НМТ з предмета «Математика», 2 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність $- 8 ⩽ x - 3 ⩽ 5$ .

А
$[- 11; 2]$
Б
$[- 5; 8]$
(правильна відповідь)
В
$[- 5; 2]$
Г
$[- 8; 5]$
Д
$[- 11; 8]$

Правильна відповідь

Пояснення

Це подвійна нерівність. Наша мета — ізолювати змінну

x

посередині.

Крок 1. Запишемо початкову нерівність:

- 8 ⩽ x - 3 ⩽ 5

Крок 2. Щоб позбутися числа

- 3

у середній частині, додамо число

3

до всіх трьох частин нерівності:

- 8 + 3 ⩽ x - 3 + 3 ⩽ 5 + 3

Крок 3. Виконаємо арифметичні обчислення покроково:
Порахуємо ліву частину:

- 8 + 3 = - 5

.
Порахуємо праву частину:

5 + 3 = 8

.

Отже, отримуємо:

- 5 ⩽ x ⩽ 8

Крок 4. Запишемо отриманий результат у вигляді числового проміжку. Оскільки знаки нерівності є нестрогими (включають знак рівності), точки обов'язково включаються до інтервалу, тому дужки будуть квадратними:

x \in [- 5; 8]

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На діаграмі відображено розподіл кількості працівників фірми за віком. За даними діаграми визначте різницю між кількістю працівників віком від $20$ до $29$ років та кількістю працівників, яким від $40$ до $49$ років.

А
$6$
Б
$10$
В
$12$
(правильна відповідь)
Г
$16$
Д
$20$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Уважно розглянемо діаграму розподілу працівників фірми за віком.

Крок 2. Знайдемо на горизонтальній осі стовпчик, що відповідає віковій групі від

20

до

29

років, і визначимо його значення за допомогою вертикальної осі кількості людей.

Крок 3. Знайдемо стовпчик, що відповідає віковій групі від

40

до

49

років, і так само визначимо його значення за допомогою вертикальної осі.

Крок 4. Для обчислення різниці віднімемо від кількості працівників першої групи кількість працівників другої групи. Відповідно до умов задачі та даних діаграми, ця різниця становить

12

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено клумбу квітів у формі трикутника $A BC$ , у якого $A B = BC$ . Знайдіть градусну міру кута $B$ , якщо він удвічі більший за градусну міру кута $C$ .

А
$6 0^{\circ}$
Б
$3 0^{\circ}$
В
$4 5^{\circ}$
Г
$9 0^{\circ}$
(правильна відповідь)
Д
$12 0^{\circ}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови задачі.
Нам задано трикутник

A BC

, у якого дві сторони рівні:

A B = BC

. Це означає, що трикутник

A BC

є рівнобедреним з основою

A C

.

Крок 2. Властивість рівнобедреного трикутника.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі є рівними між собою. Отже, кут

A

дорівнює куту

C

∠ A = ∠ C

Крок 3. Введення змінної.
Нехай градусна міра кута

C

дорівнює

x

(тобто

∠ C = x

). Тоді кут

A

також дорівнює

x

(тобто

∠ A = x

).
За умовою задачі, кут

B

удвічі більший за кут

C

, тому його градусна міра становить

2 x

(тобто

∠ B = 2 x

).

Крок 4. Складання рівняння.
Відомо, що сума всіх внутрішніх кутів будь-якого трикутника завжди дорівнює

18 0^{\circ}

. Запишемо це у вигляді рівняння:

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

Підставимо наші вирази через

x

x + 2 x + x = 18 0^{\circ}

Крок 5. Розв'язання рівняння.
Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння:

4 x = 18 0^{\circ}

Звідси знайдемо

x

, поділивши

18 0^{\circ}

на

4

x = \frac{18 0 ^{\circ}}{4}

x = 4 5^{\circ}

Отже, кут

C

дорівнює

4 5^{\circ}

.

Крок 6. Знаходження шуканого кута.
Нам потрібно знайти градусну міру кута

B

. Оскільки

∠ B = 2 x

, підставимо знайдене значення

x

∠ B = 2 \cdot 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

$15 - 4 (2 x^{2} + 3) =$

А
$3 - 8 x^{2}$
(правильна відповідь)
Б
$18 - 8 x^{2}$
В
$27 - 8 x^{2}$
Г
$22 x^{2} + 33$
Д
$22 x^{2} + 3$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Для спрощення цього виразу спочатку потрібно розкрити дужки. Для цього помножимо число

- 4

, яке стоїть безпосередньо перед дужками, на кожен доданок усередині дужок.

Крок 2. Виконаємо множення покроково:
Помножимо

- 4

на

2 x^{2}

, отримаємо

- 8 x^{2}

.
Помножимо

- 4

на

+ 3

, отримаємо

- 12

.

Крок 3. Запишемо весь вираз з урахуванням розкритих дужок:

15 - 8 x^{2} - 12

Крок 4. Зведемо подібні доданки (звичайні числа

15

та

- 12

15 - 12 = 3

Крок 5. Запишемо фінальний результат виразу:

3 - 8 x^{2}

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено куб $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Скільки всього є прямих, що проходять через дві вершини куба та є паралельними прямій $A B_{1}$ ?

А
жодної
Б
лише одна
(правильна відповідь)
В
лише дві
Г
лише три
Д
більше як три

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз геометричної ситуації.
Нам задано куб

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

. Пряма

A B_{1}

проходить через вершину

A

нижньої основи та вершину

B_{1}

верхньої основи. Тобто вона є діагоналлю бічної грані

A A_{1} B_{1} B

.

