НМТ з предмета «Математика», 17 травня: відповіді та розбір

На цій сторінці зібрано всі 22 завдання варіанта разом із правильними відповідями. До кожного завдання є покрокове пояснення редакції «Зливи НМТ». Типи завдань: з однією правильною відповіддю — 15; з відкритою відповіддю — 4; на встановлення відповідності — 3.

Як працювати з розбором

Спершу пройдіть варіант самостійно, без підглядання у відповіді, — так розбір покаже реальні прогалини, а не впізнавання знайомих завдань.
Для кожної помилки визначте причину: не знали правило чи факт, помилилися в обчисленні або неуважно прочитали умову.
Прочитайте пояснення й перепишіть ключовий крок своїми словами. Через два-три дні розв’яжіть завдання ще раз на чистому аркуші.

Пройти тест онлайн Гайд з предмета

Завдання 1

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть нерівність

А
Б
В
Г(правильна відповідь)
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Показникова нерівність Якщо основа

a > 1

, то

a^{x} \leq a^{y} \Leftrightarrow x \leq y

(функція зростає). Запишемо праву частину як степінь з основою 7: \frac{1}{49} = 7^{-2} Нерівність набуває вигляду: 7^x \le 7^{-2} Оскільки основа

7 > 1

, показникова функція зростає — знак нерівності зберігається: x \le -2 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty;,-2] Правильна відповідь: Г

Завдання 2

з однією правильною відповіддю

На діаграмі відображено розподіл кількості працівників фірми за віком. За даними діаграми визначте, у скільки разів кількість працівників віком від 20 до 29 років перевищує кількість працівників, яким 60 і більше років.

А10
Б32
В18
Г9(правильна відповідь)
Д6

Правильна відповідь

Пояснення

Читання стовпчастої діаграми За діаграмою зчитуємо значення двох стовпців: Вік 20–29 років: 36 працівників. Вік 60–70 років: 4 працівники. Знаходимо відношення: 36 \div 4 = 9 Правильна відповідь: Г

Завдання 3

з однією правильною відповіддю

Сторона CD паралелограма ABCD утворює з прямою AD кут, градусна міра якого дорівнює 55° (див. рисунок). Визначте градусну міру кута MAB.

А35°
Б125°(правильна відповідь)
В145°
Г55°
Д135°

Правильна відповідь

Пояснення

Кути паралелограма У паралелограмі протилежні сторони паралельні. Односторонні кути при паралельних прямих і січній в сумі дають

18 0^{\circ}

A B ∥ C D

(протилежні сторони паралелограма

A BC D

). Кут

C D A = 5 5^{\circ}

(з рисунку).

∠ D A B

∠ C D A

— односторонні кути при паралельних

A B

C D

і січній

A D

: \angle DAB = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ

M A

— продовження прямої

D A

за точку

A

, тому

M

A

D

лежать на одній прямій. Кут

M A B

= кут

D A B

(спільний кут, дивимось від тієї самої вершини

A

): \angle MAB = 125^\circ Правильна відповідь: Б

Завдання 4

з однією правильною відповіддю

А1,2
Б–6
В6(правильна відповідь)
Г7,8
Д–7,8

Правильна відповідь

Пояснення

Обчислення виразу з модулем

∣ a ∣ = a

, якщо

a \geq 0

, і

∣ a ∣ = - a

, якщо

a < 0

. Обчислюємо вираз під модулем: 2 - 80 \cdot 0{,}1 = 2 - 8 = -6 Оскільки

- 6 < 0

, модуль змінює знак: |-6| = 6 Правильна відповідь: В

Завдання 5

з однією правильною відповіддю

Трикутна призма має

Адві основи та три бічні грані(правильна відповідь)
Бтри основи та дві бічні грані
Вдві основи та чотири бічні грані
Годну основу та чотири бічні грані
Додну основу та три бічні грані

Правильна відповідь

Пояснення

Елементи трикутної призми Призма має дві основи і бічні грані. Кількість бічних граней = кількість сторін основи. Основа трикутної призми — трикутник (3 сторони). Отже: 2 основи (верхня і нижня) і 3 бічні грані. Правильна відповідь: А

Завдання 6

з однією правильною відповіддю

На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [–5; 5]. Позначте властивість, яку має ця функція.

