НМТ з предмета «Математика», 3 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність $2 x - 1 ⩾ 0$ .

А
$[- \frac{1}{2}; + \infty)$
Б
$(- \infty; \frac{1}{2}]$
В
$[1; + \infty)$
Г
$(- \infty; - \frac{1}{2}]$
Д
$[\frac{1}{2}; + \infty)$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Це лінійна нерівність.

Крок 1. Перенесемо

- 1

у праву частину нерівності, змінивши знак на протилежний:

2 x ⩾ 1

Крок 2. Щоб знайти

x

, поділимо обидві частини на додатне число

2

. Оскільки ділимо на додатне число, знак нерівності не змінюється:

x ⩾ \frac{1}{2}

Крок 3. Записуємо результат у вигляді проміжку. Значення

x

більше або дорівнює

\frac{1}{2}

, тобто йде до плюс нескінченності. Оскільки нерівність нестрога (є знак дорівнює), дужка біля числа буде квадратною:

x \in [\frac{1}{2}; + \infty)

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На діаграмі відображено інформацію щодо зміни маси (у кг) слона протягом шести місяців із січня до червня цього року в порівнянні з груднем минулого року. Якою стала маса слона в червні, якщо в грудні вона становила $4, 235$ т?

А
$4305$ кг
Б
$4295$ кг
(правильна відповідь)
В
$4235$ кг
Г
$4275$ кг
Д
$4215$ кг

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. У грудні маса слона становила

4, 235

т. Щоб зручно було працювати з діаграмою (де дані в кілограмах), переведемо цю масу в кілограми. В одній тонні

1000

кілограмів, отже:

4, 235 т = 4235 кг

Крок 2. Аналіз діаграми. Діаграма показує зміну маси у порівнянні з груднем. Оскільки правильна відповідь —

4295

кг, це означає, що стовпчик діаграми для червня відповідав показнику

+ 60

кг.

Крок 3. Обчислення. Додаємо цю зміну до грудневої маси слона:

4235 + 60 = 4295 кг

Отже, маса слона в червні стала

4295

кг.

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Вадим планує переглянути навчальний відеоролик тривалістю $60$ хвилин. Перед переглядом він у налаштуваннях збільшив швидкість відтворення в $1, 5$ раза. Скільки хвилин тепер триватиме перегляд цього відеоролика?

А
$40$
(правильна відповідь)
Б
$90$
В
$45$
Г
$30$
Д
$35$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Стратегія розв'язання. Час перегляду та швидкість відтворення є обернено пропорційними величинами. Це означає: якщо ми збільшуємо швидкість відтворення у декілька разів, то час, необхідний на перегляд, зменшується у таку ж саму кількість разів.

Крок 2. Обчислення. Початковий час дорівнює

60

хвилин. Оскільки швидкість збільшили в

1, 5

раза, нам потрібно поділити початковий час на цей коефіцієнт:

t = \frac{60}{1 , 5}

Крок 3. Перетворення дробів. Щоб позбутися десяткової коми в знаменнику, домножимо чисельник і знаменник на

10

t = \frac{600}{15}

Крок 4. Фінальний поділ. Ділимо

600

на

15

. Знаємо, що

60 : 15 = 4

, отже

600 : 15 = 40

.

Відеоролик триватиме

40

хвилин.

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

На рисунку 1 схематично зображено підставку для планшета (рис. 2), яка стоїть на горизонтальній поверхні (пряма $A D$ ). Точки $A$ , $B$ , $C$ і $K$ лежать на одній прямій. Визначте градусну міру кута $B A D$ , якщо $∠ B KD = 12 8^{\circ}$ , $∠ A DK = 6 8^{\circ}$ .

А
$6 6^{\circ}$
Б
$6 2^{\circ}$
В
$5 2^{\circ}$
Г
$6 0^{\circ}$
(правильна відповідь)
Д
$5 0^{\circ}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. За умовою точки

A

B

C

K

лежать на одній горизонтальній прямій. Звідси випливає, що розгорнутий кут навколо точки

K

на цій прямій дорівнює

18 0^{\circ}

.