Крок 2. Пошук паралельних прямих у гранях куба.
Куб складається з паралельних граней. Грань

A A_{1} B_{1} B

, яка містить нашу діагональ

A B_{1}

, є абсолютно паралельною до протилежної бічної грані

D D_{1} C_{1} C

.

Крок 3. Визначення паралельної прямої.
Якщо ми розглянемо протилежну грань

D D_{1} C_{1} C

, то діагональ

D C_{1}

цієї грані буде абсолютно паралельною до діагоналі

A B_{1}

. Це випливає з властивостей паралельних площин та рівності відрізків куба. Пряма

D C_{1}

проходить через дві вершини куба (

D

C_{1}

).

Крок 4. Перевірка інших варіантів.
Будь-які інші пари вершин куба утворюють прямі, які або перетинають пряму

A B_{1}

, або є мимобіжними з нею, або збігаються з нею. Жодна інша пряма не задовольняє умову паралельності.

Отже, існує лише одна така пряма — це пряма

D C_{1}

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Автомобіль, рухаючись містом, витрачає $6$ л пального на $100$ км пробігу, а за містом – $4$ л на $100$ км пробігу. За місяць водій проїхав $1000$ км, із яких $300$ км містом, решта – за містом. Скільки літрів пального витратив цей автомобіль за місяць?

А
$54$ л
Б
$50$ л
В
$46$ л
(правильна відповідь)
Г
$40$ л
Д
$60$ л

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Визначимо відстань, яку автомобіль проїхав за містом.
Загальний пробіг за місяць становить

1000

км. З них містом автомобіль проїхав

300

км. Знайдемо решту шляху, яку він подолав за містом:

1000 - 300 = 700 км

Крок 2. Обчислимо витрату пального під час руху містом.
Автомобіль витрачає

6

літрів на кожні

100

км шляху. Оскільки містом він проїхав

300

км (що в

3

рази більше за

100

км), витрата становитиме:

\frac{300}{100} \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18 літрів

Крок 3. Обчислимо витрату пального під час руху за містом.
За містом витрата становить

4

літри на

100

км пробігу. Автомобіль проїхав за містом

700

км (що в

7

разів більше за

100

км). Обчислимо витрату пального:

\frac{700}{100} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28 літрів

Крок 4. Знайдемо загальну кількість витраченого пального за місяць.
Додамо витрати пального в місті та за містом:

18 + 28 = 46 літрів

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Якому проміжку належить корінь рівняння $\frac{l o g _{7} ( 3 x - 4 ) - l o g _{7} ( x + 5 )}{2} = 0$ ?

А
$[- 1; 1)$
Б
$[1; 3)$
В
$[3; 5)$
(правильна відповідь)
Г
$[5; 7)$
Д
$[7; + \infty)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Логарифм визначений тільки для строго додатних виразів. Складемо систему нерівностей для визначення ОДЗ:

{3 x - 4 > 0 x + 5 > 0

З першої нерівності маємо:

3 x > 4

, звідси

x > \frac{4}{3}

(або

x > 1, 33

).
З другої нерівності маємо:

x > - 5

.
Перетином цих двох умов є загальний проміжок:

x \in (\frac{4}{3}; + \infty)

.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Знаменник нашого дробу дорівнює числу

2

, яке не є нулем. Тому ми просто прирівняємо чисельник до нуля.

Крок 3. Покрокові обчислення.
Запишемо рівняння для чисельника:

lo g_{7} (3 x - 4) - lo g_{7} (x + 5) = 0

Перенесемо другий логарифм у праву частину з протилежним знаком:

lo g_{7} (3 x - 4) = lo g_{7} (x + 5)

Оскільки основи логарифмів однакові (обидві дорівнюють

7

), ми можемо опустити знаки логарифмів і прирівняти їхні підлогарифмічні вирази:

3 x - 4 = x + 5

Перенесемо доданки зі змінною

x

вліво, а звичайні числа — вправо:

3 x - x = 5 + 4

2 x = 9

Поділимо обидві частини рівняння на

2

x = \frac{9}{2} = 4, 5

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Перевіримо, чи задовольняє знайдений корінь

x = 4, 5

нашу область допустимих значень (

x > 1, 33

). Оскільки

4, 5 > 1, 33

, цей корінь є правильним.
Тепер визначимо, якому із запропонованих проміжків належить число

4, 5

. Число

4, 5

лежить у межах від

3

(включно) до

5

(не включаючи), тобто належить проміжку

[3; 5)

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

Задано функцію $f (x) = x^{2}$ . Укажіть правильну нерівність.

А
$f (4) < 0$
Б
$f (- 4) < f (4)$
В
$f (- 1) > f (2)$
Г
$f (- 1) < 0$
Д
$f (3) < f (4)$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Нам задано квадратичну функцію

f (x) = x^{2}

. Щоб перевірити правильність запропонованих нерівностей, обчислимо значення функції для кожної точки, яка згадується у варіантах відповіді.

Крок 2. Обчислимо значення функції у відповідних точках:

f (3) = 3^{2} = 9

f (4) = 4^{2} = 16

f (- 1) = (- 1)^{2} = 1

f (2) = 2^{2} = 4

f (- 4) = (- 4)^{2} = 16

Крок 3. Перевіримо правильний варіант відповіді, яким є нерівність

f (3) < f (4)

.
Підставимо знайдені значення у цю нерівність:

9 < 16

. Ця числова нерівність є абсолютно правильною та математично істинною.

Для повної впевненості перевіримо інші варіанти:
Варіант

f (4) < 0

означає

16 < 0

(неправильно);
Варіант

f (- 4) < f (4)

означає

16 < 16

(неправильно, вони рівні);
Варіант

f (- 1) > f (2)

означає

1 > 4

(неправильно);
Варіант

f (- 1) < 0

означає

1 < 0

(неправильно).

Отже, єдиною правильною нерівністю є

f (3) < f (4)

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У правильному трикутнику довжини всіх медіан є рівними.
II. Медіана будь-якого трикутника ділить його на два трикутники з рівними периметрами.
III. Медіана будь-якого трикутника ділить його на два трикутники з рівними площами.

А
лише I
Б
лише I та II
В
лише I та IІI
(правильна відповідь)
Г
лише IІ та III
Д
І, ІІ та III

Правильна відповідь

Пояснення

Розберемо кожне твердження окремо, щоб детально перевірити його правильність:

Твердження I. «У правильному трикутнику довжини всіх медіан є рівними.»
Правильний трикутник — це рівносторонній трикутник, у якого всі три сторони і всі три кути рівні між собою. Через повну симетрію цієї фігури, всі три її медіани (які одночасно є висотами та бісектрисами) мають абсолютно однакову довжину. Це твердження є правильним.

Твердження II. «Медіана будь-якого трикутника ділить його на два трикутники з рівними периметрами.»
Медіана ділить протилежну сторону навпіл, тому два утворені трикутники мають по одній однаковій стороні. Також у них є спільна сторона — сама медіана. Проте дві інші сторони початкового трикутника можуть бути зовсім різними за довжиною. Через це периметри утворених трикутників у загальному випадку не будуть рівними. Це твердження є неправильним.

Твердження III. «Медіана будь-якого трикутника ділить його на два трикутники з рівними площами.»
Площа трикутника обчислюється як половина добутку його основи на висоту. Оскільки медіана ділить сторону навпіл, основи двох нових трикутників є рівними. Висота, опущена з протилежної вершини на цю сторону, у них спільна. Оскільки основи та висоти рівні, площі цих трикутників також будуть абсолютно рівними. Такі трикутники називають рівновеликими. Це твердження є правильним.

Таким чином, правильними є лише твердження I та III.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

Знайдіть суму 20 перших членів арифметичної прогресії $-2; -1, 6; -1, 2; \dots$

А
$76$
Б
$- 120$
В
$- 116$
Г
$36$
(правильна відповідь)
Д
$40$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умов арифметичної прогресії.
Нам задано перші члени арифметичної прогресії:

a_{1} = - 2

a_{2} = - 1, 6

a_{3} = - 1, 2

Крок 2. Знайдемо різницю арифметичної прогресії (

d

). Для цього віднімемо від другого члена перший член:

d = a_{2} - a_{1} = - 1, 6 - (- 2) = - 1, 6 + 2 = 0, 4

Крок 3. Вибір формули суми.
Формула для обчислення суми перших

n

членів арифметичної прогресії має такий вигляд:

S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

У нашій задачі потрібно знайти суму перших

20

членів, тому кількість членів

n = 20

.

Крок 4. Покрокові обчислення.
Підставимо відомі значення

a_{1} = - 2

d = 0, 4

та

n = 20

у формулу:

S_{20} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + ( 20 - 1 ) \cdot 0 , 4}{2} \cdot 20

Спростимо вираз. Скоротимо число

20

за дужками та число

2

у знаменнику, отримаємо множник

10

S_{20} = (- 4 + 19 \cdot 0, 4) \cdot 10

Обчислимо добуток всередині дужок:

19 \cdot 0, 4 = 7, 6

Тепер знайдемо суму чисел у дужках:

- 4 + 7, 6 = 3, 6

Помножимо отриманий результат на

10

S_{20} = 3, 6 \cdot 10 = 36

Отже, сума перших 20 членів прогресії дорівнює 36.

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

В магазині можна придбати полуницю $8$ різних сортів, зокрема сорт «Альба». Марина хоче купити $2$ сорти полуниці, один з яких обов’язково має бути «Альба». Скільки всього існує варіантів такого вибору?

А
$7$
(правильна відповідь)
Б
$28$
В
$8$
Г
$56$
Д
$15$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Проаналізуємо умову задачі. Марині потрібно обрати всього

2

різні сорти полуниці з

8

наявних у магазині.

Крок 2. Врахуємо обов'язкову умову завдання. Один із двох вибраних сортів обов'язково має бути сорт «Альба». Це означає, що цей вибір уже є зробленим, зафіксованим і незмінним. Сорт «Альба» вже гарантовано обрано.

Крок 3. Визначимо, скільки варіантів залишається для вибору другого сорту полуниці. Марині залишилося обрати ще лише

1

сорт. Оскільки сорт «Альба» вже зайняв своє місце, серед доступних для вибору залишається:

8 - 1 = 7 інших сортів

Крок 4. Обчислимо загальну кількість варіантів. Оскільки на одне вільне місце в покупці претендує будь-який із

7

сортів полуниці, що залишилися, загальна кількість можливих варіантів вибору дорівнює саме

7

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $a (5; -3; 8)$ та точки $K$ і $M (-7; 1; 4)$ . Знайдіть координати точки $K$ , якщо $a = K M$ .

А
$(-2; -2; 12)$
Б
$(-12; 4; -4)$
(правильна відповідь)
В
$(-2; 4; 4)$
Г
$(2; 2; -12)$
Д
$(12; -4; 4)$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Згадаємо правило знаходження координат вектора за двома точками. Щоб знайти координати вектора

K M

, необхідно від координат кінця вектора (точки

M

) відняти відповідні координати початку вектора (точки

K

).