Анабуває лише додатних значень
Бпарна
Вмає дві точки екстремуму(правильна відповідь)
Гнепарна
Дзростає на всій області визначення

Правильна відповідь

Пояснення

Властивості функції за графіком Аналізуємо графік на рисунку: А — «набуває лише додатних значень»: графік опускається нижче осі

O x

\to

хибне. Б — «парна»: графік не симетричний відносно осі

O y

\to

хибне. В — «має дві точки екстремуму»: на графіку є локальний максимум (приблизно

x = - 2

) і локальний мінімум (приблизно

x = 1, 5

)

\to

правильне. Г — «непарна»:

f (- 5) \neq = - f (5)

, графік не симетричний відносно початку координат

\to

хибне. Д — «зростає на всій області визначення»: функція спадає на деяких ділянках

\to

хибне. Правильна відповідь: В

Завдання 7

з однією правильною відповіддю

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Діагоналі будь-якого прямокутника є бісектрисами його кутів.
II. Діагоналі будь-якого прямокутника ділять його на чотири рівні трикутники.
III. Діагоналі будь-якого прямокутника рівні.

Алише I
Блише II
Влише II та III
Глише I та III
Длише III(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Властивості прямокутника Властивості прямокутника: діагоналі рівні. Бісектрисами кутів діагоналі є лише у квадрата. I — «діагоналі є бісектрисами кутів»: це властивість квадрата, не будь-якого прямокутника

\to

хибне. II — «діагоналі ділять прямокутник на чотири рівні трикутники»: діагоналі ділять на два пари рівних трикутників, але всі чотири рівними не обов’язково

\to

хибне. III — «діагоналі рівні»: класична властивість прямокутника

\to

правильне. Правильне лише твердження III. Правильна відповідь: Д

Завдання 8

з однією правильною відповіддю

Обчисліть

А(правильна відповідь)
Б1
В
Г3
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Спрощення виразу з коренем

a^{2} = ∣ a ∣

для будь-якого

a

. \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}| Порівнюємо

2

5

: оскільки

5 \approx 2, 24 > 2

, маємо

2 - 5 < 0

. Тому модуль змінює знак: |2-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-2 Правильна відповідь: А

Завдання 9

з однією правильною відповіддю

Ціна акції компанії зросла на 10 % від її початкової ціни. Якою була початкова ціна (у грн) цієї акції, якщо її ціна тепер становить 990 грн?

А900(правильна відповідь)
Б1089
В891
Г1000
Д980

Правильна відповідь

Пояснення

Задача на відсотки Якщо ціна зросла на

p %

, нова ціна

=

стара

\cdot (1 + p /100)

. Нехай початкова ціна —

x

грн. Ціна зросла на

10%

, тобто нова ціна

= 1, 1 x

: 1{,}1 \cdot x = 990 x = \frac{990}{1{,}1} = 900 Правильна відповідь: А

Завдання 10

з однією правильною відповіддю

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у початку координат, якій належить точка A(0; 0; –5). Яка з наведених точок також належить цій сфері?

А(5; 5; 5)
Б(0; 0; 10)
В(0; 0; 5)(правильна відповідь)
Г(0; 1; 4)
Д(5; 5; 0)

Правильна відповідь

Пояснення

Точка на сфері Рівняння сфери з центром

O (0; 0; 0)

і радіусом

r

x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}

. Знаходимо радіус сфери — відстань від центра

O (0; 0; 0)

до точки

A (0; 0; - 5)

: r = |OA| = \sqrt{0^2+0^2+(-5)^2} = 5 Рівняння сфери: x^2 + y^2 + z^2 = 25 Перевіряємо кожну з точок — підставляємо у рівняння. Точка

(0; 0; 5)

0^{2} + 0^{2} + 5^{2} = 25

. Лише ця точка задовольняє рівняння сфери. Правильна відповідь: В

Завдання 11

з однією правильною відповіддю

Обчисліть суму коренів рівняння

А2
Б0
В6
Г–6(правильна відповідь)
Д–3

Правильна відповідь

Пояснення

Сума коренів рівняння Розкриваємо рівняння: 15(x+3)^2 = 375 (x+3)^2 = 25 Беремо корінь з обох частин (враховуємо

\pm

): x + 3 = \pm 5 x_1 = 5 - 3 = 2, \qquad x_2 = -5 - 3 = -8 Сума коренів: x_1 + x_2 = 2 + (-8) = -6 Правильна відповідь: Г

Завдання 12

з однією правильною відповіддю

Периметр ромба дорівнює 80 см, а його висота — 12 см. Визначте довжину (у см) меншої діагоналі ромба.

