НМТ з предмета «Математика», 11 червня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Укажіть кількість цілих чисел, що є розв’язками нерівності

А5
Б6(правильна відповідь)
В7
Г8
Д9

Правильна відповідь

Пояснення

Цілі розв’язки нерівності -4 < x \le 2{,}2 Цілі числа:

- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2

— усього

6

. Правильна відповідь: Б

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На дитячій каруселі розташовано 19 транспортних засобів: човники, літачки й машинки (див. рисунок). Дмитрик навмання сідає в один із транспортних засобів, окрім літачків. Яка ймовірність того, що він сяде в машинку?

А
Б
В(правильна відповідь)
Г
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Ймовірність — карусель 1: Визначаємо загальну кількість можливих варіантів ( $n$ ). За умовою на каруселі розташовано

19

транспортних засобів. Але відомо, що Дмитрик сідає в будь-який із них, окрім літачків. Порахуємо за рисунком кількість літачків (зелені): їх

4

. Отже, кількість транспортних засобів, з яких вибирає хлопчик:

n = 19 - 4 = 15

. (Також можна було просто додати кількість човників і машинок:

10 + 5 = 15

). 2: Визначаємо кількість сприятливих варіантів ( $m$ ). Подія полягає в тому, що хлопчик сяде в машинку. З рисунка бачимо, що машинок (сині) всього

5

. Отже,

m = 5

. 3: Обчислюємо ймовірність. Ймовірність

P

обчислюється як відношення кількості сприятливих варіантів до загальної кількості можливих варіантів:

P = \frac{m}{n}

P = \frac{5}{15}

. Скорочуємо дріб на

5

і отримуємо

\frac{1}{3}

. Правильна відповідь: В

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Визначте зовнішній кут при вершині A трикутника ABC, якщо ∠B = 50°, ∠C = 25° (див. рисунок).

А15°
Б75°(правильна відповідь)
В95°
Г105°
Д130°

Правильна відповідь

Пояснення

Зовнішній кут трикутника Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, що не є суміжними з ним. Зовнішній кут

∠ A = ∠ B + ∠ C = 5 0^{\circ} + 2 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

. Правильна відповідь: Б

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

А(правильна відповідь)
Б
В
Г
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Множення многочленів (3-3x)(x+1) = 3(1-x)(x+1) = 3(1-x^2) = 3 - 3x^2 Правильна відповідь: А

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Скільки прямих, що містять ребра куба, паралельні площині грані

Ажодної
Блише одна
Влише три
Глише чотири(правильна відповідь)
Двісім

Правильна відповідь

Пояснення

Ребра куба, паралельні до грані 1: Визначаємо задану площину. Площина грані

A A_{1} B_{1} B

— це ліва (на даному рисунку) бічна грань куба. 2: Аналізуємо розміщення всіх ребер куба (їх усього $12$ ) відносно цієї площини.

Ребра, які належать цій площині (утворюють саму грань): $A A_{1}$ , $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} B$ , $A B$ ( $4$ ребра).
Ребра, які перетинають цю площину (мають з нею лише одну спільну точку у вершинах): $A D$ , $A_{1} D_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $BC$ ( $4$ ребра).
Ребра, які паралельні цій площині: це ребра, що лежать у протилежній грані $D D_{1} C_{1} C$ . Вони не мають з площиною $A A_{1} B_{1} B$ жодної спільної точки. До них належать: $D D_{1}$ , $D_{1} C_{1}$ , $C_{1} C$ , $D C$ ( $4$ ребра).

Отже, існує рівно

4

прямі, що містять ребра куба і є паралельними заданій площині. Правильна відповідь: Г

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Укажіть область визначення функції

А(9; +∞)
Б(–9; +∞)(правильна відповідь)
В(–9; 0)
Г(0; +∞)
Д(–∞; +∞)

Правильна відповідь

Пояснення

Область визначення логарифмічної функції

y = lo g_{3} (x + 9)

визначена при

x + 9 > 0

. x > -9 \Rightarrow x \in (-9;; +\infty) Правильна відповідь: Б

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Існує трапеція, у якій сума довжин основ дорівнює довжині її висоти.
II. Існує прямокутна трапеція, у якій суми градусних мір протилежних кутів рівні.
III. Існує прямокутна трапеція, у якій сума довжин бічних сторін дорівнює сумі довжин її основ.

