НМТ з предмета «Математика», 24 травня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Спростіть вираз

А
Б(правильна відповідь)
В
Г
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Спрощення алгебраїчного виразу Ділимо чисельник на знаменник по частинах: \frac{6x+12}{3} = \frac{6x}{3} + \frac{12}{3} = 2x + 4 Правильна відповідь: Б

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

Залежність заряду акумуляторної батареї смартфона від часу заряджання відображено на графіку (див. рисунок). За графіком визначте заряд акумуляторної батареї через 1 год 20 хв після початку заряджання.

А50%
Б60%
В70%(правильна відповідь)
Г80%
Д90%

Правильна відповідь

Пояснення

Читання графіка

1

год

20

хв

= 60 + 20 = 80

хв. Знаходимо на осі часу точку

80

хв і зчитуємо значення заряду: За графіком при

t = 80

хв заряд становить

70%

. Правильна відповідь: В

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Довжина сторони ромба ABCD (див. рисунок) виражається цілим числом. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

А38
Б42
В56(правильна відповідь)
Г65
Д82

Правильна відповідь

Пояснення

Периметр ромба Сторона ромба через діагоналі:

a = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}

. Периметр

= 4 a

. З рисунку: діагоналі ромба перпендикулярні. Сторона

a

— ціле число, тому периметр

4 a

кратний

4

. З варіантів

38, 42, 56, 65, 82

— кратне

4

лише

56

. Отже, шукана відповідь —

56

(сторона ромба

a = 14

). Перевірка: шукаємо цілі

p, q

, де

p^{2} + q^{2} = 196

p = 14, q = 0

— вироджений ромб.

p = 10

100 + q^{2} = 196

q^{2} = 96

—

q

не ціле. Цілих напівдіагоналей немає, але умова: ціла сторона, не діагоналі. Тому відповідь

56

є правильною. Правильна відповідь: В

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння

А(–70; –55)
Б(–55; –10)(правильна відповідь)
В(–10; –4)
Г(–4; 3)
Д(3; 11)

Правильна відповідь

Пояснення

Корінь лінійного рівняння \frac{4}{13}x = -3\frac{12}{13} = -\frac{51}{13} x = -\frac{51}{13} \cdot \frac{13}{4} = -\frac{51}{4} = -12{,}75 Визначаємо проміжок:

- 12, 75 \in (- 55; - 10)

. Перевіряємо:

- 55 < - 12, 75 < - 10

✓ Правильна відповідь: Б

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

Бічна грань правильної шестикутної піраміди є

Арівнобедреним трикутником(правильна відповідь)
Бпаралелограмом, що не є прямокутником
Вшестикутником
Гпрямокутним трикутником з гострим кутом 30°
Дпрямокутником

Правильна відповідь

Пояснення

Бічна грань правильної шестикутної піраміди Правильна піраміда: основа — правильний многокутник, вершина — над центром основи. Бічна грань правильної піраміди — рівнобедрений трикутник. Основа трикутника — сторона правильного шестикутника, бічні сторони — бічні ребра піраміди. Бічні ребра рівні між собою, тому трикутник рівнобедрений. Правильна відповідь: А

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

Укажіть парну функцію.

А
Б
В
Г(правильна відповідь)
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Парна функція Функція парна, якщо

f (- x) = f (x)

для всіх

x

з області визначення. А:

y = 3^{2 x}

f (- x) = 3^{- 2 x} \neq = 3^{2 x}

— непарна. Б:

y = sin x + 1

f (- x) = - sin x + 1 \neq = f (x)

— непарна. В:

y = \frac{3}{x}

f (- x) = - \frac{3}{x} = - f (x)

— непарна. Г:

y = 2 x^{4}

f (- x) = 2 (- x)^{4} = 2 x^{4} = f (x)

— парна. ✓ Д:

y = 2 x

f (- x) = - 2 x \neq = f (x)

— непарна. Правильна відповідь: Г

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Існує прямокутна трапеція, навколо якої можна описати коло.
II. Існує прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло.
III. Існує прямокутна трапеція, висота якої вдвічі менша за більшу бічну сторону.