А
Б(правильна відповідь)
В20
Г16
Д

Правильна відповідь

Пояснення

Менша діагональ ромба Висота ромба

h = a sin α

. Менша діагональ:

d_{1} = 2 a sin \frac{α}{2}

. З периметра знаходимо сторону ромба: a = 80 \div 4 = 20 Знаходимо синус кута через висоту: h = a \sin\alpha \Rightarrow \sin\alpha = \frac{h}{a} = \frac{12}{20} = 0{,}6 Знаходимо косинус кута за основною тригонометричною тотожністю: \cos\alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8 Менша діагональ відповідає гострому куту: d_1 = 2a\sin\frac{\alpha}{2} Застосовуємо формулу зниження степеня: \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2} = \frac{1-0{,}8}{2} = 0{,}1 d_1 = 2 \cdot 20 \cdot \sqrt{0{,}1} = 40\sqrt{0{,}1} = 4\sqrt{10} Правильна відповідь: Б

Завдання 13

з однією правильною відповіддю

У геометричній прогресії (b_n) відомо, що b₁ = 32, b₂ = 8. Обчисліть

А4
Б
В7
Г
Д16(правильна відповідь)

Правильна відповідь

Пояснення

Геометрична прогресія Знаменник прогресії:

q = b_{2} / b_{1}

. Загальний член:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

. Знаходимо знаменник прогресії: q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} Обчислюємо відношення через властивість геометричної прогресії: \frac{b_5}{b_7} = \frac{b_1 q^4}{b_1 q^6} = \frac{1}{q^2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2} = 16 Правильна відповідь: Д

Завдання 14

з однією правильною відповіддю

Розв’яжіть систему рівнянь

Якщо

– розв’язок системи, то

А–8(правильна відповідь)
Б12
В6
Г8
Д–6

Правильна відповідь

Пояснення

Система рівнянь З першого рівняння (перехресне множення): 5x = 2x + y ;\Rightarrow; y = 3x Підставляємо

y = 3 x

у друге рівняння: 4x + 2 = 3x ;\Rightarrow; x = -2 Знаходимо

y

: y = 3 \cdot (-2) = -6 Обчислюємо суму: x_0 + y_0 = -2 + (-6) = -8 Правильна відповідь: А

Завдання 15

з однією правильною відповіддю

Обчисліть значення виразу log₅(5ab), якщо log₅(ab) = 0,7.

А1,7(правильна відповідь)
Б5,7
В5^1,7
Г0,7
Д3,5

Правильна відповідь

Пояснення

Властивості логарифмів

lo g_{a} (mn) = lo g_{a} m + lo g_{a} n

lo g_{a} a = 1

. Розкладаємо добуток під логарифмом: \log_5(5ab) = \log_5 5 + \log_5(ab) \log_5 5 = 1 \log_5(5ab) = 1 + 0{,}7 = 1{,}7 Правильна відповідь: А

Завдання 16

на встановлення відповідності

Діагональ AC рівнобічної трапеції ABCD утворює зі стороною CD кут 120° (див. рисунок). Довжини основ трапеції дорівнюють 12 см і 30 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює
2Довжина проєкції сторони AB на пряму AD дорівнює
3Довжина радіуса кола, описаного навколо трапеції, дорівнює

А9 см.
Б см.
В21 см.
Г см.
Д18 см.