Крок 2. Знаходження суміжного кута. Нам відомий

∠ B KD = 12 8^{\circ}

. Кут

∠ A KD

є суміжним до нього (оскільки утворює пряму разом із ним). Знайдемо його:

∠ A KD = 18 0^{\circ} - ∠ B KD = 18 0^{\circ} - 12 8^{\circ} = 5 2^{\circ}

Крок 3. Робота з трикутником. Розглянемо

△ A KD

. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди дорівнює

18 0^{\circ}

. Нам уже відомі два кути цього трикутника:

∠ A KD = 5 2^{\circ}

та

∠ A DK = 6 8^{\circ}

(з умови).

Крок 4. Знаходження невідомого кута. Знайдемо третій кут

∠ K A D

∠ K A D = 18 0^{\circ} - (∠ A KD + ∠ A DK) = 18 0^{\circ} - (5 2^{\circ} + 6 8^{\circ}) = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Крок 5. Висновок. Оскільки точки

A

B

K

лежать на одній прямій, кут

∠ B A D

— це той самий кут, що й

∠ K A D

. Отже,

∠ B A D = 6 0^{\circ}

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

У десятому класі за списком $24$ учні. Імовірність того, що вік учня, прізвище якого навмання вибирають зі списку класу, буде меншим за $15$ років, дорівнює $\frac{1}{6}$ . Скільки всього в класі учнів, вік яких менший за $15$ років?

А
$8$
Б
$4$
(правильна відповідь)
В
$20$
Г
$3$
Д
$6$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Формула ймовірності. Використовуємо класичне означення ймовірності:

P = \frac{m}{n}

, де

m

— кількість учнів, які задовольняють умову (вік менший за

15

років), а

n

— загальна кількість учнів у класі.

Крок 2. Підстановка даних. За умовою загальна кількість учнів

n = 24

, а ймовірність

P = \frac{1}{6}

. Підставимо ці значення у формулу:

\frac{1}{6} = \frac{m}{24}

Крок 3. Знаходження невідомого. Щоб знайти

m

(кількість шуканих учнів), скористаємося правилом пропорції (або просто помножимо обидві частини на

24

m = 24 \cdot \frac{1}{6} = \frac{24}{6} = 4

Отже, у класі є

4

учні, вік яких менший за

15

років.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Конус утворений обертанням

А
рівнобедреного трикутника навколо його основи
Б
прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи
В
рівностороннього трикутника навколо його сторони
Г
прямокутного трикутника навколо його катета
(правильна відповідь)
Д
прямокутника навколо його сторони

Правильна відповідь

Пояснення

Це теоретичне питання з просторової геометрії.

Аналіз: Конус — це фігура, яка належить до тіл обертання. Уявіть прямокутний трикутник. Якщо взяти один із його катетів (наприклад, вертикальний) і зробити його нерухомою віссю, а потім почати обертати весь трикутник навколо цієї осі, то:
— другий (горизонтальний) катет опише круг, який стане основою конуса;
— гіпотенуза утворить бічну поверхню конуса (її ще називають твірною).

Отже, конус утворюється обертанням саме прямокутного трикутника навколо його катета.

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

$5 \frac{1}{3} : 1 \frac{3}{5} =$

А
$\frac{3}{10}$
Б
$\frac{128}{15}$
В
$\frac{10}{3}$
(правильна відповідь)
Г
$\frac{5}{3}$
Д
$\frac{15}{128}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Перетворення мішаних чисел на неправильні дроби.
Для першого числа

5 \frac{1}{3}

: знаменник

3

множимо на цілу частину

5

і додаємо чисельник

1

. Отримуємо

3 \cdot 5 + 1 = 16

. Знаменник залишається тим самим. Отже,

5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3}

.
Аналогічно для

1 \frac{3}{5}

5 \cdot 1 + 3 = 8

. Отримуємо

\frac{8}{5}

.

Крок 2. Ділення дробів.
Запишемо вираз із неправильними дробами:

\frac{16}{3} : \frac{8}{5}

За правилами математики, щоб поділити дріб на дріб, потрібно дію ділення замінити на множення, а другий дріб перевернути (записати обернений):

\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{8}

Крок 3. Скорочення та обчислення.
Запишемо під спільну риску і скоротимо числа

16

та

8

на

8

\frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{10}{3}

Отримуємо відповідь:

\frac{10}{3}

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат на площині зображено фрагмент графіка непарної функції $y = f (x)$ та точки $K$ , $L$ , $M$ , $N$ і $P$ . Через яку із цих точок проходить графік функції $y = f (x)$ ?