Алише I
Блише II
Влише III
Глише II і III(правильна відповідь)
ДI, II і III

Правильна відповідь

Пояснення

Властивості прямокутної трапеції I. Описане коло існує лише якщо сума протилежних кутів дорівнює

18 0^{\circ}

. У прямокутній трапеції кути

9 0^{\circ}

9 0^{\circ}

α

18 0^{\circ} - α

\to

сума:

9 0^{\circ} + (18 0^{\circ} - α) = 27 0^{\circ} - α \neq = 18 0^{\circ}

при

α \neq = 9 0^{\circ}

\to

хибне. II. Вписане коло існує, якщо суми протилежних сторін рівні.

a + c = b + d

, де

a, c

— основи,

b, d

— бічні. У прямокутній трапеції одна бічна дорівнює висоті

h

, інша — більша бічна. Можна підібрати такі розміри

\to

правильне. III. Висота

h

— менша бічна сторона. Більша бічна завжди більша за

h

. Умова:

h = \frac{більша}{2}

. Наприклад,

h = 1

, більша сторона

= 2

— таке можливо

\to

правильне. Правильні II і III. Правильна відповідь: Г

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

А(правильна відповідь)
Б
В
Г
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Модуль числа

∣ a ∣ = a

, якщо

a \geq 0

, і

∣ a ∣ = - a

, якщо

a < 0

. Порівнюємо

22

3

2 \approx 1, 41

, тому

22 \approx 2, 83 < 3

. Отже,

22 - 3 < 0

, тому: |2\sqrt{2}-3| = 3 - 2\sqrt{2} Правильна відповідь: А

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Масу дорогоцінних каменів вимірюють у каратах. Один карат дорівнює 0,2 г. Обчисліть масу діаманта масою 0,8 карата, подану в кілограмах.

А4·10^–3 кг
Б1,6·10^–2 кг
В1,6·10^–3 кг
Г1,6·10^–4 кг(правильна відповідь)
Д4·10^–4 кг

Правильна відповідь

Пояснення

Переведення одиниць

0, 8

карата

= 0, 8 \cdot 0, 2

= 0, 16

г. 0{,}16 \cdot 10^{-3} = 1{,}6 \cdot 10^{-4} Правильна відповідь: Г

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці O(11; –3; –5). Точка A(–1; 2; –5) належить цій сфері. Яка з наведених точок лежить усередині сфери?

А(11; –3; 10)
Б(11; –3; 6)(правильна відповідь)
В(11; –3; 19)
Г(11; –3; –19)
Д(11; –3; 11)

Правильна відповідь

Пояснення

Точка всередині сфери Точка лежить всередині сфери, якщо відстань від неї до центра менша за радіус. Знаходимо радіус: відстань від

O (11; - 3; - 5)

до

A (- 1; 2; - 5)

: R = \sqrt{(11-(-1))^2+(-3-2)^2+(-5-(-5))^2} = \sqrt{144+25+0} = 13 Перевіряємо точку Б

(11; - 3; 6)

: d = \sqrt{0^2+0^2+(6-(-5))^2} = \sqrt{121} = 11 < 13 Правильна відповідь: Б

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність

А
Б
В
Г
Д(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Квадратна нерівність

∣ u ∣ < a \Leftrightarrow - a < u < a

при

a > 0

. (2x+1)^2 < 9 |2x+1| < 3 -3 < 2x+1 < 3 -4 < 2x < 2 -2 < x < 1 x \in (-2;;1) Правильна відповідь: Д

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

На стороні BC прямокутника ABCD вибрано точку K так, що AK = 8 см, ∠BAK = 30° (див. рисунок). AK – бісектриса кута BAC. Знайдіть площу цього прямокутника.

А см²
Б см²(правильна відповідь)
В см²
Г см²
Д см²

Правильна відповідь

Пояснення

Площа прямокутника

A K

— бісектриса

∠ B A C

, тому

∠ B A K = ∠ K A C = 3 0^{\circ}

, звідси

∠ B A C = 6 0^{\circ}

. У прямокутному трикутнику

A B K

∠ A B K = 9 0^{\circ}

∠ B A K = 3 0^{\circ}

A K = 8

. Прямий кут при

B

, тому

A B

— катет біля кута

B A K

: AB = AK \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} BK = AK \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 У прямокутнику

A D = BC

. Знаходимо

A D

через

∠ B A C = 6 0^{\circ}

: \mathrm{tg}(\angle BAC) = \frac{AD}{AB} AD = AB \cdot \mathrm{tg},60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12 S = AB \cdot AD = 4\sqrt{3} \cdot 12 = 48\sqrt{3} Правильна відповідь: Б

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

Знайдіть похідну функції

А(правильна відповідь)
Б
В
Г
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Похідна функції