Алише II
Блише I та II
Влише I та III(правильна відповідь)
Глише II та III
ДІ, ІІ та ІІІ

Правильна відповідь

Пояснення

Властивості трапеції I. Сума основ може дорівнювати висоті — правильне. II. Прямокутна трапеція: кути

9 0^{\circ}

9 0^{\circ}

α

18 0^{\circ} - α

. Сума протилежних кутів:

9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} - α \neq = 9 0^{\circ} + α

— хибне. III. Можна підібрати прямокутну трапецію з такою умовою — правильне. Правильні: I та III. Правильна відповідь: В

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність

А(–3; +∞)
Б(–∞; 18)
В(–6; +∞)
Г(–18; +∞)(правильна відповідь)
Д(–∞; 6)

Правильна відповідь

Пояснення

Лінійна нерівність \frac{x}{3} < \frac{x}{2} + 3 \frac{x}{3} - \frac{x}{2} < 3 -\frac{x}{6} < 3 x > -18 \Rightarrow x \in (-18;; +\infty) Правильна відповідь: Г

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено пляшку кефіру. Інформацію про масу кефіру й масову частку жиру в ньому зазначено на етикетці. Обчисліть масу жиру в цьому кефірі.

А2 г
Б450 г
В200 г
Г9 г
Д18 г(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Масова частка жиру Маса жиру:

m = 900 \cdot 2% = 900 \cdot 0, 02 = 18

г. Правильна відповідь: Д

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано точки A(1; –2; 5) і B(–9; –7; 7). Визначте довжину (модуль) вектора

, де O — початок координат.

А289
Б
В32
Г5
Д17(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Довжина вектора \vec{c} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (1+(-9);; -2+(-7);; 5+7) = (-8;; -9;; 12) |\vec{c}| = \sqrt{(-8)^2+(-9)^2+12^2} = \sqrt{64+81+144} = \sqrt{289} = 17 Правильна відповідь: Д

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

А2050(правильна відповідь)
Б1995
В160
Г2150
Д20 950

Правильна відповідь

Пояснення

Абсолютна величина 2{,}1 \cdot 10^3 = 2100 |2100 - 50| = |2050| = 2050 Правильна відповідь: А

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

Точки K і M є серединами сторін BC і CD ромба ABCD (див. рисунок). Довжина перпендикуляра, проведеного від точки C до прямої KM, дорівнює 6. Визначте площу ромба ABCD, якщо KM = m.

А36m
Б12m
В48m
Г24m(правильна відповідь)
Д6m

Правильна відповідь

Пояснення

Площа ромба через середини сторін 1: Знаходимо діагональ $B D$ . Розглянемо

△ BC D

. Оскільки точки

K

та

M

— середини сторін

BC

C D

, то відрізок

K M

є середньою лінією цього трикутника. За властивістю середньої лінії, вона паралельна основі та дорівнює її половині:

K M = \frac{1}{2} B D

. Звідси діагональ

B D = 2 \cdot K M = 2 m

. 2: Знаходимо діагональ $A C$ . Нехай діагоналі ромба перетинаються в точці

O

. Вони взаємно перпендикулярні (

A C ⊥ B D

), тому відрізок

CO

є висотою

△ BC D

. Оскільки

K M

— середня лінія, трикутник

△ K CM

подібний до

△ BC D

з коефіцієнтом подібності

\frac{1}{2}

. Тому всі його лінійні розміри вдвічі менші. Відстань від точки

C

до прямої

K M

— це висота маленького

△ K CM

. За умовою вона дорівнює

6

. Тоді висота великого

△ BC D

(відрізок

CO

) буде вдвічі більшою:

CO = 6 \cdot 2 = 12

. Оскільки діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл, вся діагональ

A C = 2 \cdot CO = 2 \cdot 12 = 24

. 3: Обчислюємо площу ромба. Площа ромба дорівнює півдобутку його діагоналей: S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2m = 24m Правильна відповідь: Г

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Послідовність

задано формулою n-го члена

. Визначте сьомий член

цієї послідовності.

А7
Б–49
В6
Г–7(правильна відповідь)
Д–8

Правильна відповідь

Пояснення

Сьомий член послідовності b_n = (-1)^n \cdot n b_7 = (-1)^7 \cdot 7 = -1 \cdot 7 = -7 Правильна відповідь: Г

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

Обчисліть

А1,5(правильна відповідь)
Б0,5
В
Г1
Д3

Правильна відповідь

Пояснення

Обчислення кореня \sqrt[4]{\frac{243}{48}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} = 1{,}5 Правильна відповідь: А

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть рівняння

А6
Б–6; –4(правильна відповідь)
В–5; 4
Г–4
Д–6

Правильна відповідь

Пояснення

Рівняння з квадратом \frac{(a+5)^2}{13} = \frac{1}{13} (a+5)^2 = 1 a+5 = \pm 1

a = - 4

або

a = - 6

. Правильна відповідь: Б

Завдання 16

на встановлення відповідності

Установіть відповідність між виразом (1–3), де π — відома математична константа, та проміжком (А–Д), якому належить його значення.