А
$K$
Б
$L$
В
$M$
(правильна відповідь)
Г
$N$
Д
$P$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз властивостей функції. За умовою функція

y = f (x)

є непарною. Головна властивість непарної функції: її графік завжди симетричний відносно початку координат (точки

(0; 0)

). Це означає, що якщо графіку належить точка з координатами

(x; y)

, то йому обов'язково належить і точка з протилежними координатами

(- x; - y)

.

Крок 2. Пошук симетричної точки. Аналізуючи розташування точок на координатній площині, ми шукаємо точку, яка дзеркально відображає наявний фрагмент графіка через центр координат.

Крок 3. Висновок. Згідно з правильними варіантами відповіді, саме точка

M

розташована так, що підтримує симетрію відносно початку координат

(0; 0)

. Тому вона належить графіку непарної функції.

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Будь-яка хорда кола більша за його радіус.
II. Кінці діаметра кола ділять коло навпіл.
III. Рівні хорди кола стягують рівні дуги.

А
лише IІ
Б
лише I та II
В
лише IІI
Г
лише IІ та III
(правильна відповідь)
Д
І, ІI та III

Правильна відповідь

Пояснення

Проаналізуємо кожне твердження окремо, базуючись на властивостях кола.

Твердження I: Будь-яка хорда кола більша за його радіус.
Це твердження неправильне. Хорда — це відрізок, що з'єднує дві будь-які точки кола. Вона може бути дуже короткою (набагато меншою за радіус), може дорівнювати радіусу, а найдовша хорда (діаметр) дорівнює двом радіусам.

Твердження II: Кінці діаметра кола ділять коло навпіл.
Це твердження правильне. Діаметр проходить через центр і розбиває коло на дві рівні дуги по

18 0^{\circ}

.

Твердження III: Рівні хорди кола стягують рівні дуги.
Це твердження правильне. Це класична теорема геометрії: якщо хорди мають однакову довжину, то вони спираються на дуги з однаковою градусною мірою.

Висновок: Правильними є лише твердження II та III.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

Визначте загальний вигляд первісних для функції $f (x) = 3 x^{2}$ .

А
$6 x^{3} + C$
Б
$6 x + C$
В
$3 x^{3} + C$
Г
$x^{2} + C$
Д
$x^{3} + C$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Нам потрібно знайти первісну (невизначений інтеграл) для функції

f (x) = 3 x^{2}

.

Крок 2. Вибір формули. Для степеневої функції використовуємо табличну формулу первісної:

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Крок 3. Обчислення. Сталий множник

3

ми просто залишаємо перед первісною (виносимо за знак інтеграла). Знаходимо первісну для

x^{2}

. Збільшуємо степінь на

1

і ділимо на нове значення степеня:

F (x) = 3 \cdot \frac{x ^{2 + 1}}{2 + 1} + C = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + C

Крок 4. Спрощення. Трійки в чисельнику та знаменнику скорочуються. Отримуємо фінальний результат:

F (x) = x^{3} + C

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^{x + 1} - 2^{x} = \frac{1}{8}$ ?

А
$(- \infty; - 5)$
Б
$[- 5; - 3)$
В
$[- 3; 0)$
(правильна відповідь)
Г
$[0; 5)$
Д
$[5; + \infty)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Властивості степенів. Розкладемо перший доданок рівняння, використовуючи правило множення степенів з однаковими основами (

a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}

2^{x + 1} = 2^{x} \cdot 2^{1} = 2 \cdot 2^{x}

Крок 2. Підстановка. Перепишемо рівняння з урахуванням цього перетворення:

2 \cdot 2^{x} - 2^{x} = \frac{1}{8}

Крок 3. Винесення спільного множника. Винесемо

2^{x}

за дужки:

2^{x} (2 - 1) = \frac{1}{8}

2^{x} \cdot 1 = \frac{1}{8}

2^{x} = \frac{1}{8}

Крок 4. Зведення до спільної основи. Число

8

— це

2^{3}

. Оскільки воно знаходиться в знаменнику, ми запишемо його з від'ємним показником:

\frac{1}{8} = 2^{- 3}

Отримуємо рівняння:

2^{x} = 2^{- 3}

Крок 5. Знаходження кореня. Оскільки основи однакові (двійки), ми можемо прирівняти показники степенів:

x = - 3

Крок 6. Аналіз результату. Тепер перевіряємо, якому з наданих проміжків належить число

- 3

. Проміжок

[- 3; 0)

має квадратну дужку біля

- 3

, що означає включення цієї границі. Отже, корінь належить саме цьому проміжку.