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

. Похідна

\frac{1}{x}

— це

- \frac{1}{x ^{2}}

. Похідна константи дорівнює

0

. f(x) = 2 + \frac{3}{x} = 2 + 3x^{-1} f'(x) = 0 + 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{3}{x^2} Правильна відповідь: А

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь

Якщо

– розв’язок системи, то

А4,5
Б9
В1,5(правильна відповідь)
Г7,5
Д–3

Правильна відповідь

Пояснення

Система рівнянь З другого рівняння:

y = 2 x - 12

. Підставляємо у перше рівняння: 2^{y+2x} = 64 = 2^6 \Rightarrow y + 2x = 6 (2x-12) + 2x = 6 4x = 18 \Rightarrow x = 4{,}5 y = 2 \cdot 4{,}5 - 12 = -3 x_0 + y_0 = 4{,}5 + (-3) = 1{,}5 Правильна відповідь: В

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

А1
Б
В
Г
Д–1(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Тригонометричне спрощення

sin (\frac{3 π}{2} - α) = - cos α

— формула зведення. \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos\alpha} = \frac{-\cos\alpha}{\cos\alpha} = -1 Правильна відповідь: Д

Завдання 16

на встановлення відповідності

Діагоналі AC і BD паралелограма ABCD перетинаються в точці O (див. рисунок). З точки O на сторону AD опущено перпендикуляр OK = 15 см, BC = 50 см, KD = 17 см. Узгодьте відрізок (1–3) та його довжину (А–Д).

1Висота, проведена до AD
2Проєкція AB на AD
3CD

А14 см
Б16 см
В30 см
Г50 см
Д34 см

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — Д

Пояснення

Пункт 1 Висота до $A D$

O

— точка перетину діагоналей паралелограма:

A O = OC

BO = O D

O K ⊥ A D

O K = 15

O

— середина діагоналей. Висота паралелограма до

A D

— це подвоєна відстань від

O

до

A D

: h = 2 \cdot OK = 2 \cdot 15 = 30 Правильна відповідь: В Пункт 2 Проєкція $A B$ на $A D$

A D = BC = 50

(протилежні сторони паралелограма).

K

— основа перпендикуляра з

O

на

A D

A K = A D - KD = 50 - 17 = 33

O

— середина

A C

, тому проєкція

A O

на

A D = A K = 33

. Проєкція

A B = 2 \cdot A K - A D

: 2 \cdot 33 - 50 = 16 Правильна відповідь: Б Пункт 3 Відрізок $C D$

C D = A B

(протилежні сторони паралелограма). Знаходимо

A B

через властивість діагоналей паралелограма: 2(AB^2 + AD^2) = AC^2 + BD^2 AO = \sqrt{AK^2 + OK^2} = \sqrt{33^2+15^2} = \sqrt{1314} OD = \sqrt{KD^2 + OK^2} = \sqrt{17^2+15^2} = \sqrt{514} 2(AB^2 + 50^2) = 4 \cdot 1314 + 4 \cdot 514 2AB^2 + 5000 = 7312 AB^2 = 1156 \Rightarrow AB = 34 CD = AB = 34 Правильна відповідь: Д

Завдання 17

на встановлення відповідності

Установіть відповідність між твердженням (1–3) та прямою, зображеною на рисунку (А–Д), для якої це твердження є правильним.

1не має спільних точок з функцією
2є графіком функції
3кутовий коефіцієнт прямої є від’ємним числом

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Д; 3 — Г

Пояснення

Пункт 1 Пряма без спільних точок з $y = lo g_{2} (x - 1)$ Область визначення

y = lo g_{2} (x - 1)

x > 1

. Графік В — вертикальна пряма

x = 1

. При

x = 1

логарифм не визначений, а при

x < 1

— теж. Вертикальна пряма

x = 1

не має спільних точок з графіком логарифма (

x > 1

). Правильна відповідь: В Пункт 2 Графік функції $y = \frac{2 x}{3} - 2$

k = \frac{2}{3} > 0

(функція зростаюча),

b = - 2

(перетинає вісь

y

в точці

(0; - 2)

). Нуль функції:

0 = \frac{2 x}{3} - 2 \Rightarrow x = 3

. Графік Д: проходить через

(0; - 2)

(3; 0)

з додатним нахилом. ✓ Правильна відповідь: Д Пункт 3 Від’ємний кутовий коефіцієнт Від’ємний кутовий коефіцієнт означає спадну пряму. Графік Г: проходить через

(- 2; 0)

(0; - 2)

, спадна.

k = - 1 < 0

. ✓ Правильна відповідь: Г

Завдання 18

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А–Д).

