НМТ з предмета «Математика», 1 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Позначте число, що є коренем рівняння

3 \cdot 3^{x} = 27

А $2$ (правильна відповідь)
Б $3$
В $4$
Г $9$
Д $27$

Правильна відповідь

Пояснення

Це показникове рівняння. Крок 1. Згадаємо, що будь-яке число без показника степеня — це це саме число в першому степені, тобто

3 = 3^{1}

. Перепишемо ліву частину рівняння:

3^{1} \cdot 3^{x} = 27

. Крок 2. При множенні степенів з однаковими основами їхні показники додаються:

3^{1 + x} = 27

. Крок 3. Представимо число

27

як степінь числа

3

27 = 3^{3}

. Тепер рівняння має вигляд:

3^{1 + x} = 3^{3}

. Крок 4. Оскільки основи рівні, ми можемо прирівняти показники степенів:

1 + x = 3

. Крок 5. Розв'язуємо просте лінійне рівняння:

x = 3 - 1

, звідси випливає, що

x = 2

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На діаграмі відображено результати анкетування

100

осіб, які навчаються в університеті, щодо відкриття неподалік нього піцерії. Анкетована особа мала вибрати лише одну з трьох відповідей: так, ні, байдуже. Яка ймовірність того, що навмання обрана особа, яку анкетували, підтримала відкриття піцерії?

А $\frac{8}{9}$
Б $\frac{1}{5}$
В $\frac{3}{20}$
Г $\frac{17}{5}$
Д $\frac{4}{5}$ (правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на знаходження ймовірності випадкової події. Крок 1. Загальна кількість опитаних осіб (усі можливі випадки) дорівнює

100

. Крок 2. Згідно з умовами та діаграмою, частка людей, які відповіли 'так' (підтримали відкриття піцерії), становить

80%

від загальної кількості, тобто

80

осіб (кількість сприятливих випадків). Крок 3. Класична формула ймовірності має вигляд:

P = \frac{m}{n}

, де

m

— кількість сприятливих подій, а

n

— загальна кількість подій. Крок 4. Підставимо наші значення у формулу:

P = \frac{80}{100}

. Крок 5. Скоротимо отриманий звичайний дріб на число

20

: чисельник

80/20 = 4

, а знаменник

100/20 = 5

. Отримуємо кінцеву відповідь:

\frac{4}{5}

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Півколо розділене на 5 рівних частин (див. рисунок). Визначте градусну міру кута

α

А $2 4^{\circ}$
Б $3 2^{\circ}$
В $3 6^{\circ}$ (правильна відповідь)
Г $4 2^{\circ}$
Д $4 8^{\circ}$

Правильна відповідь

Пояснення

Повна градусна міра півкола дорівнює

18 0^{\circ}

. Оскільки воно розділене на 5 рівних частин, градусна міра кожної з частин дорівнює:

18 0^{\circ} /5 = 3 6^{\circ}

. Кут

α

є центральним кутом, що спирається на одну з таких частин, тому його градусна міра дорівнює градусній мірі відповідної дуги, тобто

3 6^{\circ}

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

\frac{6 x ^{3} + 3 x ^{3}}{3} =

А $3 x^{6}$
Б $6 x^{6}$
В $5 x^{3}$
Г $3 x^{3}$ (правильна відповідь)
Д $7 x^{3}$

Правильна відповідь

Пояснення

Це завдання на спрощення алгебраїчного виразу. Крок 1. Спочатку виконаємо додавання подібних доданків у чисельнику дробу. Оскільки доданки

6 x^{3}

та

3 x^{3}

мають однакову буквену частину (

x^{3}

), ми просто додаємо їхні числові коефіцієнти:

6 + 3 = 9

. Отже, отримуємо:

6 x^{3} + 3 x^{3} = 9 x^{3}

. Крок 2. Тепер запишемо весь вираз із новим спрощеним чисельником:

\frac{9 x ^{3}}{3}

. Крок 3. Виконаємо ділення числа у чисельнику на число у знаменнику:

9/3 = 3

. Буквена частина

x^{3}

залишається без змін. Отримуємо кінцевий результат:

3 x^{3}

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено правильну чотирикутну призму

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

. Скільки всього є прямих, кожна з яких містить ребро призми й утворює з прямою, що містить діагональ

B_{1} D

, пару мимобіжних прямих?