Правильна відповідь

1 — В; 2 — А; 3 — Г

Пояснення

Пункт 1 Середня лінія — $m$ Середня лінія трапеції

= \frac{a + b}{2}

, де

a

b

— основи. m = \frac{12 + 30}{2} = \frac{42}{2} = 21 Правильна відповідь: В Пункт 2 Проєкція сторони $A B$ на $A D$ У рівнобічній трапеції різниця основ ділиться порівну між двома проєкціями бічних сторін:

\frac{A D - BC}{2}

. Кут

∠ A C D = 12 0^{\circ}

, тому кут при основі

A D

: \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ Проєкція

A B

на

A D

дорівнює відрізку між основами з одного боку: \frac{AD - BC}{2} = \frac{30 - 12}{2} = 9 Правильна відповідь: А Пункт 3 Радіус описаного кола — $R$ Теорема синусів:

\frac{a}{s i n A} = 2 R

. Кут при основі:

∠ A D C = 6 0^{\circ}

. Знаходимо бічну сторону

A B

через прямокутний трикутник: AB = \frac{\frac{30-12}{2}}{\cos 60^\circ} = \frac{9}{0{,}5} = 18 Діагональ

A C

— хорда описаного кола трапеції. У трикутнику

A C D

застосовуємо теорему синусів: \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R Знаходимо

A C

через теорему косинусів (

∠ A D C = 6 0^{\circ}

A D = 30

C D = 18

): AC^2 = 30^2 + 18^2 - 2 \cdot 30 \cdot 18 \cdot \cos 60^\circ = 900 + 324 - 540 = 684 AC = \sqrt{684} = 6\sqrt{19} R = \frac{AC}{2\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{19}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{57}}{3} = 2\sqrt{19} Правильна відповідь: Г

Завдання 17

на встановлення відповідності

Доберіть до функції (1–3) координатні чверті (А–Д), у яких лежить графік цієї функції (координатні чверті показано на рисунку).

Алише I та II
Блише I та III
Влише III та IV
Глише I та IV
ДI, II, III та IV

Правильна відповідь

1 — В; 2 — Б; 3 — Д

Пояснення

Пункт 1 Координатні чверті — $y = - 3 - x^{2}$ Перепишемо функцію: y = -(x^2 + 3) Оскільки

x^{2} \geq 0

для будь-якого

x

, маємо

x^{2} + 3 \geq 3 > 0

. Отже,

y = - (x^{2} + 3) < 0

завжди — графік завжди нижче осі

O x

x < 0

y < 0

— III чверть.

x > 0

y < 0

— IV чверть. Графік лише в III та IV чвертях. Правильна відповідь: В Пункт 2 Координатні чверті — $y = \frac{3}{x$ Функція

y = k / x

(гіпербола): при

k > 0

графік у I і III чвертях.

k = 3 > 0

, тому:

x > 0 \Rightarrow y = 3/ x > 0

— I чверть.

x < 0 \Rightarrow y = 3/ x < 0

— III чверть. Графік лише в I та III чвертях. Правильна відповідь: Б Пункт 3 Координатні чверті — $y = tg x$

y = tg x

— непарна функція, визначена на всіх

x

, крім

\frac{π}{2} + πn

. y = \mathrm{tg},x Функція непарна:

tg (- x) = - tg x

, тому графік симетричний відносно початку координат. На проміжку

(- \frac{π}{2}; 0)

x < 0

tg x < 0

— III чверть. На проміжку

(0; \frac{π}{2})

x > 0

tg x > 0

— I чверть. На проміжку

(\frac{π}{2}; π)

x > 0

tg x < 0

— IV чверть. На проміжку

(- π; - \frac{π}{2})

x < 0

tg x > 0

— II чверть. Графік проходить через всі чотири координатні чверті. Правильна відповідь: Д

Завдання 18

на встановлення відповідності

Узгодьте вираз (1–3) й точку (А–Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу, де

— основа натурального логарифма (число Ейлера).

1
2ln 1
3

Правильна відповідь

1 — Д; 2 — В; 3 — Б

Пояснення

Пункт 1 Вираз $2 e \cdot \frac{1}{e}$ 2e \cdot \frac{1}{e} = 2 На числовій прямій:

K = - 2

L = - 1

M = 0

N = 1

P = 2

. Значення

2

відповідає точці

P

. Правильна відповідь: Д Пункт 2 Вираз $ln 1$

ln 1 = 0

, оскільки

e^{0} = 1

. \ln 1 = 0 Значення

0

відповідає точці

M

. Правильна відповідь: В Пункт 3 Вираз $(e - 1) (e + 1) - e^{2}$

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

— формула різниці квадратів. (e-1)(e+1) = e^2 - 1 e^2 - 1 - e^2 = -1 Значення

- 1

відповідає точці

L

. Правильна відповідь: Б

Завдання 19

з відкритою відповіддю

Визначте кількість цілих значень a, що належать проміжку [–9; 9], за кожного з яких корінь рівняння

є додатним.