А1
Б
В
Г3
Д81

Правильна відповідь

1 — Д; 2 — Б; 3 — А

Пояснення

Пункт 1 $\frac{3}{3 ^{- 3}}$

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

. \frac{3}{3^{-3}} = 3^{1-(-3)} = 3^4 = 81 Правильна відповідь: Д Пункт 2 $lo g_{8} 32$

lo g_{a^{n}} b = \frac{1}{n} lo g_{a} b

lo g_{2} 2 = 1

. \log_8 \sqrt[3]{2} = \log_{2^3} 2^{1/3} = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9} Правильна відповідь: Б Пункт 3 $2 (cos 3 0^{\circ} - 0, 5) (cos 3 0^{\circ} + 0, 5)$

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

. \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos^2 30^\circ = \frac{3}{4} 2(\cos 30^\circ - 0{,}5)(\cos 30^\circ + 0{,}5) = 2(\cos^2 30^\circ - 0{,}25) = = 2\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1 Правильна відповідь: А

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Знайдіть найменше ціле значення a, за якого коло

двічі перетинає вісь ординат.

Правильна відповідь

-5

Пояснення

Коло двічі перетинає вісь ординат Коло двічі перетинає вісь ординат (

x = 0

), якщо відстань від центра до осі менша за радіус. Центр кола:

(11 + 3 a; - 2)

, радіус

r = 7

. Відстань від центра до осі ординат (

x = 0

): |11 + 3a| < 7 -7 < 11 + 3a < 7 -18 < 3a < -4 -6 < a < -\frac{4}{3} \approx -1{,}33 Цілі значення

a

- 5, - 4, - 3, - 2

. Найменше ціле значення:

a = - 5

. Правильна відповідь: -5

Завдання 20

з відкритою відповіддю

За умовами договору позичальник повинен повернути кредит протягом 12 місяців. Першого місяця він поверне 1300 грн, а кожного наступного місяця — на 50 грн менше, ніж попереднього. Визначте загальну суму (у грн), яку повинен позичальник повернути протягом 12 місяців. У відповідь впишіть знайдену суму, поділену на 10.

Правильна відповідь

1230

Пояснення

Сума арифметичної прогресії Сума арифметичної прогресії:

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

. a_1 = 1300,; d = -50,; n = 12 S_{12} = \frac{12}{2}(2 \cdot 1300 + 11 \cdot (-50)) = 6(2600 - 550) = 6 \cdot 2050 = 12300 S_{12} \div 10 = 1230 Правильна відповідь: 1230

Завдання 21

з відкритою відповіддю

Фермер планує висадити 6 рядів саджанців: 4 ряди — кісточкові (абрикос, персик, вишня, слива) та 2 ряди — плодові (яблуня та груша). У кожному ряду мають бути однакові саджанці. Скільки всього варіантів оформлення саду в нього є, якщо 4 ряди кісточкових саджанців мають бути поруч?

Правильна відповідь

Пояснення

Комбінаторика Якщо кілька елементів мають бути поруч — об’єднуємо їх у блок і рахуємо перестановки блоків, потім перестановки всередині блоку.

4

ряди кісточкових — разом (як один блок). Маємо

3

об’єкти: [блок кісточкових], яблуня, груша. Кількість перестановок

3

об’єктів:

3! = 6

. Всередині блоку

4

кісточкові можна переставити:

4! = 24

. 3! \cdot 4! = 6 \cdot 24 = 144 Правильна відповідь: 144

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є прямокутний трикутник. Визначте об’єм цієї піраміди (у см³), якщо площа її основи дорівнює 288 см².

Правильна відповідь

1152

Пояснення

Об’єм піраміди Об’єм піраміди:

V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h

, де

S

— площа основи. Основа — квадрат зі стороною

a

a^{2} = 288 \Rightarrow a = 122

. Діагональ основи:

d = a 2 = 24

. Діагональний переріз — трикутник з основою

d = 24

і двома бічними ребрами

l

. Переріз прямокутний (прямий кут при вершині піраміди): l^2 + l^2 = d^2 \Rightarrow 2l^2 = 576 \Rightarrow l = 12\sqrt{2} Висота піраміди через теорему Піфагора: h^2 = l^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 288 - 144 = 144 \Rightarrow h = 12 V = \frac{1}{3} \cdot 288 \cdot 12 = 1152 Правильна відповідь: 1152