Адві
Бчотири
Вшість(правильна відповідь)
Гвісім
Ддванадцять

Правильна відповідь

Пояснення

Це стереометрична задача на визначення кількості мимобіжних прямих у призмі.Крок 1. Згадаємо означення: дві прямі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині та не перетинаються. Правильна чотирикутна призма має всього 12 ребер.Крок 2. Нам задано просторову діагональ, яка проходить через внутрішній простір призми від верхньої вершини до протилежної нижньої вершини.Крок 3. Перевіримо кожне з ребер призми на мимобіжність із цією діагоналлю. Діагональ не є мимобіжною з тими ребрами, з якими вона має спільну вершину (тобто перетинає їх), а також з тими, яким вона паралельна. Всього діагональ перетинає 6 ребер призми (по 3 у кожній із двох вершин, які вона сполучає).Крок 4. Оскільки всього в призмі 12 ребер, а 6 з них мають спільні точки з діагоналлю, то решта ребер не лежать з діагоналлю в одній площині та не мають спільних точок. Отже, загальна кількість мимобіжних прямих — шість.

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Число

27

є членом арифметичної прогресії з різницею

d = 5

. З-поміж наведених чисел позначте число, яке може бути членом цієї прогресії.

А $49$
Б $50$
В $51$
Г $52$ (правильна відповідь)
Д $53$

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на арифметичну прогресію. Крок 1. Відомо, що один із членів прогресії дорівнює

27

, а різниця прогресії

d = 5

. Це означає, що кожен наступний або попередній член прогресії відрізняється від

27

на число, яке обов'язково ділиться на

5

без остачі (наприклад, на

5, 10, 15, 20, 25

тощо). Крок 2. Будь-який інший член прогресії можна записати за формулою:

a_{n} = 27 + 5 k

, де

k

— ціле число. Звідси випливає, що різниця між шуканим числом і

27

має ділитися на

5

. Крок 3. Перевіримо запропоновані варіанти відповідей, віднімаючи від кожного числа

27

: 1)

49 - 27 = 22

(не ділиться на 5) 2)

50 - 27 = 23

(не ділиться на 5) 3)

51 - 27 = 24

(не ділиться на 5) 4)

52 - 27 = 25

(ділиться на 5, оскільки

25/5 = 5

) 5)

53 - 27 = 26

(не ділиться на 5) Крок 4. Число

52

задовольняє цю умову, тому воно може быть членом цієї прогресії.

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Якому проміжку належить корінь рівняння

\frac{25 + 2 x}{9} = \frac{1}{3}

А $(- \infty; - 13]$
Б $(- 13; - 3]$ (правильна відповідь)
В $(- 3; 0]$
Г $(0; 13]$
Д $(13; + \infty)$

Правильна відповідь

Пояснення

Це ірраціональне рівняння. Крок 1. Визначимо область допустимих значень (ОДЗ). Підкореневий вираз має бути невід'ємним:

\frac{25 + 2 x}{9} \geq 0

. Оскільки знаменник додатний, то чисельник

25 + 2 x \geq 0

, звідси

2 x \geq - 25

, тобто

x \geq - 12, 5

. Крок 2. Щоб позбутися знака квадратного кореня, піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

(\frac{25 + 2 x}{9})^{2} = (\frac{1}{3})^{2}

, що дає нам:

\frac{25 + 2 x}{9} = \frac{1}{9}

. Крок 3. Помножимо обидві частини рівняння на

9

, щоб позбутися знаменників:

25 + 2 x = 1

. Крок 4. Перенесемо число

25

у праву частину з протилежним знаком:

2 x = 1 - 25

, отже

2 x = - 24

. Поділимо на

2

і отримаємо корінь:

x = - 12

. Цей корінь повністю задовольняє ОДЗ (оскільки

- 12 \geq - 12, 5

). Крок 5. Визначимо, якому з проміжків належить число

- 12

. Воно входить у півінтервал

(- 13; - 3]

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

Графік якої функції зображено на рисунку?