Правильна відповідь

Пояснення

Кількість цілих значень параметра Розв’язуємо рівняння відносно

x

: ax - 2x = a + 5 ;\Rightarrow; x(a-2) = a+5 При

a \neq = 2

: x = \frac{a+5}{a-2} Умова

x > 0

: дріб додатний, коли чисельник і знаменник однакового знака. Випадок 1:

a + 5 > 0

a - 2 > 0

, тобто

a > 2

. Цілі

a \in [- 9; 9]

{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

\to

7

значень. Випадок 2:

a + 5 < 0

a - 2 < 0

, тобто

a < - 5

. Цілі

a \in [- 9; 9]

{- 9, - 8, - 7, - 6}

\to

4

значення. При

a = 2

рівняння не має розв’язків (ділення на

0

). При

a = - 5

x = 0

— не підходить (потрібне

x > 0

). Разом:

7 + 4 = 11

. Правильна відповідь: 11

Завдання 20

з відкритою відповіддю

Функція

є первісною для функції

на проміжку

. Обчисліть

Правильна відповідь

Пояснення

Визначений інтеграл

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

, де

F (x)

— первісна. F(x) = 4x^3 - 3x^2 + 9 \int_0^2 f(x),dx = F(2) - F(0) F(2) = 4 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 9 = 32 - 12 + 9 = 29 F(0) = 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 9 = 9 \int_0^2 f(x),dx = 29 - 9 = 20 Правильна відповідь: 20

Завдання 21

з відкритою відповіддю

Дарина бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має 4 різні листівки такої тематики й конверти жовтого й синього кольорів. Для кожного із чотирьох адресатів Дарина вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Дарини є варіантів такого вибору?

Правильна відповідь

Пояснення

Комбінаторика Правило множення: якщо є

n_{1}

способів зробити першу дію і

n_{2}

— другу, то разом

n_{1} \cdot n_{2}

способів. Кожен з

4

адресатів отримує різну листівку (без повторень) і один з

2

конвертів.

1

-й адресат: вибір з

4

листівок

\times

2

конверти =

8

варіантів.

2

-й адресат: вибір з

3

листівок

\times

2

конверти =

6

варіантів.

3

-й адресат: вибір з

2

листівок

\times

2

конверти =

4

варіанти.

4

-й адресат: вибір з

1

листівки

\times

2

конверти =

2

варіанти. За правилом множення: 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384 Правильна відповідь: 384

Завдання 22

з відкритою відповіддю

Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є рівносторонній трикутник, висота піраміди дорівнює

см. Визначте площу S (у см²) бічної поверхні цієї піраміди. У відповіді запишіть значення

Правильна відповідь

Пояснення

Площа бічної поверхні піраміди Площа бічної поверхні правильної піраміди:

S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot m

, де

P

— периметр основи,

m

— апофема. Нехай

a

— сторона основи (квадрат),

h = 46

— висота піраміди. Діагональ квадратної основи: d = a\sqrt{2} Діагональний переріз — рівносторонній трикутник, отже його сторона = бічне ребро

l

. У рівностороннього трикутника: висота = сторона

\cdot \frac{3}{2}

. Але висота перерізу =

h

піраміди, тому

l = d = a 2

. Зв’язок

h

a

l

через теорему Піфагора (висота, половина діагоналі, бічне ребро): l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 ;\Rightarrow; 2a^2 = h^2 + \frac{a^2}{2} h^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} Підставляємо

h = 46 \Rightarrow h^{2} = 96

: 96 = \frac{3a^2}{2} ;\Rightarrow; a^2 = 64 ;\Rightarrow; a = 8 Апофема (відстань від вершини піраміди до середини сторони основи): m = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{96 + 16} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} Периметр основи:

P = 4 a = 32

см. S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 4\sqrt{7} = 64\sqrt{7} \frac{S}{\sqrt{7}} = 64 Правильна відповідь: 64