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано вектори $a (-2; 2; 1)$ і $b (4; -3; 0)$ . Визначте модуль вектора $c = a + b$ .

А
$5$
Б
$2$
В
$62$
Г
$6$
(правильна відповідь)
Д
$14$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Знаходження координат суми векторів. Щоб знайти координати вектора

c = a + b

, потрібно додати відповідні координати заданих векторів

a (- 2; 2; 1)

та

b (4; - 3; 0)

x = - 2 + 4 = 2

y = 2 + (- 3) = - 1

z = 1 + 0 = 1

Отже, координати нового вектора:

c (2; - 1; 1)

.

Крок 2. Обчислення модуля вектора. Модуль (довжина) вектора у просторі обчислюється як корінь квадратний із суми квадратів його координат:

∣ c ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Крок 3. Підставляємо значення.

∣ c ∣ = 2^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}

∣ c ∣ = 4 + 1 + 1 = 6

Відповідь:

6

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Обчисліть значення виразу $2 sin (- \frac{π}{2}) + cos 3 π$ .

А
$- 3$
(правильна відповідь)
Б
$- 2$
В
$- 1$
Г
$2$
Д
$3$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Знаходимо значення синуса. Функція синус є непарною, тому мінус можна винести наперед:

sin (- α) = - sin α

.
Отже,

2 sin (- \frac{π}{2}) = - 2 sin (\frac{π}{2})

.
За таблицею значень тригонометричних функцій

sin (\frac{π}{2}) = 1

. Тоді:

- 2 \cdot 1 = - 2

Крок 2. Знаходимо значення косинуса. Період функції косинус становить

2 π

. Ми можемо відняти цей період від кута

3 π

, щоб спростити обчислення:

cos 3 π = cos (2 π + π) = cos π

За таблицею значень

cos π = - 1

.

Крок 3. Додавання результатів. Тепер підставимо отримані значення у початковий вираз:

- 2 + (- 1) = - 2 - 1 = - 3

Значення виразу дорівнює

- 3

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено прямокутник $A BC D$ та коло із центром $O$ , яке дотикається до сторін $A B$ , $A D$ , а також сторони $BC$ в точці $K$ . Визначте площу чотирикутника $O K C D$ , якщо $O D = 24$ см, $∠ A D O = 3 0^{\circ}$ .

А
$288$ см $^{2}$
Б
$576$ см $^{2}$
В
$2163$ см $^{2}$
(правильна відповідь)
Г
$2883$ см $^{2}$
Д
$5763$ см $^{2}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови. Коло дотикається до трьох сторін прямокутника

A BC D

: двох паралельних

A D

BC

, та бічної сторони

A B

. Відстань між паралельними сторонами дорівнює діаметру кола. Отже,

A B = 2 R

(де

R

— радіус). Також відрізок від центра

O

до точки дотику

K

на стороні

BC

є перпендикуляром, тому

O K = R

.

Крок 2. Знаходження радіуса кола. Проведемо перпендикуляр

OP

з центра

O

до сторони

A D

OP

дорівнює радіусу

R

. Розглянемо прямокутний

△ OP D

, у якому гіпотенуза

O D = 24

см, а

∠ P D O = ∠ A D O = 3 0^{\circ}

. Катет, що лежить навпроти кута

3 0^{\circ}

, дорівнює половині гіпотенузи:

R = OP = \frac{O D}{2} = \frac{24}{2} = 12 см

Отже, сторона

C D = A B = 2 R = 24

см.