А $y = (x + 1)^{2}$
Б $y = - (x - 1)^{2}$
В $y = - x^{2} + 1$
Г $y = x^{2} - 1$
Д $y = - x^{2} - 1$ (правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Це завдання на аналіз графіка квадратичної функції (параболи). Крок 1. Базовий графік функції — це парабола

y = x^{2}

, вершина якої знаходиться в точці

(0; 0)

, а гілки спрямовані вгору. Крок 2. Наявність знака мінус перед квадратом змінної у функції

y = - x^{2}

перевертає гілки параболи вниз. Крок 3. Віднімання одиниці (

- 1

) в кінці функції зміщує весь графік уздовж осі

y

на 1 одиницю вниз. Вершина переміщується в точку з координатами

(0; - 1)

. Крок 4. Оскільки на рисунку зображено параболу з вершиною в точці

(0; - 1)

, гілки якої спрямовані вниз, їй відповідає функція

y = - x^{2} - 1

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

У рівнобедреному трикутнику

A BC (A B = BC)

B K

– бісектриса кута

В

, точка

K

належить стороні

A C

. Які з наведених тверджень є правильними?I.

A B + BC = A C

. II.

B K ⊥ A C

. III.

A K = K C

Алише I
Блише I та II
Влише I та IІI
Глише IІ та III(правильна відповідь)
ДІ, ІІ та III

Правильна відповідь

Пояснення

Аналізуємо геометричні твердження для рівнобедреного трикутника. Крок 1. Перевіримо твердження I (

A B + BC = A C

). За нерівністю трикутника, сума довжин будь-яких двох сторін завжди має бути строго більшою за довжину третьої сторони (

A B + BC > A C

). Тому перше твердження є хибним. Крок 2. Перевіримо твердження II (

B K ⊥ A C

). За властивістю рівнобедреного трикутника, бісектриса, проведена до його основи, одночасно є і висотою. Висота утворює прямий кут з основою, тому прямі перпендикулярні. Твердження є правильним. Крок 3. Перевіримо твердження III (

A K = K C

). Та ж сама властивість говорить, що бісектриса, проведена до основи рівнобедреного трикутника, є також і медіаною. Медіана ділить основу навпіл, тому відрізки

A K

K C

рівні. Твердження є правильним. Крок 4. Отже, правильними є лише твердження II та III.

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

У магазині є 7 видів подарункових наборів. Скільки всього існує варіантів вибору з них трьох різних наборів?

А $21$
Б $35$ (правильна відповідь)
В $210$
Г $343$
Д $840$

Правильна відповідь

Пояснення

Потрібно вибрати 3 різні набори із 7, порядок вибору не має значення. Кількість способів дорівнює

C_{7}^{3} = \frac{7 !}{3 ! \cdot 4 !} = 35

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

У цеху на лінії виробництва пляшкової води працюють два автомати для клейового маркування. Перший маркує

14000

пляшок за годину, а другий –

16000

пляшок за годину. Обидва автомати одночасно працювали

12

хвилин. Скільки всього пляшок було промарковано за цей час?

А $2000$
Б $2500$
В $3000$
Г $6000$ (правильна відповідь)
Д $7500$

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на сумісну роботу двох автоматів. Крок 1. Визначимо загальну продуктивність обох автоматів за одну годину, якщо они працюватимуть разом:

14000 + 16000 = 30000

пляшок за годину. Крок 2. Переведемо час роботи з хвилин у години. Оскільки в одній годині 60 хвилин, то

12

хвилин — це

\frac{12}{60}

години. Скоротимо цей дріб на

12

і отримаємо

\frac{1}{5}

години. Крок 3. Щоб знайти загальну кількість промаркованих пляшок за цей час, помножимо спільну годинну продуктивність на час роботи:

30000 \cdot \frac{1}{5} = 6000

пляшок.

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано точку

O (0; 0; 0)

. Укажіть з-поміж наведених точку, відстань від якої до точки

O

є найменшою.

А $(0; 4; 0)$
Б $(0; 3; -4)$
В $(-5; 0; 0)$
Г $(1; 3; 0)$ (правильна відповідь)
Д $(3; 0; -3)$

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на знаходження відстані від початку координат до точок у тривимірному просторі. Крок 1. Формула відстані від початку координат

O (0; 0; 0)

до будь-якої точки

A (x; y; z)

має вигляд:

d = x^{2} + y^{2} + z^{2}

. Крок 2. Обчислимо відстань для кожної із запропонованих точок: 1) Для

(0; 4; 0)

d = 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} = 16 = 4

. 2) Для

(0; 3; - 4)

d = 0^{2} + 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5

. 3) Для

(- 5; 0; 0)

d = (- 5)^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 25 = 5

. 4) Для

(1; 3; 0)

d = 1^{2} + 3^{2} + 0^{2} = 1 + 9 = 10 \approx 3, 16

. 5) Для

(3; 0; - 3)

d = 3^{2} + 0^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18 \approx 4, 24

. Крок 3. Порівняємо отримані результати: значення

10 \approx 3, 16

є найменшим серед усіх. Отже, найменшу відстань має точка

(1; 3; 0)

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему нерівностей

{9 + 3 x < 18, 2 - 3 x > - 10.

А $(- \infty; 3)$ (правильна відповідь)
Б $(3; 4)$
В $(4; + \infty)$
Г $(3; + \infty)$
Д $(- \infty; 4)$

Правильна відповідь

Пояснення

Розв'язуємо систему лінійних нерівностей. Крок 1. Розв'яжемо першу нерівність системи:

9 + 3 x < 18

. Перенесемо число

9

у праву частину зі зміною знака:

3 x < 18 - 9

, тобто

3 x < 9

. Поділимо обидві частини на

3

й отримаємо:

x < 3

. Крок 2. Розв'яжемо другу нерівність системи:

2 - 3 x > - 10

. Перенесемо число

2

у праву частину:

- 3 x > - 10 - 2

, тобто

- 3 x > - 12

. Крок 3. Поділимо обидві частини цієї нерівності на від'ємне число

- 3

. Пам'ятаємо важливе правило: при діленні на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний! Отримуємо:

x < 4

. Крок 4. Знайдемо спільне рішення (перетин) двох отриманих нерівностей:

x < 3

та

x < 4

. Числа, які одночасно менші за 3 і менші за 4 — це всі числа, що менші за 3. Запишемо це у вигляді інтервалу:

(- \infty; 3)

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено квадрат

A BC D

. На стороні

A D

вибрано точку

K

так, що

∠ B KD = 12 0^{\circ}

. Визначте радіус кола, описаного навколо цього квадрата, якщо

B K = 12

см.

А $62$ см
Б $33$ см
В $63$ см
Г $32$ см
Д $36$ см(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Це геометрична задача, що поєднує властивості квадрата та прямокутного трикутника. Крок 1. Точка

K

лежить на стороні

A D

квадрата

A BC D

. Кути

∠ B K A

та

∠ B KD

є суміжними, тому їхня сума дорівнює

18 0^{\circ}

. Звідси знаходимо невідомий кут:

∠ B K A = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

. Крок 2. Розглянемо прямокутний трикутник

B A K

(

∠ A = 9 0^{\circ}

, бо це кут квадрата). Нам відома гіпотенуза

B K = 12

см та гострий кут

∠ B K A = 6 0^{\circ}

. Знайдемо катет

A B

(сторону квадрата) через синус кута:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{A B}{B K}

. Крок 3. Підставимо значення синуса:

\frac{3}{2} = \frac{A B}{12}

. Звідси сторона квадрата дорівнює:

A B = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63

см. Крок 4. Радіус кола, описаного навколо квадрата, обчислюється за формулою:

R = \frac{a 2}{2}

, де

a

— сторона квадрата. Крок 5. Підставимо значення сторони

a = 63

у формулу радіуса:

R = \frac{6 3 \cdot 2}{2} = 36

см.

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

За якого найменшого з наведених значень кута

α

справджується нерівність

cos 21 0^{\circ} \cdot sin α > 0

А $0^{\circ}$
Б $9 0^{\circ}$
В $15 0^{\circ}$
Г $27 0^{\circ}$ (правильна відповідь)
Д $30 0^{\circ}$

Правильна відповідь

Пояснення

Це тригонометрична нерівність на визначення знаків функцій у чвертях. Крок 1. Визначимо знак першого множника

cos 21 0^{\circ}

. Кут

21 0^{\circ}

знаходиться у третій координатній чверті, де значення косинуса є від'ємними. Тобто

cos 21 0^{\circ} < 0

. Крок 2. Щоб добуток двох чисел був додатним (

> 0

), обидва числа повинні мати однакові знаки. Оскільки перший множник від'ємний, то і другий множник

sin α

обов'язково має бути меншим за нуль (

sin α < 0

). Крок 3. Перевіримо значення синуса для кожного із запропонованих варіантів кута

α

: 1)

α = 0^{\circ} ⟹ sin 0^{\circ} = 0

(не задовольняє нерівність) 2)

α = 9 0^{\circ} ⟹ sin 9 0^{\circ} = 1 > 0

(не задовольняє) 3)

α = 15 0^{\circ} ⟹ sin 15 0^{\circ} = 0, 5 > 0

(не задовольняє) 4)

