Математика · тема 2 з 29

Відношення, пропорції, відсотки, текстові задачі

Відношення, основна властивість пропорції, пряма й обернена пропорційність, задачі на відсотки та складні відсотки, суміші й розчини з прикладами НМТ.

Головне за хвилину

1
Відношення $a : b$ показує, у скільки разів $a$ більше за $b$ (або яку частину $a$ становить від $b$ ).
2
Пропорція $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ має основну властивість: $a d = b c$ .
3
Відсоток — це сота частка: $1% = 0, 01$ . Знайти $p %$ від числа $A$ означає обчислити $A \cdot \frac{p}{100}$ .
4
У задачах на зміну величини на $p %$ множник дорівнює $1 \pm \frac{p}{100}$ ; послідовні зміни множаться.
5
Текстові задачі розв’язуй так: введи змінну, склади рівняння за умовою, розв’яжи і перевір відповідь на здоровий глузд.

Теорія

Відношення і пропорція

Відношення двох величин — частка від ділення однієї на іншу. Якщо числа діляться у відношенні $2 : 3$ , то перше складає $2$ частини, а друге $3$ частини, усього $5$ частин.

Пропорція — рівність двох відношень. Крайні члени $a$ і $d$ , середні $b$ і $c$ :

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a d = b c (b, d \neq = 0) .$

Невідомий член знаходять за правилом хреста: $x : 4 = 15 : 6 \Rightarrow x = \frac{4 \cdot 15}{6} = 10$ .

Пряма й обернена пропорційність

Пряма: величини збільшуються разом, їхнє відношення стале $(\frac{y}{x} = k)$ . Більше товару — більша вартість.
Обернена: одна збільшується, а інша зменшується, стала добуток $(x y = k)$ . Більше робітників — менше днів на ту саму роботу.

Відсотки

Три базові задачі (нехай $A$ — ціле, $B$ — частина, $p$ — відсоток):

Що шукаємо	Формула
Частину за цілим	$B = A \cdot \frac{p}{100}$
Ціле за частиною	$A = B : \frac{p}{100}$
Скільки відсотків	$p = \frac{B}{A} \cdot 100%$

Зміна на відсотки

Якщо величину $A$ збільшили на $p %$ , вона стала $A (1 + \frac{p}{100})$ . Якщо зменшили — $A (1 - \frac{p}{100})$ .

Послідовні зміни множаться. Збільшення на $20%$ , а потім зменшення на $20%$ дає $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , тобто підсумкове зменшення на $4%$ , а не нуль.

Складні відсотки. Якщо внесок $S$ щороку росте на $p %$ , то через $n$ років:

$S_{n} = S (1 + \frac{p}{100})^{n} .$

Суміші та розчини

Концентрація $= \frac{маса речовини}{маса розчину} \cdot 100%$ . Маса чистої речовини під час змішування додається, і саме на цьому складають рівняння:

$m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2} = (m_{1} + m_{2}) c .$

Задачі на спільну роботу та рух

Якщо виконавець виконує роботу за $t$ годин, його продуктивність $\frac{1}{t}$ за годину. Продуктивності складаються: разом за $\frac{1}{\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}}$ годин. Для руху $S = v t$ .

Порада. Усі відсотки записуй десятковими дробами ( $35% = 0, 35$ ) і працюй з множниками. Так менше помилитися в послідовних змінах.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Ціну товару спочатку підвищили на $25%$ , а потім знизили на $20%$ . Яка тепер ціна, якщо спочатку товар коштував 800 грн?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Після підвищення: $800 \cdot 1, 25 = 1000$ грн. Після зниження: $1000 \cdot 0, 8 = 800$ грн. Множники: $1, 25 \cdot 0, 8 = 1$ , тому ціна не змінилася.

Відповідь: 800 грн.

Завдання 2

Сума 5000 грн покладена в банк під $10%$ річних зі щорічною капіталізацією. Скільки буде на рахунку через 2 роки?

Показати розвʼязання

Розв’язання. $S_{2} = 5000 \cdot 1, 1^{2} = 5000 \cdot 1, 21 = 6050$ .

Відповідь: 6050 грн.

Завдання 3

Скільки кілограмів $30%$ -го розчину солі треба додати до 6 кг $10%$ -го розчину, щоб отримати $20%$ -й розчин?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Нехай додали $x$ кг. Маса солі: $0, 3 x + 0, 1 \cdot 6 = 0, 2 (x + 6)$ . Розкриваємо дужки: $0, 3 x + 0, 6 = 0, 2 x + 1, 2$ , звідки $0, 1 x = 0, 6$ , тобто $x = 6$ .

Відповідь: 6 кг.

Завдання 4

Один майстер виконує замовлення за 6 годин, другий за 3 години. За скільки годин вони виконають замовлення разом?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Продуктивність за годину: $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ . Отже, разом вони впораються за $2$ години.

Відповідь: 2 години.

Де найчастіше помиляються

Вважають, що $+ 20%$ і $- 20%$ скасовують одне одного. Другий відсоток береться від нової величини.
Знаходять відсоток від неправильного цілого. Питай себе: від чого саме рахується $p %$ ?
Для складних відсотків застосовують просте множення $S (1 + n \cdot p)$ замість степеня.
Плутають пряму й обернену пропорційність і ставлять відношення «догори дриґом».
У розчинах додають концентрації замість мас речовини.

Шпаргалка

Тема	Формула
Основна властивість пропорції	$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a d = b c$
$p %$ від $A$	$A \cdot \frac{p}{100}$
Збільшення на $p %$	$A (1 + \frac{p}{100})$
Складні відсотки	$S (1 + \frac{p}{100})^{n}$
Спільна робота	$\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{1}{t}$
Розчини	$m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2} = (m_{1} + m_{2}) c$
Рух	$S = v t$

Попередня темаДійсні числа Наступна темаПоказникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення