовпчик) — висота стовпчика знаходиться між поділками $150$ та $200$ (приблизно $175$ грн). Оскільки $175 < 200$ , Катруся може його купити.

2. «Каштанчики» (зелений стовпчик) — висота стовпчика точно відповідає поділці $250$ грн. Оскільки $250 > 200$ , грошей не вистачить.

3. «Шокос» (коричневий стовпчик) — висота стовпчика вища за $300$ грн. Оскільки ціна значно більша за $200$ , купити його неможливо.

4. «Смакс» (блакитний стовпчик) — висота стовпчика трохи нижча за лінію $200$ грн. Оскільки ціна менша за бюджет, цей пакет Катруся також може придбати.

5. «Няммі» (рожевий стовпчик) — висота стовпчика знаходиться точно на рівні лінії $200$ грн. Оскільки в дівчинки є рівно $200$ грн, їй повністю вистачає на цю покупку, тому вона може його придбати.

Таким чином, Катруся має фінансову можливість обрати лише один пакет серед таких варіантів: «Чудасія», «Смакс» або «Няммі».

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

На відрізку $A B$ вибрано точку $K$ так, що відрізок $А K$ на $5$ см більший, за відрізок $K B$ . Знайдіть довжину відрізка $K B$ , якщо $A B = 21$ см.

А
$16$ см
Б
$14$ см
В
$3$ см
Г
$13$ см
Д
$8$ см
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Розв'яжемо цю геометричну задачу за допомогою лінійного рівняння.

Нехай довжина меншого відрізка $B K$ дорівнює $x$ см.

За умовою задачі, відрізок $A K$ на $5$ см більший за відрізок $B K$ . Отже, його довжину можна виразити через змінну як $(x + 5)$ см.

Оскільки точка $K$ вибрана на відрізку $A B$ , то загальна довжина всього відрізка складається з суми довжин двох його частин:

A K + B K = A B

Підставимо наші вирази та відому повну довжину відрізка $A B = 21$ см у це рівняння:

(x + 5) + x = 21

Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння, додавши змінні:

2 x + 5 = 21

Перенесемо доданок $5$ у праву частину рівняння, змінивши його знак на протилежний (мінус):

2 x = 21 - 5

2 x = 16

Знайдемо невідомий множник $x$ , поділивши обидві частини рівняння на $2$ :

x = 8

Оскільки $B K = x$ , то ми знайшли довжину відрізка $B K = 8$ см .

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь ${x + 2 y = 8, x - 2 y = - 4.$

А
$(6; 1)$
Б
$(3; 2)$
В
$(-2; 5)$
Г
$(2; 3)$
(правильна відповідь)
Д
$(2; 4)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ.
Маємо систему двох лінійних рівнянь із двома змінними. Обмежень на значення змінних немає, тому область допустимих значень складається з усіх дійсних чисел.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Найбільш зручним та швидким методом для розв'язання цієї системи є метод додавання. Звернемо увагу на коефіцієнти біля змінної

y

: у першому рівнянні це

+ 2

, а в другому —

- 2

. Ці числа є протилежними, тому при додаванні рівнянь змінна

y

взаємно знищиться.

Крок 4. Покрокові обчислення.
Додамо почленно ліві та праві частини обох рівнянь системи:

(x + 2 y) + (x - 2 y) = 8 + (- 4)

x + 2 y + x - 2 y = 4

Зведемо подібні доданки. Додамо

x + x

, а

+ 2 y

та

- 2 y

дадуть у сумі нуль:

2 x = 4

Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт

2

x = 2

Тепер знайдемо значення змінної

y

. Для цього підставимо знайдене число

x = 2

у перше рівняння нашої системи:

2 + 2 y = 8

Перенесемо число

2

у праву частину з протилежним знаком:

2 y = 8 - 2

2 y = 6

Розділимо обидві частини рівняння на

2

y = 3

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
Ми отримали значення

x = 2

та

y = 3

. Запишемо розв'язок системи у вигляді координатної пари точки:

(2; 3)

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

Укажіть просторову фігуру, яка не має основи.

А
призма
Б
конус
В
циліндр
Г
куля
(правильна відповідь)
Д
піраміда

Правильна відповідь

Пояснення

Для того щоб відповісти на питання, детально розберемо геометричні властивості та структуру кожної із запропонованих просторових фігур:

1. Призма — це многогранник, дві грані якого є рівними многокутниками, що лежать у паралельних плочинах. Ці дві грані називаються основами призми.

2. Конус — це геометричне тіло, що складається з круга, який є основою конуса, точки поза площиною цього круга (вершини) та всіх відрізків, що їх з'єднують.

3. Циліндр — це тіло обертання, обмежене двома паралельними площинами, які утворюють у перетині два рівні круги. Ці круги називаються основами циліндра.

4. Піраміда — це многогранник, одна грань якого є довільним многокутником (він називається основою піраміди), а всі інші грані — трикутниками зі спільною вершиною.

5. Куля — це просторова фігура, утворена обертанням півкруга навколо його нерухомого діаметра. Усі точки її поверхні (сфери) рівновіддалені від центра. Через свою ідеальну сферичну симетрію куля не має жодної плоскої поверхні або виділеного многокутника, які могли б слугувати основою.

Отже, просторовою фігурою, яка не має основи, є куля.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

$\frac{a ^{2} - 25 b ^{2}}{10 b + 2 a} =$

А
$\frac{a - 5 b}{2}$
(правильна відповідь)
Б
$2 a - 10 b$
В
$\frac{a + 5 b}{2}$
Г
$2 a + 10 b$
Д
$\frac{a - 5 b}{4}$

Правильна відповідь

Пояснення

Щоб спростити цей алгебраїчний дріб, розкладемо його чисельник і знаменник на множники.

1. Розглянемо чисельник дробу:

a^{2} - 25 b^{2}

.
Помітимо, що вираз

25 b^{2}

можна записати як

(5 b)^{2}

. Тоді весь вираз набуває вигляду

a^{2} - (5 b)^{2}

. Це класична різниця квадратів двох виразів. Застосуємо формулу скороченого множення

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

a^{2} - 25 b^{2} = (a - 5 b) (a + 5 b)

2. Розглянемо знаменник дробу:

10 b + 2 a

.
Для зручності поміняємо доданки місцями:

2 a + 10 b

. Тепер чітко видно, що обидва числа діляться на

2

. Винесемо спільний числовий множник

2

за дужки:

2 a + 10 b = 2 (a + 5 b)

3. Запишемо початковий дріб, підставивши отримані розклади у чисельник і знаменник:

\frac{( a - 5 b ) ( a + 5 b )}{2 ( a + 5 b )}

4. Тепер ми бачимо однаковий вираз

(a + 5 b)

у чисельних множниках зверху та знизу. Скоротимо на нього дріб:

\frac{a - 5 b}{2}

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть рівняння $lo g_{9} (2 x - 5) = \frac{1}{2}$ .

А
$- 1$
Б
$- 4$
В
$43$
Г
$4$
(правильна відповідь)
Д
$16$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ.
Задано логарифмічне рівняння. Головне обмеження для логарифма полягає в тому, що вираз, який стоїть під його знаком, обов'язково має бути строго більшим за нуль. Запишемо область допустимих значень (ОДЗ):

2 x - 5 > 0

2 x > 5

x > 2, 5

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Скористаємося фундаментальним означенням логарифма: якщо

lo g_{a} b = c

, то це означає, що

a^{c} = b

. Застосувавши це правило, ми зможемо позбутися знака логарифма та перейти до простого лінійного рівняння.

Крок 4. Покрокові обчислення.
Перепишемо рівняння за означенням логарифма, піднісши основу

9

до степеня

\frac{1}{2}

2 x - 5 = 9^{\frac{1}{2}}

Згадаємо, що піднесення будь-якого числа до степеня

\frac{1}{2}

еквівалентне знаходження його квадратного кореня:

9^{\frac{1}{2}} = 9 = 3

Тепер наше рівняння виглядає так:

2 x - 5 = 3

Перенесемо

- 5

з лівої частини у праву, змінивши мінус на плюс:

2 x = 3 + 5

2 x = 8

Поділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт

2

, щоб знайти невідомий

x

x = 4

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
Перевіримо, чи задовольняє знайдений корінь

x = 4

нашу область допустимих значень. Оскільки число

4

є строго більшим за

2, 5

(

4 > 2, 5

), корінь задовольняє ОДЗ і є єдиним правильним розв'язком.

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено графік функції $y = ƒ (x)$ , визначеної на проміжку $[-4; 4]$ . Укажіть точку $x_{0}$ мінімуму цієї функції.

А
$- 2$
Б
$1$
В
$3$
(правильна відповідь)
Г
$2$
Д
$5$

Правильна відповідь

Пояснення

Для виконання цього завдання уважно розглянемо графік функції на рисунку.

Спочатку згадаємо важливе теоретичне правило, на якому часто помиляються учні:
• Мінімум функції — це значення самої функції, тобто координата $y$ у найнижчій точці локального заглиблення.
• Точка мінімуму — це значення аргументу, тобто координата $x$ , при якій функція досягає цього мінімуму (переходить від спадання до зростання).

Подивимося на графік функції $y = f (x)$ . Ми бачимо, що в лівій частині графіка функція спочатку зростає, досягає піку, а потім починає плавно спадати вниз, утворюючи локальну «яму».

Знайдемо найнижчу точку цієї «ями» на проміжку. Опустимо перпендикуляр від цієї точки на вісь абсцис (вісь $x$ ). Ми чітко бачимо, що ця точка відповідає поділці $3$ на осі $x$ .

Оскільки в питанні нас просять вказати саме точку мінімуму, нашою відповіддю буде значення $x = 3$ .

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, дотикається до середини його основи.
II. Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, лежить усередині трикутника.
III. Коло, побудоване на гіпотенузі прямокутного трикутника як на діаметрі, проходить через вершину прямого кута.

А
лише I
Б
лише I та II
В
лише I та IІI
(правильна відповідь)
Г
лише IІ та III
Д
І, ІІ та III

Правильна відповідь

Пояснення

Детально проаналізуємо кожне з трьох геометричних тверджень:

1. Твердження I: У рівнобедреному трикутнику висота, бісектриса та медіана, які проведені до його основи, повністю збігаються. Центр вписаного кола завжди лежить на бісектрисі кута, а радіус, проведений у точку дотику з основою, перпендикулярний до цієї основи. Оскільки бісектриса до основи є одночасно і медіаною, вона ділить основу точно навпіл. Тому точка дотику вписаного кола є серединою основи. Твердження є правильним.

2. Твердження II: Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до його сторін. Його розташування залежить від виду кутів трикутника. Для гострокутного трикутника центр лежить усередині, для прямокутного — на середині гіпотенузи, а для тупокутного трикутника цей центр завжди виходить за його межі й лежить зовні трикутника. Твердження є неправильним.

3. Твердження III: За властивостями прямокутного трикутника, центр описаного кола збігається з серединою його гіпотенузи, а сама гіпотенуза є діаметром цього кола. Радіус кола дорівнює половині гіпотенузи. Якщо провести відрізок (медіану) з вершини прямого кута до середини гіпотенузи (центра кола), то за властивістю прямокутного трикутника ця медіана дорівнюватиме половині гіпотенузи, тобто радіусу. Отже, вершина прямого кута віддалена від центра на відстань радіуса, а це означає, що коло обов'язково проходить через неї. Твердження є правильним.

Таким чином, правильними є лише твердження I та III.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

У геометричній прогресії ( $b_{n}$ ) з додатними членами відомо, що $\frac{b _{3}}{b _{1}} = 25$ . Обчисліть $\frac{b _{4}}{b _{1}}$ .

А
$5$
Б
$125$
(правильна відповідь)
В
$525$
Г
$300$
Д
$625$

Правильна відповідь

Пояснення

Скористаємося властивостями та формулами геометричної прогресії.

1. Згадаємо загальну формулу для знаходження

n

-го члена геометричної прогресії:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

де

b_{1}

— перший член, а

q

— знаменник прогресії.

2. Запишемо вираз для третього члена прогресії (

b_{3}

), підставивши

n = 3

у формулу:

b_{3} = b_{1} \cdot q^{3 - 1} = b_{1} \cdot q^{2}

3. Нам відомо відношення третього члена до першого:

\frac{b _{3}}{b _{1}} = 25

. Підставимо сюди наш вираз для

b_{3}

\frac{b _{1} \cdot q ^{2}}{b _{1}} = 25

Скоротимо перший член

b_{1}

у чисельнику та знаменнику дробу й отримаємо:

q^{2} = 25

4. Оскільки в умові зазначено, що всі члени геометричної прогресії є додатними, знаменник

q

також обов'язково має бути додатним числом. Добудемо квадратний корінь:

q = 25 = 5

5. Тепер знайдемо вираз для четвертого члена прогресії (

b_{4}

), підставивши

n = 4

у загальну формулу:

b_{4} = b_{1} \cdot q^{4 - 1} = b_{1} \cdot q^{3}

6. Нам потрібно обчити шукане відношення

\frac{b _{4}}{b _{1}}

. Підставимо вираз для

b_{4}

\frac{b _{1} \cdot q ^{3}}{b _{1}} = q^{3}

Скоротивши

b_{1}

, ми бачимо, що шукане значення дорівнює знаменнику в третьому степені.

7. Підставимо знайдене значення знаменника

q = 5

q^{3} = 5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

Ді-джей складає трек-лист із $6$ різних музичних композицій. Кожен трек має прозвучати лише один раз. Укажіть вираз, за допомогою якого можна визначити загальну кількість можливих послідовностей звучання цих треків.

А
$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$
Б
$6$
В
$36$
Г
$6!$
(правильна відповідь)
Д
$6^{6}$

Правильна відповідь

Пояснення

Це класична задача з розділу комбінаторики, яка розв'язується за допомогою правил розміщення елементів.

1. У нас є

6

різних музичних композицій (треків), і ді-джей має розставити їх усі у певну послідовність (трек-лист), де кожна композиція звучить рівно один раз.

2. Оскільки кількість елементів збігається з кількістю місць у послідовності, і кожен елемент унікальний, нам потрібно знайти кількість способів упорядкування або перестановки цих елементів.

3. Кількість можливих перестановок із

n

елементів обчислюється за формулою факторіала:

P_{n} = n!

4. Для нашої задачі

n = 6

. Отже, загальну кількість можливих послідовностей звучання треків можна визначити за допомогою виразу:

6!

(Нагадаємо, що

6!

читається як «шість факторіал» і означає добуток усіх натуральних чисел від

1

до

6

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано циліндр та точки $O_{1} (-3; 2; 1)$ і $O_{2} (3; 4; 4)$ , що є центрами його основ. Визначте довжину твірної циліндра.

А
$7$
(правильна відповідь)
Б
$35$
В
$13$
Г
$61$
Д
$3$

Правильна відповідь

Пояснення

Щоб знайти довжину твірної циліндра, звернемося до його геометричної структури.

1. У прямому циліндрі довжина будь-якої твірної дорівнює висоті циліндра, яка є відстанню між центрами його основ. Нам задано координати центрів основ:

O_{1} (- 3; 2; 1)

O_{2} (3; 4; 4)

. Отже, задача зводиться до пошуку відстані між цими двома точками у тривимірному просторі.

2. Запишемо загальну формулу для знаходження відстані між двома точками

A (x_{1}; y_{1}; z_{1})

та

B (x_{2}; y_{2}; z_{2})

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}

3. Підставимо координати точок

O_{1}

та

O_{2}

у цю формулу:

O_{1} O_{2} = (3 - (- 3))^{2} + (4 - 2)^{2} + (4 - 1)^{2}

4. Виконаємо арифметичні дії всередині кожних дужок:
Перша дужка:

3 - (- 3) = 3 + 3 = 6

Друга дужка:

4 - 2 = 2

Третя дужка:

4 - 1 = 3

5. Піднесемо отримані результати до квадрата під знаком кореня:

O_{1} O_{2} = 6^{2} + 2^{2} + 3^{2}

O_{1} O_{2} = 36 + 4 + 9

6. Додамо числа під конем:

O_{1} O_{2} = 49

7. Добудемо квадратний корінь із числа

49

O_{1} O_{2} = 7

Отже, довжина твірної циліндра дорівнює

7

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Якому проміжку належить значення виразу $6 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}$ ?

А
$(0; 1)$
Б
$[1; 2)$
(правильна відповідь)
В
$[2; 3)$
Г
$[3; 5)$
Д
$[5; 8)$

Правильна відповідь

Пояснення

Для розв'язання цього завдання спростимо тригонометричний вираз за допомогою формул скорочення.

1. Згадаємо одну з основних тригонометричних формул — формулу синуса подвійного кута:

sin 2 α = 2 sin α cos α

2. Подивимося на наш вираз:

6 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}

. Розкладемо коефіцієнт

6

як добуток

3 \cdot 2

, щоб штучно виділити потрібну нам двійку для формули:

6 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = 3 \cdot (2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ})

3. Тепер згорнемо вираз у дужках за формулою подвійного кута, де

α = 1 5^{\circ}

. Тоді подвійний кут дорівнює

2 α = 2 \cdot 1 5^{\circ} = 3 0^{\circ}

2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = sin 3 0^{\circ}

4. Підставимо цей результат назад у вираз:

3 \cdot sin 3 0^{\circ}

5. Згадаємо табличне значення синуса для кута

3 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

(або

0, 5

у десятковому вигляді).

6. Обчислимо остаточне значення виразу:

3 \cdot \frac{1}{2} = 1, 5

7. Тепер визначимо, якому з проміжків належить число

1, 5

. Це число є більшим за

1

і меншим за

2

, тому воно ідеально входить у напіввідкритий інтервал

[1; 2)

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

Точка $K$ – середина висоти $BM$ паралелограма $A BC D$ (див. рисунок). $A B = 83$ см, $DK = 12$ см, $∠ A DK = 3 0^{\circ}$ . Визначте площу паралелограма $A BC D$ .

А
$1203$ см $^{2}$
(правильна відповідь)
Б
$723$ см $^{2}$
В
$963$ см $^{2}$
Г
$120$ см $^{2}$
Д
$603$ см $^{2}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови.
Задано паралелограм $A BC D$ , у якому проведено висоту $BM$ до основи $A D$ . Точка $K$ є серединою цієї висоти, тобто $B K = K M$ . Нам відомо довжину сторони $A B = 83$ см, довжину відрізка $DK = 12$ см та кут $∠ A DK = 3 0^{\circ}$ . Обмежень на геометричні величини немає, усі значення додатні.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Площу паралелограма знайдемо за класичною формулою:

S = A D \cdot BM

Для цього нам потрібно знайти висоту $BM$ та повну довжину основи $A D = A M + M D$ . Ми зробимо це, послідовно розглядаючи прямокутні трикутники, які утворилися на рисунку.

Крок 4. Покрокові обчислення.
1. Розглянемо трикутник $△ K M D$ . Оскільки $BM$ — висота, кут $∠ K M D = 9 0^{\circ}$ , тобто трикутник є прямокутним. У ньому гіпотенуза $DK = 12$ см, а кут $∠ KD M = 3 0^{\circ}$ .
За властивістю прямокутного трикутника, катет, що лежить напроти кута $3 0^{\circ}$ , дорівнює половині гіпотенузи. Напроти цього кута лежить катет $K M$ :

K M = \frac{1}{2} \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 см

2. Оскільки точка $K$ — середина висоти $BM$ , то вся висота вдвічі більша за відрізок $K M$ :

BM = 2 \cdot K M = 2 \cdot 6 = 12 см

3. Знайдемо другий катет $M D$ у трикутнику $△ K M D$ за теоремою Піфагора:

M D = D K^{2} - K M^{2} = 1 2^{2} - 6^{2} = 144 - 36 = 108 = 36 \cdot 3 = 63 см

4. Тепер знайдемо відрізок $A M$ . Для цього розглянемо прямокутний трикутник $△ A MB$ ( $∠ A MB = 9 0^{\circ}$ ). У ньому відома гіпотенуза $A B = 83$ см та катет $BM = 12$ см. За теоремою Піфагора:

A M = A B^{2} - B M^{2} = (83)^{2} - 1 2^{2} = 64 \cdot 3 - 144 = 192 - 144 = 48 = 16 \cdot 3 = 43 см

5. Знайдемо повну довжину основи $A D$ , додавши два знайдені відрізки:

A D = A M + M D = 43 + 63 = 103 см

6. Обчислимо площу паралелограма:

S = A D \cdot BM = 103 \cdot 12 = 1203 см^{2}

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
Площа паралелограма повністю визначена через його основу та висоту й дорівнює $1203$ .