Крок 2. Нехай невідома точка

K

має координати

(x_{K}; y_{K}; z_{K})

. Нам відомі координати точки

M (- 7; 1; 4)

та координати вектора

a (5; - 3; 8)

, причому за умовою

K M = a

.

Крок 3. Складем рівняння для кожної координати окремо:
1) Для першої координати

x

x_{M} - x_{K} = a_{x} \Rightarrow - 7 - x_{K} = 5

- x_{K} = 5 + 7 \Rightarrow - x_{K} = 12 \Rightarrow x_{K} = - 12

2) Для другої координати

y

y_{M} - y_{K} = a_{y} \Rightarrow 1 - y_{K} = - 3

- y_{K} = - 3 - 1 \Rightarrow - y_{K} = - 4 \Rightarrow y_{K} = 4

3) Для третьої координати

z

z_{M} - z_{K} = a_{z} \Rightarrow 4 - z_{K} = 8

- z_{K} = 8 - 4 \Rightarrow - z_{K} = 4 \Rightarrow z_{K} = - 4

Крок 4. Запишемо всі знайдені координати точки

K

разом:

K (- 12; 4; - 4)

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

$\frac{x ^{2} - 4 x y + 4 y ^{2}}{x - 2 y} : (2 y - x) =$

А
$(x - 2 y)^{2}$
Б
$1$
В
$\frac{x + 2 y}{2 y - x}$
Г
$- (x - 2 y)^{2}$
Д
$- 1$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Розглянемо чисельник першого дробу:

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}

. Зауважимо, що цей вираз є розгорнутою формулою квадрата різниці:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

. У нашому випадку першим числом є

a = x

, а другим —

b = 2 y

. Згорнемо цей вираз за формулою:

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = (x - 2 y)^{2}

Крок 2. Підставимо згорнутий вираз у чисельник початкового дробу:

\frac{( x - 2 y ) ^{2}}{x - 2 y}

Скоротимо цей дріб на вираз

(x - 2 y)

. У чисельнику залишиться перша степінь цього виразу:

x - 2 y

Крок 3. Тепер виконаємо дію ділення, яка задана в умові задачі. Отриманий результат

x - 2 y

потрібно поділити на вираз

(2 y - x)

\frac{x - 2 y}{2 y - x}

Крок 4. Помітимо, що вирази в чисельнику та знаменнику є дуже схожими, але протилежними за знаками доданків. Винесемо мінус за дужки в чисельнику, щоб змінити знаки на протилежні й зробити вирази однаковими:

x - 2 y = - (2 y - x)

Підставимо цей вираз назад у дріб:

\frac{- ( 2 y - x )}{2 y - x}

Крок 5. Скоротимо однакові дужки

(2 y - x)

у чисельнику та знаменнику. Після скорочення залишається тільки знак мінус та одиниця, тобто фінальний результат дорівнює:

- 1

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

Рівнобічна трапеція $A BC D$ складається з двох прямокутних трикутників $A B K$ і $D C K$ й рівнобедреного трикутника $B K C$ (див. рисунок). $A B = 6$ см. $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ . Визначте площу цієї трапеції.

А
$1263$ см $^{2}$
Б
$633$ см $^{2}$
(правильна відповідь)
В
$63$ см $^{2}$
Г
$126$ см $^{2}$
Д
$153$ см $^{2}$

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умов та геометричної структури.
За умовою, рівнобічна трапеція

A BC D

(

A B = C D = 6

см,

∠ A = ∠ D = 6 0^{\circ}

) поділена на три трикутники точкою

K

, яка лежить на основі

A D

. Трикутники

A B K

та

D C K

є прямокутними з прямими кутами при вершинах

B

та

C

(тобто

∠ A B K = 9 0^{\circ}

та

∠ D C K = 9 0^{\circ}

), а трикутник

B K C

— рівнобедрений (

B K = C K

).

Крок 2. Розв'язання прямокутного трикутника $A B K$ .
У прямокутному трикутнику

A B K

(де

∠ A B K = 9 0^{\circ}

) відомий гострий кут

∠ B A K = 6 0^{\circ}

і катет

A B = 6

см, який є прилеглим до цього кута. Знайдемо гіпотенузу

A K

за допомогою косинуса кута:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{A B}{A K} \Rightarrow A K = \frac{A B}{cos ( 6 0 ^{\circ} )} = \frac{6}{0 , 5} = 12 см

Тепер знайдемо катет

B K

(який є бічною стороною внутрішнього трикутника) через тангенс кута

6 0^{\circ}

B K = A B \cdot tan (6 0^{\circ}) = 6 \cdot 3 = 63 см

Оскільки трапеція рівнобічна, прямокутний трикутник

D C K

повністю дорівнює трикутнику

A B K

. Отже,

KD = 12

см, а

C K = 63

см.

Крок 3. Обчислення площ прямокутних трикутників.
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

S_{A B K} = \frac{1}{2} \cdot A B * B K = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 63 = 183 см^{2}

Площа другого трикутника

D C K

є абсолютно такою ж самою:

S_{D C K} = 183 см^{2}

Крок 4. Розгляд рівнобедреного трикутника $B K C$ та його площі.
Сума кутів при бічній стороні трапеції дорівнює

18 0^{\circ}

, тому кут

∠ A BC = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

. Оскільки кут

∠ A B K = 9 0^{\circ}

, знайдемо кут

∠ K BC

усередині центрального трикутника:

∠ K BC = ∠ A BC - ∠ A B K = 12 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

Оскільки трикутник

B K C

є рівнобедреним з бічними сторонами

B K = C K = 63

см, кути при його основі

BC

є рівними:

∠ K CB = ∠ K BC = 3 0^{\circ}

.
Тоді кут між бічними сторонами при вершині

K

дорівнює:

∠ B K C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Обчислимо площу трикутника

B K C

за формулою через дві сторони і синус кута між ними:

S_{B K C} = \frac{1}{2} \cdot B K \cdot C K \cdot sin (∠ B K C)

S_{B K C} = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 63 \cdot sin (12 0^{\circ})

Знаючи, що

sin (12 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

, а добуток

63 \cdot 63 = 36 \cdot 3 = 108

, отримуємо:

S_{B K C} = \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot \frac{3}{2} = 273 см^{2}

Крок 5. Знаходження загальної площі трапеції.
Площа всієї трапеції складається із суми площ трьох трикутників:

S = S_{A B K} + S_{D C K} + S_{B K C} = 183 + 183 + 273 = 633 см^{2}

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь ${x y - 2 x = 3, x y = 2 x - y + 11.$

Якщо $(x_{0}; y_{0})$ – розв’язок системи, то $x_{0} + y_{0} =$

А
$2$
Б
$14, 25$
В
$18$
Г
$- 8, 3$
Д
$8, 5$
(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови.
Задано систему двох рівнянь з двома змінними

x

та

y

. Обмежень на ОДЗ (Область допустимих значень) немає, оскільки у виразах відсутні ділення на змінну, квадратні корені чи логарифми. Змінні можуть бути будь-якими дійсними числами.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Найбільш зручним методом розв'язання цієї системи є метод підстановки. З першого рівняння ми можемо легко виразити комбінацію доданків

x y

, додавши

2 x

до обох частин. Після цього отриманий вираз підставимо в друге рівняння замість

x y

.

Крок 3. Покрокові обчислення.
Виразимо добуток

x y

з першого рівняння системи:

x y = 2 x + 3

Тепер підставимо цей вираз у друге рівняння системи замість

x y

2 x + 3 = 2 x - y + 11

Спростимо отримане рівняння. Перенесемо всі доданки зі змінними в ліву частину, а звичайні числа — в праву частину рівняння:

2 x - 2 x + y = 11 - 3

Доданки

2 x

та

- 2 x

взаємно знищуються, завдяки чому мы одразу знаходимо значення для змінної

y

y = 8

Тепер знайдемо відповідне значення для змінної

x

. Підставимо знайдене значення

y = 8

у наш раніше виражений добуток

x y = 2 x + 3

x \cdot 8 = 2 x + 3

8 x = 2 x + 3

Перенесемо доданок

2 x

в ліву частину з протилежним знаком:

8 x - 2 x = 3

6 x = 3

Знайдемо

x

, поділивши

3

на

6

x = \frac{3}{6} = 0, 5

Таким чином, розв'язком системи є пара чисел

(x_{0}; y_{0}) = (0, 5; 8)

.

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
В умові задачі нас просять знайти суму координат розв'язку, тобто

x_{0} + y_{0}

. Обчислимо її значення:

x_{0} + y_{0} = 0, 5 + 8 = 8, 5

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу.

1
$\frac{7}{5} - \frac{5}{3}$
2
$3 \cdot 5$
3
$lo g_{4} 8$

А
$[-1; 0)$
Б
$[0; 1)$
В
$[1; 2)$
Г
$[2; 4)$
Д
$[4; + \infty)$

Правильна відповідь

1 — А; 2 — Г; 3 — В

Пояснення

Обчислимо значення кожного виразу покроково та визначимо, до якого числового проміжку воно належить:

1. Обчислення першого виразу: $\frac{7}{5} - \frac{5}{3}$
Знайдемо спільний знаменник для цих дробів, яким є число

15

. Додатковий множник для першого дробу дорівнює

3

, а для другого —

5

\frac{7 \cdot 3}{15} - \frac{5 \cdot 5}{15} = \frac{21}{15} - \frac{25}{15} = \frac{21 - 25}{15} = - \frac{4}{15}

Отримане число

- \frac{4}{15}

є від'ємним і лежить у межах від

- 1

до

0

. Отже, воно належить проміжку

[- 1; 0)

(варіант А). Відповідність: 1 — А.

2. Обчислення другого виразу: $3 \cdot 5$
За властивостями квадратних коренів об'єднаємо множники під один корінь:

3 \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15

Оцінимо значення числа

15

. Ми знаємо, що

9 = 3

, а

16 = 4

. Оскільки число

15

знаходиться між

9

та

16

, то його квадратний корінь

15

знаходиться між числами

3

та

4

. Тобто значення належить проміжку

[2; 4)

(варіант Г). Відповідність: 2 — Г.

3. Обчислення третього виразу: $lo g_{4} 8$
Перейдемо до grandma-основи

2

, оскільки

4 = 2^{2}

, а

8 = 2^{3}

. Використаємо властивості логарифма:

lo g_{2^{2}} 2^{3} = \frac{3}{2} \cdot lo g_{2} 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = 1, 5

Число

1, 5

лежить у межах від

1

до

2

. Отже, воно належить проміжку

[1; 2)

(варіант В). Відповідність: 3 — В.

Завдання 17

на встановлення відповідності

Доберіть до функції (1–3) координатні чверті (А – Д), у яких лежить графік цієї функції (координатні чверті показано на рисунку).