А[–2; –1)
Б[–1; 0)
В[0; 1)
Г[1; 2)
Д[2; 4)

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — Д

Пояснення

Пункт 1 $cos (π /3)$ \cos\frac{\pi}{3} = 0{,}5 \in [0;; 1) Правильна відповідь: В Пункт 2 $π - 4$ \pi \approx 3{,}14 \Rightarrow \pi - 4 \approx -0{,}86 \in [-1;; 0) Правильна відповідь: Б Пункт 3 $4^{l o g_{4} π}$ 4^{\log_4 \pi} = \pi \approx 3{,}14 \in [2;; 4) Правильна відповідь: Д

Завдання 17

на встановлення відповідності

Увідповідніть функцію (1–3) та її властивість (А–Д).

Азростає на всій області визначення
Бспадає на всій області визначення
Впарна
Гмає більше ніж два нулі
Дграфік функції симетричний відносно осі x

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Г; 3 — А

Пояснення

Пункт 1 Властивість $f (x) = x^{2} + 2$ f(-x) = (-x)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x) Функція парна. Правильна відповідь: В Пункт 2 Властивість $f (x) = sin x$ \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n,; n \in \mathbb{Z} Нулів нескінченна кількість — більше двох. Правильна відповідь: Г Пункт 3 Властивість $f (x) = x^{3}$

(x^{3})^{'} = 3 x^{2} \geq 0

, і дорівнює

0

лише при

x = 0

. Функція зростає на всій області визначення. Правильна відповідь: А

Завдання 18

на встановлення відповідності

На паралельних прямих n і m розміщено сторони прямокутника ABCD й паралелограма DKLM, вершини L і Q трикутника LPQ (див. рисунок). BC = KL = 6 см, AB : BC = 4 : 3, LP = PQ, ∠LPQ = 60°, діагональ KM паралелограма й сторона LQ трикутника LPQ перпендикулярні до прямої n. Установіть відповідність між фігурою (1–3) та її периметром (А–Д).

1прямокутник ABCD
2паралелограм DKLM
3трикутник LPQ

А24 см
Б32 см
В28 см
Г36 см
Д14 см

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — А

Пояснення

Пункт 1 Периметр прямокутника $A BC D$ 1: Периметр прямокутника

A BC D

. Оскільки прямі

m

та

n

паралельні, а

A BC D

— прямокутник, то його сторона

A B

є перпендикуляром до цих прямих. Отже, довжина

A B

— це відстань між прямими

m

та

n

. З умови нам відомо, що ця відстань дорівнює

8

см, тому

A B = 8

см. Також за умовою сторони прямокутника відносяться як

A B : BC = 4 : 3

. Знайдемо сторону

BC

. Нехай

x

— коефіцієнт пропорційності. Тоді

A B = 4 x

BC = 3 x

. Оскільки

A B = 8

, то

4 x = 8

, звідки

x = 2

. Тоді

BC = 3 \cdot 2 = 6

см. Периметр прямокутника обчислюється за формулою:

P = 2 \cdot (A B + BC)

P_{A BC D} = 2 \cdot (8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28

см. Правильна відповідь: В Пункт 2 Периметр паралелограма $DK L M$ Периметр паралелограма обчислюється за формулою:

P = 2 \cdot (K L + DK)

. За умовою

K L = 6

см. Отже, нам потрібно знайти сторону

DK

. Знайдемо відстань між паралельними прямими

m

та

n

. Вона дорівнює стороні прямокутника

A B

. З умови

A B : BC = 4 : 3

, знаючи, що

BC = 6

см, знаходимо

A B

A B = \frac{4 \cdot 6}{3} = 8

см. Оскільки діагональ

K M

перпендикулярна до прямої

n

(і до прямої

m

), то відрізок

K M

є відстанню між цими паралельними прямими. Тому

K M = A B = 8

см. У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому

D M = K L = 6

см. Розглянемо прямокутний

△ K M D

(

∠ M = 9 0^{\circ}

). Катети

K M = 8

см,

D M = 6

см. За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу

DK

DK = K M^{2} + D M^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10

см. Обчислюємо периметр паралелограма:

P_{DK L M} = 2 \cdot (K L + DK) = 2 \cdot (6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32

см. Правильна відповідь: Б Пункт 3 Периметр трикутника $L PQ$ За умовою сторона

L Q

трикутника перпендикулярна до прямої

n

(і, відповідно, до паралельної їй прямої

m

). Отже, відрізок

L Q

є відстанню між цими паралельними прямими. З попереднього пункту ми вже знаємо, що ця відстань дорівнює стороні прямокутника

A B

. Тому

L Q = A B = 8

см. Розглянемо

△ L PQ

. За умовою він є рівнобедреним (

L P = PQ

), а кут між цими рівними сторонами

∠ L PQ = 6 0^{\circ}

. Знайдемо кути при основі

L Q

. У рівнобедреному трикутнику вони рівні:

∠ P L Q = ∠ PQ L = (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) \div 2 = 6 0^{\circ}

. Оскільки всі три кути трикутника дорівнюють

6 0^{\circ}

△ L PQ

є рівностороннім. Отже, всі його сторони рівні:

L P = PQ = L Q = 8

см. Обчислюємо периметр рівностороннього трикутника:

P_{L PQ} = 3 \cdot L Q = 3 \cdot 8 = 24

см. Правильна відповідь: А

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Визначте суму всіх цілих значень a, за кожного з яких для розв’язку

системи

справджуються нерівності

Правильна відповідь

Пояснення

Сума цілих значень a Робимо заміну:

x = u

3^{y} = v

. Оскільки

3^{y + 1} = 3 \cdot 3^{y} = 3 v

, система набуває вигляду:

2u + 3v = 5a + 15
u + v = a + 9

Із другого рівняння

u = a + 9 - v

. Підставляємо в перше:

2 (a + 9 - v) + 3 v = 5 a + 15

2a + 18 + v = 5a + 15 \Rightarrow v = 3a - 3. Тоді

u = a + 9 - (3 a - 3) = 12 - 2 a

. Повертаємося до змінних

x

та

y

з урахуванням умов

x > 0

y > 0

\sqrt{x} = 12 - 2a > 0 \Rightarrow 2a < 12 \Rightarrow a < 6.
$3^{y} = 3 a - 3$ . Оскільки $y > 0$ , функція $3^{y} > 3^{0} = 1$ .

Отже,

3 a - 3 > 1 \Rightarrow 3 a > 4 \Rightarrow a > 1 \frac{1}{3}

. Маємо систему нерівностей для параметра:

1 \frac{1}{3} < a < 6

. Цілі значення

a

, що задовольняють умову:

2

3

4

5

. Їхня сума:

2 + 3 + 4 + 5 = 14

. Правильна відповідь: 14

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Похідна лінійної функції y = f(x) дорівнює 8, графік функції y = f(x) перетинає вісь y у точці з ординатою –4. Обчисліть значення f(–1,2).

Правильна відповідь

-13,6

Пояснення

Значення лінійної функції f'(x) = 8 \Rightarrow f(x) = 8x + b f(0) = -4 \Rightarrow b = -4 f(-1{,}2) = 8 \cdot (-1{,}2) - 4 = -9{,}6 - 4 = -13{,}6 Правильна відповідь: -13,6

Завдання 21

з відкритою відповіддю

На рисунку зображено полігон частот певного ряду даних, на якому по горизонталі відмічено елементи цього ряду, а по вертикалі — їхні частоти. Визначте середнє значення цього ряду даних.

Правильна відповідь

Пояснення

Середнє значення ряду даних З полігона частот:

6 \to 3

12 \to 7

18 \to 1

24 \to 3

30 \to 3

36 \to 5

. Разом:

n = 22

. \bar{x} = \frac{6\cdot 3 + 12\cdot 7 + 18\cdot 1 + 24\cdot 3 + 30\cdot 3 + 36\cdot 5}{22} = = \frac{18+84+18+72+90+180}{22} = \frac{462}{22} = 21 Правильна відповідь: 21

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Задано правильну чотирикутну піраміду й циліндр з площею основи 81p см². Радіус кола, описаного навколо основи піраміди, дорівнює радіусу основи циліндра. Бічне ребро піраміди утворює з площиною її основи ∠45°. Обчисліть об’єм (у см³) піраміди.

Правильна відповідь

Пояснення

Об’єм правильної чотирикутної піраміди Знайдемо радіус основи циліндра (

R

S = π R^{2} = 81 π \Rightarrow R = 9

см. За умовою радіус кола, описаного навколо основи піраміди, також дорівнює

9

см. Основа правильної чотирикутної піраміди — квадрат. Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі (

d

). Отже, діагональ основи

d = 2 R = 18

см. Площа основи піраміди (квадрата):

S_{0} = \frac{d ^{2}}{2} = \frac{1 8 ^{2}}{2} = \frac{324}{2} = 162

см

^{2}

. Висота піраміди

H

, радіус

R

та бічне ребро утворюють прямокутний трикутник. За умовою кут між ребром і основою дорівнює

4 5^{\circ}

. Оскільки гострий кут прямокутного трикутника

4 5^{\circ}

, трикутник рівнобедрений. Отже, висота піраміди

H = R = 9

см. Об'єм піраміди:

V = \frac{1}{3} S_{0} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 162 \cdot 9 = 162 \cdot 3 = 486

см

^{3}

. Правильна відповідь: 486