α = 27 0^{\circ} ⟹ sin 27 0^{\circ} = - 1 < 0

(умова виконується) 5)

α = 30 0^{\circ} ⟹ sin 30 0^{\circ} = - \frac{3}{2} < 0

(умова виконується) Крок 4. Умова виконується для кутів

27 0^{\circ}

та

30 0^{\circ}

. В умові просять указати НАЙМЕНШЕ значення кута серед наведених, тому обираємо кут

27 0^{\circ}

Завдання 16

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо

a = 4

1 $\frac{2 a ^{2} - 12 a}{a ^{2} - 36}$
2 $0, 0 4^{l o g_{5} a}$
3 $a^{0} - a^{\frac{3}{2}}$

А $\frac{1}{16}$
Б $- 8$
В $- 7$
Г $0, 8$
Д $- \frac{1}{16}$

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — А; 3 — В

Пояснення

Обчислюємо значення алгебраїчних виразів при заданому значенні

a = 4

. Розв'язок для виразу 1 (

\frac{2 a ^{2} - 12 a}{a ^{2} - 36}

): Підставимо

a = 4

: чисельник дорівнює

2 \cdot 4^{2} - 12 \cdot 4 = 2 \cdot 16 - 48 = 32 - 48 = - 16

. Знаменник дорівнює

4^{2} - 36 = 16 - 36 = - 20

. Ділимо чисельник на знаменник:

\frac{- 16}{- 20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0, 8

. Це відповідає варіанту Г. Розв'язок для виразу 2 (

0, 0 4^{l o g_{5} a}

): Перетворимо десятковий дріб в основу степеня:

0, 04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{- 2}

. Тепер вираз має вигляд

(5^{- 2})^{l o g_{5} 4} = 5^{- 2 \cdot l o g_{5} 4} = 5^{l o g_{5} (4^{- 2})} = 4^{- 2} = \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{16}

. Це відповідає варіанту А. Розв'язок для виразу 3 (

a^{0} - a^{\frac{3}{2}}

): Підставимо

a = 4

: будь-яке число в нульовому степені дорівнює 1, тобто

4^{0} = 1

. Степінь

4^{\frac{3}{2}}

означає піднесення до кубу та взяття квадратного кореня:

(4)^{3} = 2^{3} = 8

. Отримуємо різницю:

1 - 8 = - 7

. Це соответствует варіанту В.

Завдання 17

на встановлення відповідності

Увідповідніть початок речення (1–3) із його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Графік функції $y = \frac{2}{x} + 3$
2Графік функції $y = 4^{x}$
3Графік функції $y = tg x$

Асиметричний відносно початку координат.
Бсиметричний відносно осі $y$ .
Вперетинає лише вісь $x$ .
Гперетинає лише вісь $y$ .
Дперетинає графік функції $y = x$ лише в одній точці.

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Г; 3 — А

Пояснення

Аналізуємо геометричні та алгебраїчні властивості графіків функцій. 1. Для функции

y = \frac{2}{x} + 3

: Графік цієї функції (гіпербола) має вертикальну асимптоту

x = 0

(вісь

y

), тобто він ніколи не перетинає вісь ординат. Знайдемо точку перетину з віссю

x

, підставивши

y = 0

0 = \frac{2}{x} + 3 ⟹ \frac{2}{x} = - 3 ⟹ x = - \frac{2}{3}

. Отже, графік перетинає лише вісь

x

(Варіант В). 2. Для функції

y = 4^{x}

: Показникова функція завжди набуває тільки додатних значень (

4^{x} > 0

), тому її графік розташований строго вище осі

x

і ніколи її не перетинає. При

x = 0

отримуємо

y = 4^{0} = 1

, тобто графік перетинає вісь

y

. Отже, графік перетинає лише вісь

y

(Варіант Г). 3. Для функції

y = tg x

: Функція тангенс є непарною, тобто виконується умова

tg (- x) = - tg x

. Графік будь-якої непарної функції є симетричним відносно початку координат (Варіант А).

Завдання 18

на встановлення відповідності

У паралелограмі

A BC D

на висоті

BM

вибрано точку

K

так, що

B K : K M = 4 : 3

(див. рисунок).

C K = 17

см.