1
$y = - x - 1$
2
$y = \frac{1}{x + 2}$
3
$y = lo g_{3} x$

А
лише I, ІІ та IIІ
Б
лише I, ІІІ та IV
В
лише I та IІ
Г
лише IІ, ІІІ та IV
Д
лише I та IV

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — А; 3 — Д

Пояснення

Проаналізуємо розташування графіка кожної функції в координатних чвертях:

1. Функція $y = - x - 1$
Це лінійна функція, її графіком є пряма лінія. Знайдемо дві точки для побудови:
Якщо

x = 0

, то

y = - 0 - 1 = - 1

(точка

(0; - 1)

);
Якщо

y = 0

, то

0 = - x - 1

, звідси

x = - 1

(точка

(- 1; 0)

).
Проведемо пряму через ці дві точки. Вона проходить через II чверть (де

x

від'ємне,

y

додатне), III чверть (обидві координати від'ємні) та IV чверть (

x

додатне,

y

від'ємне). Через I чверть графік не проходить. Отже, графік лежить лише в II, III та IV чвертях. Це відповідає варіанту Г.

2. Функція $y = \frac{1}{x + 2}$
Графіком цієї функції є гіпербола, яка отримана з графіка

y = \frac{1}{x}

шляхом зсуву вліво на

2

одиниці вздовж осі

x

. Вертикальна асимптота тепер проходить через

x = - 2

. Права вітка гіперболи розташована над віссю

x

при

x > - 2

(проходить через I і II чверті). Наприклад, при

x = 0

y = 0, 5

(I чверть), при

x = - 1

y = 1

(II чверть). Ліва вітка гіперболи розташована під віссю

x

при

x < - 2

і повністю лежить у III чверті. У IV чверть графік ніколи не заходить. Отже, графік розташований лише в I, II та III чвертях. Це відповідає варіанту А.

3. Функція $y = lo g_{3} x$
Це логарифмічна функція. Її область визначення містить тільки додатні значення

x

(

x > 0

). Це означає, що графік розташований виключно праворуч від осі

y

, тобто в I та IV координатних чвертях. При

x > 1

значення логарифма є додатними (I чверть), а при

0 < x < 1

— від'ємними (IV чверть). Отже, графік розташований лише в I та IV чвертях. Це відповідає варіанту Д.

Завдання 18

на встановлення відповідності

На рисунку зображено прямокутник $A BC D$ й коло з центром у точці $O$ , яке дотикається до середин сторін $A B$ й $C D$ та перетинає сторону $BC$ в точках $K$ і $M$ . $B K = 3$ см. $K C = 27$ см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

1
$K M$
2
$O K$
3
$A B$

А
$12$ см
Б
$15$ см
В
$16$ см
Г
$18$ см
Д
$24$ см

Правильна відповідь

1 — Д; 2 — Б; 3 — Г

Пояснення

Крок 1. Визначимо радіус кола та відрізок $O K$ .
За умовою, коло дотикається до середин сторін

A B

та

C D

. Це означає, що відстань між цими точками дотику дорівнює повній довжині сторони

BC

. Обчислимо довжину сторони

BC

BC = B K + K C = 3 + 27 = 30 см

Оскільки коло затиснуте між серединами протилежних сторін, його діаметр дорівнює стороні

BC

, тобто

D = 30

см. Радіус кола (

R

) дорівнює половині діаметра:

R = \frac{30}{2} = 15 см

Точка

K

лежить на колі, а

O

— центр кола, тому відрізок

O K

є радіусом цього кола. Отже,

O K = 15

см. Це відповідає варіанту Б.

Крок 2. Знайдемо довжину відрізка $K M$ .
Через центр кола

O

проведемо перпендикуляр

O H

до сторони

BC

(де

H

— точка на

BC

). Оскільки прямокутник та коло є симетричними фігурами, точка

H

є серединою всієї сторони

BC

, а також серединою хорди

K M

. Знайдемо відстань

B H

від вершини

B

до середини

H

B H = \frac{30}{2} = 15 см

Знаючи з умови, що

B K = 3

см, знайдемо довжину відрізка

KH

KH = B H - B K = 15 - 3 = 12 см

Оскільки точка

H

є серединою хорди

K M

, то вся довжина відрізка

K M

удвічі більша за відрізок

KH

K M = 2 \cdot KH = 2 \cdot 12 = 24 см

Це відповідає варіанту Д.

Крок 3. Знайдемо довжину сторони $A B$ .
Розглянемо прямокутний трикутник

O HK

(де кут

∠ O HK = 9 0^{\circ}

). У ньому відомі гіпотенуза

O K = 15

см та катет

KH = 12

см. За теоремою Піфагора знайдемо катет

O H

, який показує відстань від центру кола до сторони

BC

O H = O K^{2} - K H^{2} = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 225 - 144 = 81 = 9 см

Оскільки центр кола

O

знаходиться точно посередині між сторонами

BC

та

A D

прямокутника, то вся сторона

A B

(висота прямокутника) складається з двох таких відстаней

O H

A B = 2 \cdot O H = 2 \cdot 9 = 18 см

Це відповідає варіанту Г.