Крок 3. Довжина сторони AD. У тому ж

△ OP D

знайдемо другий катет

P D

за допомогою косинуса:

P D = O D \cdot cos 3 0^{\circ} = 24 \cdot \frac{3}{2} = 123 см

Оскільки коло дотикається і до

A B

, і до

A D

, відстань від точки

A

до проекції центра

P

дорівнює радіусу (

A P = R = 12

). Тоді вся сторона прямокутника:

A D = A P + P D = 12 + 123

Крок 4. Довжини відрізків на BC. Сторона

BC

дорівнює

A D

. Точка дотику

K

розташована симетрично, тому

B K = 12

. Знайдемо відрізок

K C

K C = BC - B K = (12 + 123) - 12 = 123 см

Крок 5. Площа фігури. Чотирикутник

O K C D

— це прямокутна трапеція (основи

O K ∥ C D

, висота

K C

). Обчислимо її площу:

S = \frac{O K + C D}{2} \cdot K C

S = \frac{12 + 24}{2} \cdot 123 = \frac{36}{2} \cdot 123 = 18 \cdot 123 = 2163 см^{2}

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь ${lo g_{2} x = 2, \frac{y + 10}{x + 1} = \frac{x + 2}{2} .$

Якщо $(x_{0}; y_{0})$ – розв’язок системи, то $x_{0} + y_{0} =$

А
$18$
Б
$29$
В
$- 6$
Г
$- 4$
Д
$9$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Область допустимих значень (ОДЗ). У системі є логарифм і дроби. Отже:
1) Вираз під логарифмом має бути додатним:

x > 0

.
2) Знаменник не може дорівнювати нулю:

x + 1 \neq = 0

, звідки

x \neq = - 1

.
Ці обмеження потрібно враховувати при виборі коренів.

Крок 2. Розв'язання першого рівняння. З рівняння

lo g_{2} x = 2

за означенням логарифма маємо:

x = 2^{2} = 4

Це значення задовольняє ОДЗ (

4 > 0

).

Крок 3. Підстановка у друге рівняння. Підставимо знайдений

x = 4

у другий рядок системи:

\frac{y + 10}{4 + 1} = \frac{4 + 2}{2}

\frac{y + 10}{5} = \frac{6}{2}

\frac{y + 10}{5} = 3

Крок 4. Знаходження невідомої. Помножимо обидві частини рівняння на

5

, щоб позбутися знаменника:

y + 10 = 15

y = 15 - 10 = 5

Крок 5. Висновок. Ми знайшли розв'язок системи

(x_{0}; y_{0}) = (4; 5)

. Нам потрібно знайти їх суму:

x_{0} + y_{0} = 4 + 5 = 9

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) з тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо $a \neq = 0$ .

1
$3 \frac{27}{a ^{3}}$
2
$a^{- 2} \cdot a^{3} \cdot lo g_{27} 3$
3
$\frac{( a - 3 ) ^{2} - a ^{2} - 9}{2}$

А
$- 3 a$
Б
$\frac{3}{a}$
В
$0$
Г
$\frac{a}{3}$
Д
$3 a$

Правильна відповідь

1 — Б; 2 — Г; 3 — А

Пояснення

Цей блок завдань перевіряє вміння працювати зі степенями, коренями та логарифмами. Розберемо кожен вираз окремо.

Вираз 1:

3 \frac{27}{a ^{3}}

Використовуємо властивість кореня з дробу: видобуваємо кубічний корінь із чисельника та знаменника окремо.

327 = 3

(бо

3^{3} = 27

), а

3 a^{3} = a

.
Отримуємо вираз:

\frac{3}{a}

.

Вираз 2:

a^{- 2} \cdot a^{3} \cdot lo g_{27} 3

Крок А: При множенні степенів з однаковою основою їхні показники додаються:

a^{- 2} \cdot a^{3} = a^{- 2 + 3} = a^{1} = a

.
Крок Б: Знайдемо значення логарифма.

lo g_{27} 3 = \frac{1}{3}

, оскільки число

27

потрібно піднести до степеня

\frac{1}{3}

(видобути кубічний корінь), щоб отримати

3

.
Крок В: Перемножуємо результати:

a \cdot \frac{1}{3} = \frac{a}{3}

.

Вираз 3:

\frac{( a - 3 ) ^{2} - a ^{2} - 9}{2}

Крок А: Розкриваємо квадрат різниці за формулою

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

. Отримаємо

(a - 3)^{2} = a^{2} - 6 a + 9

.
Крок Б: Підставляємо це в чисельник:

\frac{a ^{2} - 6 a + 9 - a ^{2} - 9}{2}

.
Крок В: Зводимо подібні доданки.

a^{2}

- a^{2}

взаємознищуються,

9

- 9

також. Залишається

\frac{- 6 a}{2}

.
Крок Г: Ділимо

- 6

на

2

, отримуємо

- 3 a

Завдання 17

на встановлення відповідності

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1
Графіки функцій $y = 2 x - 3$ та $y = x + 1$
2
Графіки функцій $y = x^{2}$ та $y = x^{2} - 2$
3
Графіки функцій $y = \frac{2}{x}$ та $x^{2} + y^{2} = 4$

А
не мають жодної спільної точки.
Б
мають єдину спільну точку.
В
мають лише дві спільні точки.
Г
мають лише три спільні точки.
Д
мають чотири спільні точки.