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність $3^{x^{2} - 2 x + 1} ⩽ 1$ .

А
$1$
(правильна відповідь)
Б
$(- \infty; - 1]$
В
$- 1$
Г
$[1; + \infty)$
Д
$[- 1; + \infty)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ.
Задано показникову нерівність. Оскільки показникова функція визначена для будь-яких дійсних чисел, показник степеня не має жодних обмежень. Область допустимих значень (ОДЗ) складається з усіх дійсних чисел.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Головний метод розв'язання показникових нерівностей — зведення обох частин до однієї основи. Ми представимо число

1

у правій частині як степінь з основою

3

. Оскільки основа

3

є більшою за одиницю (

3 > 1

), то при переході до порівняння показників знак нерівності залишиться незмінним.

Крок 4. Покрокові обчислення.
Запишемо число

1

як

3^{0}

(будь-яке число в нульовому степені дорівнює одиниці):

3^{x^{2} - 2 x + 1} ⩽ 3^{0}

Оскільки основи однакові й більші за

1

, перейдемо до нерівності для показників степенів, зберігши знак:

x^{2} - 2 x + 1 ⩽ 0

Подивимося на ліву частину нерівності. Це квадратний тричлен, який є розгорнутою формулою квадрата різниці:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

, де

a = x

, а

b = 1

. Згорнемо його за цією формулою:

(x - 1)^{2} ⩽ 0

Проаналізуємо отриманий вираз. Квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід'ємним (тобто більшим або дорівнює нулю:

(x - 1)^{2} ⩾ 0

). Тому вираз у квадраті ніколи не може бути строго меншим за нуль. Наша нерівність може виконуватися лише в єдиному випадку — коли цей квадрат точно дорівнює нулю:

x - 1 = 0

x = 1

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
Нерівність має лише один єдиний розв'язок — число

1

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо $a = \frac{2}{3}$ .

1
$6 a$
2
$(2^{a})^{3}$
3
$lo g_{3} (1 - a)$

А
$4$
Б
$- 1$
В
$1$
Г
$\frac{20}{3}$
Д
$2$

Правильна відповідь

1 — А; 2 — Д; 3 — Б

Пояснення

Покроково обчислимо значення кожного із трьох математичних виразів, підставляючи замість змінної

a

дріб

\frac{2}{3}

:

1. Вираз $6 a$ :
Підставимо значення змінної:

6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4

Цьому виразу відповідає значення 4.

2. Вираз $(2^{a})^{3}$ :
Спочатку спростимо підкореневий вираз за допомогою властивостей степенів. При піднесенні степеня до степеня показники перемножуються:

(2^{a})^{3} = 2^{a \cdot 3} = 2^{3 a}

Тепер обчислимо значення показника степеня, підставивши

a = \frac{2}{3}

3 a = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2

Отже, під конем ми маємо вираз

2^{2} = 4

. Знайдемо квадратний корінь:

4 = 2

Цьому виразу відповідає значення 2.

3. Вираз $lo g_{3} (1 - a)$ :
Спочатку виконаємо дію віднімання всередині дужок під знаком логарифма:

1 - a = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Представимо отриманий звичайний дріб як степінь з основою

3

\frac{1}{3} = 3^{- 1}

. Підставимо це значення в логарифм:

lo g_{3} (\frac{1}{3}) = lo g_{3} (3^{- 1})

За властивістю логарифма, показник степеня підлогарифмічного виразу можна винести вперед як множник:

lo g_{3} (3^{- 1}) = - 1 \cdot lo g_{3} 3 = - 1 \cdot 1 = - 1

Цьому виразу відповідає значення -1.

Завдання 17

на встановлення відповідності

Установіть відповідність між функцією, заданої на проміжку (1–3), та її найбільшим значенням (А – Д) на цьому проміжку.

1
$y = sin 4 x + 2, x \in (- \infty; + \infty)$
2
$y = 4 - x^{2}, x \in [0; 2]$
3
$y = 4 + x, x \in [0; 1]$

А
$0$
Б
$3$
В
$4$
Г
$5$
Д
$6$

Правильна відповідь

1 — Б; 2 — В; 3 — Г

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови.
Нам задано три різні функції та відповідні проміжки для змінної

x

. Необхідно знайти найбільше можливе значення (

y_{max}

) для кожної з них.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Для кожної функції ми проаналізуємо її область значень або характер поведінки (зростання чи спадання) на заданому інтервалі, щоб визначити точку максимуму без використання складних похідних.

Крок 4. Покрокові обчислення.

1. Функція $y = sin 4 x + 2$ на всій числовій прямій:
Згадаємо властивості тригометричної функції синуса. Область значень базового синуса обмежена відрізком від

- 1

до

1

, тобто

- 1 ⩽ sin 4 x ⩽ 1

. Найбільше значення, яке в принципі може прийняти синус, дорівнює

1

. Тоді максимальне значення всієї функції буде досягнуто, коли

sin 4 x = 1

y_{max} = 1 + 2 = 3

Відповідність: 3.

2. Функція $y = 4 - x^{2}$ на проміжку $[0; 2]$ :
Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз через мінус перед

x^{2}

. Найвищою точкою такої параболи є її вершина. Координата вершини по осі

x

дорівнює

x = 0

. Оскільки точка

x = 0

є початком нашого проміжку, а далі парабола йде вниз (функція спадає), то саме в точці

x = 0

значення функції буде найбільшим:

y_{max} = 4 - 0^{2} = 4 - 0 = 4

Відповідність: 4.

3. Функція $y = 4 + x$ на проміжку $[0; 1]$ :
Функція квадратного кореня

y = x

є строго зростаючою на всій області свого визначення (чим більше

x

, тим більше значення кореня). Додавання числа

4

не змінює цей характер поведінки. Відповідно, на відрізку

[0; 1]

функція досягає свого найбільшого значення у крайній правій точці, тобто при

x = 1

y_{max} = 4 + 1 = 4 + 1 = 5

Відповідність: 5.

Крок 5. Фінальний висновок.
Ми успішно знайшли найбільші значення для всіх трьох функцій методом аналізу їхніх властивостей.

Завдання 18

на встановлення відповідності

Прямокутні рівнобедрені трикутники $A BC$ і $K MN$ є рівними (див. рисунок). Точки $K, C, N$ і $A$ лежать на прямій $A K$ , причому $A N = NC = C K$ . $A C = 12$ см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

1
$A K$
2
$A B$
3
$BM$

А
$62$ см
Б
$65$ см
В
$122$ см
Г
$18$ см
Д
$24$ см

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — А; 3 — Б

Пояснення

У цій задачі нам потрібно встановити відповідність між геометричними відрізками та їхніми довжинами на основі малюнка.

Аналіз початкових даних:
Маємо два рівних прямокутних рівнобедрених трикутники $A BC$ і $K MN$ . Гіпотенуза трикутника $A BC$ дорівнює $A C = 12$ см. Оскільки трикутники рівні, то гіпотенуза другого трикутника також дорівнює $K N = 12$ см. Точки лежать на одній прямій, причому $A N = NC = C K$ .
Оскільки точка $N$ ділить відрізок $A C$ навпіл, то:

A N = NC = \frac{12}{2} = 6 см

Звідси також випливає, що $C K = 6$ см.

Знайдемо довжину кожного відрізка:

1. Відрізок $A K$ :
Як видно з рисунка, весь великий відрізок $A K$ складається з суми двох відрізків $A C$ та $C K$ :

A K = A C + C K = 12 + 6 = 18 см

Це відповідає варіанту Г.

2. Відрізок $A B$ :
Відрізок $A B$ є катетом прямокутного рівнобедреного трикутника $A BC$ із відомою гіпотенузою $A C = 12$ см. Нехай катети дорівнюють $x$ ( $A B = BC = x$ ). За теоремою Піфагора:

x^{2} + x^{2} = 1 2^{2} ⟹ 2 x^{2} = 144 ⟹ x^{2} = 72

x = 72 = 36 \cdot 2 = 62 см

Отже, $A B = 62$ см, що відповідає варіанту А.

3. Відрізок $BM$ :
У рівнобедреному прямокутному трикутнику $K MN$ вершина прямого кута $M$ проектується точно в середину гіпотенузи $K N$ , якою є точка $C$ (оскільки $K C = CN = 6$ см). Медіана $MC$ дорівнює половині гіпотенузи: $MC = 6$ см, причому $MC ⊥ A K$ .
Аналогічно, у трикутнику $A BC$ вершина прямого кута $B$ проектується в середину гіпотенузи $A C$ , тобто в точку $N$ . Медіана $BN = 6$ см, причому $BN ⊥ A K$ .
Оскільки $MC$ та $BN$ перпендикулярні до однієї прямої, вони паралельні між собою. Відстань між ними вздовж прямої $A K$ дорівнює довжині відрізка $CN = 6$ см. Намалюємо уявний прямокутний трикутник для відрізка $BM$ , де один катет дорівнює горизонтальній відстані $CN = 6$ см, а інший катет дорівнює сумі вертикальних відрізків $MC + BN = 6 + 6 = 12$ см (оскільки точки $M$ і $B$ лежать по різні боки від прямої). За теоремою Піфагора:

BM = 6^{2} + 1 2^{2} = 36 + 144 = 180 = 36 \cdot 5 = 65 см

Це відповідає варіанту Б.

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Обчисліть інтеграл $0 \int 3 \frac{x ^{2} + 3 x}{x + 3} d x$ .

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови.
Задано визначений інтеграл з межами інтегрування від

0

до

3

. Підінтегральна функція представлена дробом. Перед знаходженням первісної цей вираз необхідно спростити.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Розкладемо чисельник дробу на множники, винісши спільну змінну за дужки. Це дозволить нам скоротити дріб і звести підінтегральну функцію до простого табличного вигляду. Після цього застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца.

Крок 4. Покрокові обчислення.
Перетворимо підінтегральний вираз, винісши

x

за дужки в чисельнику:

\frac{x ^{2} + 3 x}{x + 3} = \frac{x ( x + 3 )}{x + 3}

Скоротимо однаковий множник

(x + 3)

у чисельнику та знаменнику дробу. Отримуємо просту функцію:

f (x) = x

Тепер перепишемо наш визначений інтеграл у спрощеному вигляді:

0 \int 3 x d x

Знайдемо первісну для функції

f (x) = x

за таблицею первісних степеневої функції:

F (x) = \frac{x ^{2}}{2}

Застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца, яка полягає в підстановці спочатку верхньої межі інтегрування (

3

), а потім відніманні значення з нижньою межею (

0

\frac{x ^{2}}{2}_{0}^{3} = \frac{3 ^{2}}{2} - \frac{0 ^{2}}{2}

Обчислимо отримані значення:

\frac{9}{2} - \frac{0}{2} = 4, 5 - 0 = 4, 5

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
Значення визначеного інтеграла дорівнює

4, 5

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Валерія за два дні прочитала $132$ вірші. За перший день вона прочитала на $20%$ віршів більше, ніж за другий. Скільки віршів прочитала Валерія за перший день?

Правильна відповідь

Пояснення

Розв'яжемо цю текстову задачу на відсотки за допомогою лінійного рівняння.

1. Нехай кількість віршів, які Валерія прочитала за другий день, дорівнює

x

.

2. За перший день вона прочитала на

20

віршів більше, ніж за другий. Згадаємо, що

20

від будь-якого числа — це

0, 2

від його величини (оскільки

20

). Таким чином, додаткова кількість віршів становить

0, 2 x

. Запишемо вираз для кількості віршів, прочитаних за перший день:

x + 0, 2 x = 1, 2 x

3. Відомо, що всього за два дні дівчина прочитала

132

вірші. Складемо рівняння, додавши кількість віршів за перший та другий дні:

1, 2 x + x = 132

4. Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння, пам'ятаючи, що перед поодиноким

x

стоїть прихований коефіцієнт

1

2, 2 x = 132

5. Щоб знайти невідомий множник

x

, поділимо

132

на

2, 2

. Для зручності обчислень помножимо обидві частини рівняння на

10

, позбувшись десяткового дробу:

22 x = 1320

x = \frac{1320}{22}

x = 60

Отже, за drugiй день Валерія прочитала

60

віршів.

6. Тепер знайдемо, скільки віршів вона прочитала за перший день, підставивши знайдене значення

x = 60

у вираз

1, 2 x

1, 2 \cdot 60 = 72 вірші

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено правильну чотирикутну призму та правильну чотирикутну піраміду. Сторона основи піраміди вдвічі менша від діагоналі основи призми. Усі ребра піраміди рівні й дорівнюють $32$ см. Знайдіть об’єм (у см $^{3}$ ) призми, якщо сума довжин висот призми та піраміди дорівнює $13$ см.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови.
За умовою задано правильну чотирикутну призму та правильну чотирикутну піраміду, зображені на рисунку. В основі обох фігур лежать квадрати. Нам відомо, що всі ребра піраміди рівні між собою і дорівнюють $32$ см. Також відомо, що сума висот призми та піраміди дорівнює $13$ см, а сторона основи піраміди вдвічі менша від діагоналі основи призми.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Щоб знайти об'єм призми, скористаємося формулою:

V = S_{осн} \cdot H_{пр}

де $S_{осн}$ — площа квадрата в основі призми, а $H_{пр}$ — її висота. Для цього спочатку повністю розберемо піраміду, знайдемо її висоту, а через неї — геометричні розміри призми.

Крок 4. Покрокові обчислення.
1. Оскільки всі ребра піраміди дорівнюють $32$ см, то в її основі лежить квадрат зі стороною $a = 32$ см. Знайдемо діагональ основи піраміди ( $d_{пір}$ ) за формулою діагоналі квадрата $d = a 2$ :

d_{пір} = 32 \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6 см

2. Висота правильної піраміди ( $H_{пір}$ ) проектується точно в центр її основи (точку перетину діагоналей квадрата). Розглянемо прямокутний трикутник, утворений бічним ребром піраміди (гіпотенуза), її висотою (катет) та половиною діагоналі основи (другий катет). Половина діагоналі дорівнює:

\frac{d _{пір}}{2} = \frac{6}{2} = 3 см

За теоремою Піфагора знайдемо висоту піраміди:

H_{пір} = (32)^{2} - 3^{2} = 18 - 9 = 9 = 3 см

3. Тепер знайдемо висоту призми ( $H_{пр}$ ). За умовою, сума висот дорівнює $13$ см:

H_{пр} + H_{пір} = 13

H_{пр} + 3 = 13 ⟹ H_{пр} = 10 см

4. Перейдемо до основи призми. Сторона основи піраміди ( $32$ см) вдвічі менша від діагоналі основи призми ( $d_{пр}$ ). Отже, діагональ основи призми дорівнює:

d_{пр} = 2 \cdot 32 = 62 см

5. Обчислимо площу основи призми ( $S_{осн}$ ). Оскільки в основі лежить квадрат, його площу можна знайти через діагональ за формулою $S = \frac{1}{2} d^{2}$ :

S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot (62)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 72 = 36 см^{2}

6. Обчислимо шуканий об'єм призми:

V = S_{осн} \cdot H_{пр} = 36 \cdot 10 = 360 см^{3}

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
Ми послідовно знайшли всі необхідні компоненти й отримали об'єм призми, який дорівнює $360$ .

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Визначте найменше ціле значення $a$ , за якого рівняння $\frac{x + a + x + a - 12}{2 + l g ^{2} ( 2 x - a ^{2} )} = 0$ має корені.

Правильна відповідь

-5

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ.
Дріб дорівнює нулю тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому має зміст і не перетворюється на нуль. Запишемо умови існування всіх виразів (область допустимих значень):
1) Вираз під квадратним коренем не може бути від'ємним:

x + a ⩾ 0

звідси випливає, що

x ⩾ - a

2) Вираз під знаком логарифма має бути строго додатним:

2 x - a^{2} > 0

отже,

x > \frac{a ^{2}}{2}

Звернемо увагу на знаменник дробу:

2 + l g^{2} (2 x - a^{2})

. Оскільки квадрат будь-якого виразу є невід'ємним (навіть якщо логарифм від'ємний, його квадрат

l g^{2} (...) ⩾ 0

), то весь знаменник завжди більший або дорівнює

2

, а отже, він ніколи не перетвориться на нуль.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Прирівняємо чисельник дробу до нуля. Отримаємо ірраціональне рівняння, яке найкраще розв'язати методом введення нової змінної. Після пошуку коренів ми підставимо їх в умови ОДЗ, щоб знайти обмеження на параметр

a

.

Крок 3. Введення заміни.
Нехай

x + a = t

. Оскільки результат добування квадратного кореня не може бути від'ємним, накладемо обмеження на нову змінну:

t ⩾ 0

. Якщо ми піднесемо цей вираз до квадрата, то отримаємо

x + a = t^{2}

. Підставимо ці значення в чисельник рівняння:

t^{2} + t - 12 = 0

Крок 4. Покрокові обчислення.
Розв'яжемо отримане квадратне рівняння відносно

t

за допомогою теореми Вієта. Сума коренів має дорівнювати

- 1

, а їхній добуток — числу

- 12

. Шляхом підбору знаходимо два корені:

t_{1} = - 4, t_{2} = 3

Оскільки ми раніше вказали обов'язкову умову

t ⩾ 0

, корінь

t_{1} = - 4

є стороннім і не підходить. Залишається єдиний можливий корінь

t = 3

.
Повернемося до початкової змінної

x

, виконавши зворотну заміну:

x + a = 3

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

x + a = 9

x = 9 - a

Ми знайшли єдиний потенційний корінь рівняння. Тепер він обов'язково має задовольняти умови ОДЗ.
Перевіримо першу умову (

x ⩾ - a

9 - a ⩾ - a ⟹ 9 ⩾ 0

Це твердження є завжди правильним і виконується для будь-яких значень

a

.
Перевіримо другу умову (

x > \frac{a ^{2}}{2}

9 - a > \frac{a ^{2}}{2}

Помножимо обидві частини нерівності на

2

, щоб позбутися дробової частини:

18 - 2 a > a^{2}

Перенесемо всі доданки в один бік, щоб сформувати класичну квадратну нерівність:

a^{2} + 2 a - 18 < 0

Знайдемо критичні точки, прирівнявши ліву частину до нуля:

a^{2} + 2 a - 18 = 0

. Скористаємося дискримінантом:

D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18) = 4 + 72 = 76

Знайдемо два корені рівняння:

a_{1} = \frac{- 2 - 76}{2} = \frac{- 2 - 2 19}{2} = - 1 - 19

a_{2} = \frac{- 2 + 76}{2} = \frac{- 2 + 2 19}{2} = - 1 + 19

Нерівність зі знаком «менше нуля» (

< 0

) для параболи, вітки якої напрямлені вгору, виконується в інтервалі між її коренямі:

a \in (- 1 - 19; - 1 + 19)

Для пошуку конкретних цілих значень оцінимо ці корені чисельно. Оскільки число

19

лежить між квадратами

16

25

, то його корінь перебуває в межах

4 < 19 < 5

(приблизно

19 \approx 4, 36

). Тоді межі нашого інтервалу дорівнюють:
Нижня межа:

- 1 - 4, 36 = - 5, 36

Верхня межа:

- 1 + 4, 36 = 3, 36

Отже, параметр має знаходитися в проміжку:

a \in (- 5, 36; 3, 36)

.

Крок 5. Аналіз результату та фінальний висновок.
За умовою задачі нам необхідно вказати найменше ціле значення параметра

a

, при якому рівняння матиме корені. Першим цілим числом, яке входить у знайдений проміжок праворуч від

- 5, 36

, є число

- 5