B K = 8

см. Прямі

C K

A D

перетинаються в точці

N

. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

1 $BC$
2 $BM$
3 $NM$

А $11, 25$ см
Б $12$ см
В $14$ см
Г $15$ см
Д $20$ см

Правильна відповідь

1 — Г; 2 — В; 3 — А

Пояснення

Розв'язуємо геометричну задачу за допомогою подібності трикутників та теореми Піфагора. Крок 1. Знайдемо довжину відрізка

K M

. Нам відомо відношення

B K : K M = 4 : 3

, і довжина

B K = 8

см. Складемо пропорцію:

\frac{8}{K M} = \frac{4}{3}

, звідки випливає, що

K M = \frac{8 \cdot 3}{4} = 6

см. Крок 2. Знайдемо повну довжину висоти

BM

(відповідь для пункту 2):

BM = B K + K M = 8 + 6 = 14

см. Це відповідає варіанту В. Крок 3. Оскільки

BM

— висота паралелограма, проведена до основи

A D

, вона також перпендикулярна і до паралельної їй сторони

BC

. Отже, кут

∠ K BC = 9 0^{\circ}

, а трикутник

△ K BC

є прямокутним. За теоремою Піфагора для

△ K BC

знайдемо сторону

BC

(відповідь для пункту 1):

BC = C K^{2} - B K^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15

см. Це відповідає варіанту Г. Крок 4. Оскільки прямі

BC

та

A D

паралельні, то трикутники

△ K BC

та

△ K MN

подібні за двома кутами (кути при вершині

K

вертикальні, а внутрішні різносторонні кути рівні). Запишемо відношення сторін:

\frac{NM}{BC} = \frac{K M}{B K}

. Крок 5. Знайдемо довжину

NM

(відповідь для пункту 3):

\frac{NM}{15} = \frac{6}{8} ⟹ NM = 15 \cdot \frac{3}{4} = 11, 25

см. Це відповідає варіанту А.

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Обчисліть інтеграл

\frac{1}{e} \int e \frac{d x}{x}

Правильна відповідь

Пояснення

Обчимлюємо визначений інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца. Крок 1. Знайдемо первісну для підінтегральної функції

\frac{1}{x}

. Первісною є функція натурального логарифма:

F (x) = ln ∣ x ∣

. Крок 2. Запишемо формулу Ньютона-Лейбніца для меж інтегрування від

\frac{1}{e}

до

e

\frac{1}{e} \int e \frac{d x}{x} = ln (e) - ln (\frac{1}{e})

. Крок 3. Спростимо кожен логарифм окремо, використовуючи властивості степенів: 1) Оскільки

e = e^{\frac{1}{2}}

, то

ln (e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} = 0, 5

. 2) Оскільки

\frac{1}{e} = e^{- 1}

, то

ln (e^{- 1}) = - 1

. Крок 4. Знайдемо різницю значень:

0, 5 - (- 1) = 0, 5 + 1 = 1, 5

Завдання 20

з відкритою відповіддю

У будинку

162

квартири: одно-, дво- та трикімнатні. Кількість двокімнатнихквартир на

15%

менша за кількість однокімнатних. Скільки всього двокімнатних квартир у цьому будинку, якщо їх стільки само, як трикімнатних?

Правильна відповідь

Пояснення

Це задача на складання лінійного рівняння за відсотковими співвідношеннями. Крок 1. Нехай кількість однокімнатних квартир у будинку дорівнює

x

. Крок 2. Кількість двокімнатних квартир на

15%

менша за кількість однокімнатних. Зменшення на

15%

означає, що вони складають

100% - 15% = 85%

від кількості однокімнатних, тобто їхня кількість дорівнює

0, 85 x

. Крок 3. В умові сказано, що трикімнатних квартир стільки ж, скільки й двокімнатних, тому їхня кількість теж дорівнює

0, 85 x

. Крок 4. Загальна кількість усіх квартир у будинку становить

162

. Складемо рівняння:

x + 0, 85 x + 0, 85 x = 162

. Спростимо ліву частину, додавши коефіцієнти:

2, 7 x = 162

. Крок 5. Знайдемо значення

x

x = 162/2, 7 = 60

(це кількість однокімнатних квартир). Крок 6. Тепер обчислимо кількість двокімнатних квартир:

0, 85 \cdot 60 = 51

квартира.

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено правильну трикутну піраміду та конус, що мають рівні висоти. Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола, уписаного в основу піраміди. Визначте об’єм V (у см³) конуса, якщо радіус основи конуса дорівнює 4√3 см, а площа бічної поверхні піраміди – 288 см². У відповіді запишіть значення V/π.

Правильна відповідь

Пояснення

Це стереометрична задача, що пов'язує конус та правильну трикутну піраміду. Крок 1. Радіус основи конуса

r = 43

см дорівнює радіусу кола, вписаного в основу правильної трикутної піраміди. Основою піраміди є рівносторонній трикутник. Формула радіуса вписаного кола для такого трикутника:

r = \frac{a}{2 3}

, де

a

— сторона трикутника. Крок 2. Знайдемо сторону основи піраміди

a

43 = \frac{a}{2 3} ⟹ a = 43 \cdot 23 = 24

см. Периметр основи піраміди дорівнює

P = 3 a = 3 \cdot 24 = 72

см. Крок 3. Площа бічної поверхні правильної піраміди обчислюється як

S_{біч} = \frac{1}{2} P \cdot l

, де

l

— апофема піраміди. Нам відомо, що

S_{біч} = 288

см

^{2}

. Знайдемо апофему:

288 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot l ⟹ 288 = 36 l ⟹ l = 8

см. Крок 4. Знайдемо висоту піраміди

H

(яка дорівнює висоті конуса). У прямокутному трикутнику, утвореному висотою

H

, радіусом вписаного кола

r

та апофемою

l

, за теоремою Піфагора:

H = l^{2} - r^{2} = 8^{2} - (43)^{2} = 64 - 48 = 16 = 4

см. Крок 5. Обчислимо об'єм конуса за формулою:

V = \frac{1}{3} π r^{2} H = \frac{1}{3} π \cdot (43)^{2} \cdot 4 = \frac{1}{3} π \cdot 48 \cdot 4 = 64 π

см

^{3}

. У відповідь записуємо значення

\frac{V}{π} = 64

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Знайдіть усі значення параметра

a

з проміжку

(0; 7)

, при яких рівняння

\frac{x ^{2} + ( a - 3 ) x - a + 2}{2 x ^{2} - 3 a + 6} = 0

матиме два різні корені. У відповідь вказати кількість усіх цілих значень параметра

a

Правильна відповідь

Пояснення

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. 1. **Знайдемо корені чисельника**:

x^{2} + (a - 3) x - (a - 2) = 0

. Дискримінант:

D = (a - 3)^{2} - 4 (1) (- (a - 2)) = a^{2} - 6 a + 9 + 4 a - 8 = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}

. Корені рівняння:

x_{1, 2} = \frac{- ( a - 3 ) \pm ( a - 1 )}{2}

x_{1} = \frac{- a + 3 + a - 1}{2} = 1

x_{2} = \frac{- a + 3 - a + 1}{2} = 2 - a

. Щоб чисельник мав **два різні корені**, потрібно, щоб

x_{1} \neq = x_{2}

, тобто

1 \neq = 2 - a ⟹ a \neq = 1

. 2. **Обмеження на знаменник**: Корені чисельника не повинні перетворювати знаменник на нуль. Знаменник

2 x^{2} - 3 a + 6 \neq = 0

. **Умова для

x_{1} = 1

:**

2 (1)^{2} - 3 a + 6 \neq = 0 ⟹ 8 - 3 a \neq = 0 ⟹ a \neq = \frac{8}{3} (2 \frac{2}{3})

. **Умова для

x_{2} = 2 - a

:**

2 (2 - a)^{2} - 3 a + 6 \neq = 0 ⟹ 2 (4 - 4 a + a^{2}) - 3 a + 6 \neq = 0 ⟹ 8 - 8 a + 2 a^{2} - 3 a + 6 \neq = 0 ⟹ 2 a^{2} - 11 a + 14 \neq = 0

. Знайдемо корені рівняння

2 a^{2} - 11 a + 14 = 0

D_{a} = 121 - 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 - 112 = 9

a_{1, 2} = \frac{11 \pm 3}{4}

a_{1} = \frac{14}{4} = 3, 5

a_{2} = \frac{8}{4} = 2

. Отже,

a \neq = 3, 5

та

a \neq = 2

. 3. **Знаходження цілих значень на заданому проміжку**: Нам потрібні цілі значення

a \in (0; 7)

. Це числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6. З урахуванням знайдених обмежень (

a \neq = 1

a \neq = 2

a \neq = 3, 5

a \neq = 8/3

), виключаємо 1 і 2. Залишаються числа: **3, 4, 5, 6**. Таких чисел є чотири. Відповідь: 4.