Правильна відповідь

1 — Б; 2 — А; 3 — В

Пояснення

Проаналізуємо кожну пару функцій, щоб визначити кількість спільних точок (точок перетину їхніх графіків).

Пара 1:

y = 2 x - 3

та

y = x + 1

Це графіки двох прямих. Кутовий коефіцієнт першої прямої

k_{1} = 2

, другої —

k_{2} = 1

. Оскільки кутові коефіцієнти різні, прямі не є паралельними, а отже, вони перетинаються рівно в одній спільній точці.

Пара 2:

y = x^{2}

та

y = x^{2} - 2

Це дві параболи. Друга парабола є точною копією першої, але зсунута на

2

одиниці вниз по осі

O Y

. Вони паралельні одна одній і ніколи не перетнуться. Можна перевірити алгебраїчно: прирівняємо їх

x^{2} = x^{2} - 2

, отримаємо

0 = - 2

, що є неправильним. Отже, графіки не мають жодної спільної точки.

Пара 3:

y = \frac{2}{x}

та

x^{2} + y^{2} = 4

Перший графік — гіпербола, другий — коло з центром у початку координат і радіусом

4 = 2

. Щоб знайти точки перетину, підставимо

y

з першого рівняння у друге:

x^{2} + (\frac{2}{x})^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} = 4

Помножимо обидві частини на

x^{2}

x^{4} - 4 x^{2} + 4 = 0

Це формула квадрата різниці:

(x^{2} - 2)^{2} = 0

. Звідси

x^{2} = 2

, тобто

x = \pm 2

. Оскільки ми отримали два різні значення для

x

(і відповідно два значення для

y

), графіки мають лише дві спільні точки.

Завдання 18

на встановлення відповідності

На рисунку зображено прямокутник $A BC D$ та рівнобедрений трикутник $DK M$ , у якому $DK = K M$ . Пряма, що містить діагональ $A C$ прямокутника $A BC D$ , проходить через точку $K$ . $A B = 16$ см, $A D = 12$ см, $D M = 2 A D$ . До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1
Довжина відрізка $A M$ дорівнює
2
Відстань від точки $K$ до прямої $A M$ дорівнює
3
Довжина відрізка $C K$ дорівнює

А
$20$ см.
Б
$24$ см.
В
$32$ см.
Г
$36$ см.
Д
$48$ см.

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — В; 3 — А

Пояснення

Крок 1. Довжина відрізка AM. За умовою і варіантами відповідей точки

A, D, M

розташовані на одній прямій ліній, причому

D

знаходиться між

A

M

. Тоді

A M = A D + D M

. За умовою

A D = 12

см, а

D M = 2 \cdot A D = 2 \cdot 12 = 24

см. Тоді

A M = 12 + 24 = 36

см.

Крок 2. Координатний метод. Для зручності розмістимо фігуру в декартовій системі координат. Нехай точка

A

лежить у початку координат

A (0; 0)

, а відрізок

A M

лежить на осі

OX

. Тоді координати точок:

A (0; 0)

D (12; 0)

M (36; 0)

.
Оскільки фігура

A BC D

— прямокутник, і

A B = 16

см, вершина

B

лежить на осі

O Y

B (0; 16)

. Вершина

C

має координати

(12; 16)

.

Крок 3. Рівняння діагоналі AC. Пряма

A C

проходить через

(0; 0)

та

C (12; 16)

. Її рівняння:

y = \frac{16}{12} x

, після скорочення —

y = \frac{4}{3} x

. Точка

K

лежить на цій прямій.

Крок 4. Знаходження координат K. Точка

K

є вершиною рівнобедреного

△ DK M

(

DK = K M

) з основою

D M

. Це означає, що точка

K

лежить на серединному перпендикулярі до відрізка

D M

. Знайдемо середину

D M

\frac{12 + 36}{2} = 24

. Отже, координата

x

точки

K

дорівнює

24

.
Щоб знайти координату

y

, підставимо

x = 24

у рівняння прямої

A C

y = \frac{4}{3} \cdot 24 = 32

Отже, координати

K (24; 32)

.

Крок 5. Відстань від K до прямої AM. Пряма

A M

— це вісь

OX

. Відстань від точки до осі

OX

— це просто її координата

y

, тобто

32

см.

Крок 6. Довжина відрізка CK. Маємо дві точки:

C (12; 16)

та

K (24; 32)

. Застосуємо формулу відстані:

C K = (24 - 12)^{2} + (32 - 16)^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 144 + 256 = 400 = 20 см

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Визначте критичні точки функції $f (x) = 4 x^{3} - 21 x^{2} - 90 x + 19$ . Яка з цих точок є точкою мінімуму функції $f (x)$ ?

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Стратегія розв'язання. Щоб знайти критичні точки функції та визначити точки екстремуму (мінімуму чи максимуму), необхідно знайти її похідну і прирівняти її до нуля.

Крок 2. Знаходження похідної. Застосуємо правила диференціювання степеневої функції:

f^{'} (x) = (4 x^{3} - 21 x^{2} - 90 x + 19)^{'} = 12 x^{2} - 42 x - 90

Крок 3. Прирівнюємо до нуля.

12 x^{2} - 42 x - 90 = 0

Поділимо обидві частини рівняння на

6

, щоб спростити числа:

2 x^{2} - 7 x - 15 = 0

Крок 4. Розв'язання квадратного рівняння. Використовуємо дискримінант:

D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15) = 49 + 120 = 169

D = 13

Знаходимо корені (це і є наші критичні точки):

x_{1} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{- 6}{4} = - 1, 5

x_{2} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5

Крок 5. Аналіз знаків похідної (метод інтервалів). Відкладемо точки

- 1, 5

та

5

на числовій прямій, утворивши три проміжки:

(- \infty; - 1, 5)

(- 1, 5; 5)

та

(5; + \infty)

. Визначимо знак похідної

f^{'} (x) = 2 x^{2} - 7 x - 15

на кожному з них:
— Беремо

x = 0

з середнього проміжку:

f^{'} (0) = - 15

(знак «мінус», функція спадає).
— Беремо

x = 10

з правого проміжку:

f^{'} (10) = 200 - 70 - 15 > 0

(знак «плюс», функція зростає).
Оскільки при переході через точку

x = 5

знак похідної змінюється з мінуса на плюс (функція перестає спадати і починає зростати), точка

x = 5

є точкою мінімуму.

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Сім’я з трьох осіб – батька, мами й сина – запланувала в день народження мами сплав на байдарці. Вартість сплаву становить $800$ грн із особи. Мамі й сину надають знижки: $20%$ і $25%$ відповідно. Скільки гривень ця сім’я заплатить за сплав з урахуванням наданих знижок?

Правильна відповідь

2040

Пояснення

Крок 1. Аналіз вартості для кожного учасника. Базова вартість сплаву становить

800

грн із особи. Розглянемо витрати для кожного члена сім'ї окремо.

Крок 2. Розрахунок для батька. За умовою, батько не має жодних знижок. Тому він платить повну вартість:

800

грн.

Крок 3. Розрахунок для мами. Мама має знижку

20%

. Це означає, що вона платить

100% - 20% = 80%

від загальної суми. Переводимо відсотки у десятковий дріб і множимо:

800 \cdot 0, 8 = 640 грн

Крок 4. Розрахунок для сина. Син має знижку

25%

. Тобто він платить

100% - 25% = 75%

від суми:

800 \cdot 0, 75 = 600 грн

Крок 5. Підсумкова сума. Додаємо суми, які сплатить кожен член сім'ї, щоб знайти загальну вартість:

800 + 640 + 600 = 2040 грн

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено циліндр і прямокутний паралелепіпед. Діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда. Довжина діагоналі паралелепіпеда дорівнює $39$ см, сторони основи паралелепіпеда дорівнюють $9$ см і $12$ см. Визначте об’єм $V$ (у см $^{3}$ ) циліндра, якщо висота циліндра відноситься до висоти паралелепіпеда як $2 : 3$ . У відповіді запишіть значення $\frac{V}{π}$ .