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Обчисліть інтеграл $1 \int 2 (\frac{2}{x ^{3}} + 4 x) d x$

Правильна відповідь

6,75

Пояснення

Крок 1. Перепишемо підінтегральну функцію у більш зручному вигляді для знаходження первісної, замінивши дріб на степінь з від'ємним показником:

\frac{2}{x ^{3}} = 2 x^{- 3}

Тоді наш інтеграл набуває такого вигляду:

1 \int 2 (2 x^{- 3} + 4 x) d x

Крок 2. Знайдемо первісну для кожного доданка покроково за стандартною формулою степеневої функції:
1) Для першого доданка

2 x^{- 3}

отримуємо:

\int 2 x^{- 3} d x = 2 \cdot \frac{x ^{- 3 + 1}}{- 3 + 1} = 2 \cdot \frac{x ^{- 2}}{- 2} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}

2) Для другого доданка

4 x

отримуємо:

\int 4 x d x = 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = 2 x^{2}

Отже, загальний вигляд нашої первісної функції

F (x)

дорівнює:

F (x) = - \frac{1}{x ^{2}} + 2 x^{2}

Крок 3. Застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла на проміжку від

1

до

2

1 \int 2 (\frac{2}{x ^{3}} + 4 x) d x = F (2) - F (1)

Крок 4. Обчислимо значення первісної у верхній межі інтегрування (

x = 2

F (2) = - \frac{1}{2 ^{2}} + 2 \cdot 2^{2} = - \frac{1}{4} + 2 \cdot 4 = - 0, 25 + 8 = 7, 75

Крок 5. Обчислимо значення первісної у нижній межі інтегрування (

x = 1

F (1) = - \frac{1}{1 ^{2}} + 2 \cdot 1^{2} = - 1 + 2 = 1

Крок 6. Знайдемо остаточну різницю між отриманими значеннями:

F (2) - F (1) = 7, 75 - 1 = 6, 75

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Перед подорожжю турист проаналізував інфографіку й дізнався вартість (у грн) поїздки від аеропорту до центру міста (або у зворотному напрямку) у деяких світових столицях. На час туристичного сезону вартість проїзду в таксі в Осло збільшується на $20%$ , а в Рейк’явіку – на $30%$ від фіксованої вартості проїзду. Визначте сумарну кількість коштів (у грн), яку витратить турист на таксі від аеропорту до центру міста й назад у цих містах, якщо відвідає Осло та Рейк’явік у туристичний сезон.

Правильна відповідь

13900

Пояснення

Крок 1. Аналіз умов та інфографіки.
За даними інфографіки, базові фіксовані вартості поїздки в один бік (від аеропорту до центру міста) становлять:
в Осло: $2780$ грн;
в Рейк'явіку: $2780$ грн.
Турист здійснює поїздку в кожному місті в обох напрямках («туди й назад»), тобто купує по $2$ поїздки в кожному з цих міст.

Крок 2. Розрахунок витрат в Осло.
У туристичний сезон вартість однієї поїздки збільшується на $20%$ . Знайдемо нову вартість поїздки в один бік:

2780 + 2780 \cdot 0, 20 = 2780 + 556 = 3336 грн

Оскільки турист їде від аеропорту до центру міста і назад, він купує дві такі поїздки:

3336 \cdot 2 = 6672 грн

Крок 3. Розрахунок витрат у Рейк'явіку.
У туристичний сезон вартість поїздки збільшується на $30%$ . Обчислимо нову вартість поїздки в один бік:

2780 + 2780 \cdot 0, 30 = 2780 + 834 = 3614 грн

Оскільки поїздка здійснюється в обидва боки («туди й назад»), помножимо вартість на $2$ :

3614 \cdot 2 = 7228 грн

Крок 4. Обчислення загальної суми.
Додамо витрати туриста на таксі в обох містах разом:

6672 + 7228 = 13900 грн

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено півкулю та конус. Радіус основи конуса відноситься до його твірної як $3 : 5$ . Площа повної поверхні півкулі дорівнює $243 π$ см $^{2}$ , а площа бічної поверхні конуса – $135 π$ см $^{2}$ . Визначте, у скільки разів об’єм півкулі більший за об’єм конуса.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та визначення геометричних величин.
Нам задано два тіла обертання: півкулю радіуса

R

та конус із радіусом основи

r

, твірною

L

та висотою

H

.
Площа повної поверхні півкулі складається з площі сферичного купола (

2 π R^{2}

) та площі кругової основи (

π R^{2}

), разом це становить:

S_{повн . півкулі} = 3 π R^{2} = 243 π см^{2}

Для конуса відоме відношення

r : L = 3 : 5

. Введемо коефіцієнт пропорційності

x

, тоді:

r = 3 x

L = 5 x

. Також відома площа бічної поверхні:

S_{біч . конуса} = π r L = 135 π см^{2}

Крок 2. Стратегія розв'язання.
1) Знайдемо радіус півкулі

R

, після чого обчислимо її об'єм за формулою

V_{півкулі} = \frac{2}{3} π R^{3}

.
2) Знайдемо невідомий коефіцієнт

x

з формули бічної поверхні конуса, обчислимо

r

та

L

, за теоремою Піфагора знайдемо висоту конуса

H = L^{2} - r^{2}

, і порахуємо об'єм конуса за формулою

V_{конуса} = \frac{1}{3} π r^{2} H

.
3) Знайдемо відношення об'ємів півкулі та конуса.