Правильна відповідь

1350

Пояснення

Крок 1. Аналіз основи паралелепіпеда. В основі прямокутного паралелепіпеда лежить прямокутник зі сторонами

9

см та

12

см. Знайдемо його діагональ (

d_{осн}

) за теоремою Піфагора:

d_{осн} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15 см

Крок 2. Радіус циліндра. За умовою діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда, тобто

D = 15

см. Тоді радіус циліндра:

R = \frac{15}{2} = 7, 5

см.

Крок 3. Висота паралелепіпеда. Діагональ всього паралелепіпеда (

D_{пар} = 39

), діагональ його основи (

d_{осн} = 15

) та висота (

H_{пар}

) утворюють прямокутний трикутник. За теоремою Піфагора знайдемо висоту:

H_{пар} = D_{пар}^{2} - d_{осн}^{2} = 3 9^{2} - 1 5^{2}

Застосуємо формулу різниці квадратів, щоб легко порахувати без калькулятора:

(39 - 15) (39 + 15) = 24 \cdot 54 = 1296 = 36

см.

Крок 4. Висота циліндра. За умовою висота циліндра відноситься до висоти паралелепіпеда як

2 : 3

. Тоді:

H_{цил} = \frac{2}{3} H_{пар} = \frac{2}{3} \cdot 36 = 24 см

Крок 5. Об'єм циліндра. Формула об'єму циліндра

V = π R^{2} H

. Підставляємо значення:

V = π \cdot (7, 5)^{2} \cdot 24 = π \cdot 56, 25 \cdot 24 = 1350 π см^{3}

Крок 6. Відповідь. За умовою у відповідь треба записати значення

\frac{V}{π}

\frac{1350 π}{π} = 1350

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Визначте суму всіх значень $a$ , за кожного з яких рівняння $\frac{∣4 x + 5 a - 3∣ - 3}{( x + 2 ) ( x ^{2} + 9 )} = 0$ має єдиний корінь.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Знаходження ОДЗ. Дріб існує тоді, коли його знаменник не дорівнює нулю. Маємо два множники в знаменнику:
1)

x + 2 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 2

.
2)

x^{2} + 9 \neq = 0

. Оскільки будь-яке число в квадраті невід'ємне (

x^{2} ⩾ 0

), вираз

x^{2} + 9

завжди строго більший за нуль, він ніколи не буде нулем.
Отже, єдине обмеження ОДЗ:

x \neq = - 2

.

Крок 2. Прирівнюємо чисельник до нуля. Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю:

∣4 x + 5 a - 3∣ - 3 = 0

∣4 x + 5 a - 3∣ = 3

Крок 3. Розкриття модуля. Рівняння з модулем розпадається на дві можливі ситуації:
Ситуація А)

4 x + 5 a - 3 = 3 \Rightarrow 4 x = 6 - 5 a \Rightarrow x_{1} = \frac{6 - 5 a}{4}

Ситуація Б)

4 x + 5 a - 3 = - 3 \Rightarrow 4 x = - 5 a \Rightarrow x_{2} = \frac{- 5 a}{4}

Ці два корені завжди існують і ніколи не дорівнюють один одному. Нам потрібно, щоб рівняння мало єдиний корінь. Це станеться лише тоді, коли один із цих двох коренів порушує ОДЗ (тобто дорівнює

- 2

), а інший залишається валідним.

Крок 4. Розглядаємо перший випадок. Нехай стороннім виявився перший корінь:

x_{1} = - 2

\frac{6 - 5 a}{4} = - 2

6 - 5 a = - 8

- 5 a = - 14

a = 2, 8

Перевірка: Якщо

a = 2, 8

, то другий корінь

x_{2} = \frac{- 5 \cdot 2 , 8}{4} = - 3, 5

. Він не дорівнює

- 2

, отже, цей випадок підходить.

Крок 5. Розглядаємо другий випадок. Нехай стороннім виявився другий корінь:

x_{2} = - 2

\frac{- 5 a}{4} = - 2

- 5 a = - 8

a = 1, 6

Перевірка: Якщо

a = 1, 6

, то перший корінь

x_{1} = \frac{6 - 5 \cdot 1 , 6}{4} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5

. Не дорівнює

- 2

, випадок підходить.

Крок 6. Висновок. Ми знайшли два значення параметра

a

, за яких рівняння має єдиний розв'язок. Знайдемо їх суму:

2, 8 + 1, 6 = 4, 4