Крок 3. Покрокові обчислення.
1) Обчислення для півкулі:

3 π R^{2} = 243 π \Rightarrow 3 R^{2} = 243 \Rightarrow R^{2} = 81 \Rightarrow R = 9 см

Знайдемо об'єм цієї півкулі:

V_{півкулі} = \frac{2}{3} π R^{3} = \frac{2}{3} π \cdot 9^{3} = \frac{2}{3} π \cdot 729 = 2 \cdot 243 π = 486 π см^{3}

2) Обчислення для конуса:
Підставимо вирази

r = 3 x

та

L = 5 x

у формулу площі бічної поверхні:

π \cdot (3 x) \cdot (5 x) = 135 π \Rightarrow 15 x^{2} π = 135 π \Rightarrow 15 x^{2} = 135

x^{2} = \frac{135}{15} = 9 \Rightarrow x = 3 см

Тоді радіус основи конуса дорівнює:

r = 3 \cdot 3 = 9

см, а твірна:

L = 5 \cdot 3 = 15

см.
За теоремою Піфагора знайдемо висоту конуса

H

H = L^{2} - r^{2} = 1 5^{2} - 9^{2} = 225 - 81 = 144 = 12 см

Обчислимо об'єм цього конуса:

V_{конуса} = \frac{1}{3} π r^{2} H = \frac{1}{3} π \cdot 9^{2} \cdot 12 = \frac{1}{3} π \cdot 81 \cdot 12 = 81 \cdot 4 π = 324 π см^{3}

Крок 4. Аналіз результату та фінальний висновок.
Визначимо, у скільки разів об’єм півкулі більший за об’єм конуса, поділивши

V_{півкулі}

на

V_{конуса}

\frac{V _{півкулі}}{V _{конуса}} = \frac{486 π}{324 π} = \frac{486}{324}

Скоротимо цей дріб на

162

\frac{486}{324} = \frac{3}{2} = 1, 5

Отже, об'єм півкулі більший за об'єм конуса в 1,5 раза.

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Визначте найменше значення $a$ , за якого рівняння $\frac{7 ^{3 x - 2 x^{2}} - \frac{1}{49}}{2 x + 5 a - 4} = 0$ має два різні корені.

Правильна відповідь

Пояснення

Крок 1. Аналіз умови та ОДЗ (Область допустимих значень).
Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому існує і не дорівнює нулю. Сформулюємо умови обмежень для знаменника:
1) Вираз під квадратним коренем має бути невід'ємним:

2 x + 5 a ⩾ 0

.\n2) Знаменник не може перетворюватися на нуль:

2 x + 5 a - 4 \neq = 0 \Rightarrow 2 x + 5 a \neq = 4 \Rightarrow 2 x + 5 a \neq = 16

.
Об'єднавши ці умови, отримуємо обмеження для коренів: вираз

2 x + 5 a

має набувати значень із проміжку

[0; 16) \cup (16; + \infty)

.

Крок 2. Стратегія розв'язання.
Спочатку знайдемо потенційні корені рівняння, прирівнявши чисельник до нуля. Після цього проаналізуємо, за яких значень параметра

a

обидва знайдені корені будуть одночасно існувати, будуть різними та задовольнятимуть умови знаменника.

Крок 3. Покрокові обчислення коренів чисельника.
Прирівняємо чисельник дробу до нуля:

7^{3 x - 2 x^{2}} - \frac{1}{49} = 0 \Rightarrow 7^{3 x - 2 x^{2}} = 7^{- 2}

Оскільки основи степенів однакові (дорівнюють

7

), мы можемо прирівняти їхні показники:

3 x - 2 x^{2} = - 2

Перенесемо всі доданки в один бік, щоб отримати стандартне квадратне рівняння:

2 x^{2} - 3 x - 2 = 0

Розв'яжемо отримане квадратне рівняння через дискримінант (

D = b^{2} - 4 a c

D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25

Знайдемо корені рівняння:

x_{1} = \frac{3 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5

x_{2} = \frac{3 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2

Ми отримали два конкретні фіксовані корені:

x_{1} = - 0, 5

та

x_{2} = 2

. Вони вже є різними числами.

Крок 4. Аналіз умов існування коренів залежно від параметра $a$ .
Щоб початкове рівняння мало саме два різні корені, обидва числа (

x_{1} = - 0, 5

та

x_{2} = 2

) повинні одночасно задовольняти обмеження знаменника.

1) Перевіримо умову невід'ємності підкореневого виразу (

2 x + 5 a ⩾ 0

):
Для першого кореня

x_{1} = - 0, 5

отримуємо:

2 \cdot (- 0, 5) + 5 a ⩾ 0 \Rightarrow - 1 + 5 a ⩾ 0 \Rightarrow 5 a ⩾ 1 \Rightarrow a ⩾ 0, 2

Для другого кореня

x_{2} = 2

отримуємо:

2 \cdot 2 + 5 a ⩾ 0 \Rightarrow 4 + 5 a ⩾ 0 \Rightarrow 5 a ⩾ - 4 \Rightarrow a ⩾ - 0, 8

Щоб обидва корені існували одночасно, обидві нерівності мають виконуватися разом. Перетином умов

a ⩾ 0, 2

та

a ⩾ - 0, 8

є проміжок:

a ⩾ 0, 2

.

2) Перевіримо умову, за якої знаменник перетворюється на нуль (

2 x + 5 a = 16

), оскільки такі значення параметра

a

зроблять корінь стороннім:
Для кореня

x_{1} = - 0, 5

2 \cdot (- 0, 5) + 5 a = 16 \Rightarrow - 1 + 5 a = 16 \Rightarrow 5 a = 17 \Rightarrow a = 3, 4

Для кореня

x_{2} = 2

2 \cdot 2 + 5 a = 16 \Rightarrow 4 + 5 a = 16 \Rightarrow 5 a = 12 \Rightarrow a = 2, 4

Отже, при

a = 3, 4

корінь

x_{1}

стає стороннім, а при

a = 2, 4

корінь

x_{2}

стає стороннім.

Крок 5. Фінальний висновок.
Початкове рівняння має два різні корені, коли виконується умова

a ⩾ 0, 2

, за винятком точок

a = 2, 4

та

a = 3, 4

.
Нам потрібно визначити найменше значення параметра

a

. З урахуванням усіх обмежень, найменшим можливим значенням є саме число

0, 2