Математика · тема 3 з 29

Показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази

Властивості степенів, логарифмів і тригонометричні тотожності: основна тотожність, формули подвійного кута, зведення, значення у таблиці та приклади НМТ.

Головне за хвилину

1
Степені з однаковою основою: при множенні показники додаються, при діленні віднімаються, при піднесенні до степеня множаться.
2
$lo g_{a} b = c$ означає $a^{c} = b$ , де $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ . Основна логарифмічна тотожність: $a^{l o g_{a} b} = b$ .
3
Логарифм добутку — сума логарифмів, частки — різниця, а показник степеня виноситься множником.
4
Основна тригонометрична тотожність $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ та значення для кутів $30°$ , $45°$ , $60°$ розв’язують більшість завдань.
5
Для спрощення виразів застосовуй формули подвійного кута і формули зведення.

Теорія

Властивості степенів

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{mn}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n} .$

Також $a^{0} = 1$ ( $a \neq = 0$ ), $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ .

Логарифми

$lo g_{a} 1 = 0, lo g_{a} a = 1, a^{l o g_{a} b} = b .$

$lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c, lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c .$

$lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b, lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b .$

Перехід до нової основи:

$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}, lo g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a} .$

Десятковий логарифм $l g b = lo g_{10} b$ , натуральний $ln b = lo g_{e} b$ .

Увага. Формула $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ працює лише коли $b > 0$ і $c > 0$ . Наприклад, $lo g_{2} ((- 4) \cdot (- 8))$ існує, а окремі логарифми — ні.

Тригонометричні тотожності

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1, tg α = \frac{s i n α}{c o s α}, tg α \cdot ctg α = 1.$

Подвійний кут:

$sin 2 α = 2 sin α cos α, cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1.$

Формули додавання:

$sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β, cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β .$

Таблиця значень

$α$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	не існує

Парність і зведення

$cos (- α) = cos α$ , $sin (- α) = - sin α$ , $tg (- α) = - tg α$ .

Правило зведення: для кутів $π \pm α$ , $2 π - α$ функція зберігається, для $\frac{π}{2} \pm α$ змінюється на співфункцію ( $sin \leftrightarrow cos$ , $tg \leftrightarrow ctg$ ), а знак визначається чвертю вихідної функції. Наприклад, $sin (π + α) = - sin α$ , $cos (\frac{π}{2} + α) = - sin α$ .

Радіанна міра: $180° = π$ рад, отже $30° = \frac{π}{6}$ , $45° = \frac{π}{4}$ , $60° = \frac{π}{3}$ .

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Обчисли $lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 + 3^{l o g_{3} 5}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 16 = 4$ . За основною логарифмічною тотожністю $3^{l o g_{3} 5} = 5$ . Разом $4 + 5 = 9$ .

Відповідь: 9.

Завдання 2

Знайди значення $\frac{sin 2 α}{cos α}$ при $sin α = 0, 3$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $sin 2 α = 2 sin α cos α$ , отже вираз дорівнює $2 sin α = 0, 6$ (за умови $cos α \neq = 0$ ).

Відповідь: 0,6.

Завдання 3

Спрости $\frac{4 ^{n + 1} \cdot 2 ^{3 - 2 n}}{8}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Зводимо до основи 2: $4^{n + 1} = 2^{2 n + 2}$ . Чисельник $2^{2 n + 2} \cdot 2^{3 - 2 n} = 2^{5} = 32$ . Ділимо на $8$ : $32 : 8 = 4$ .

Відповідь: 4.

Завдання 4

Обчисли $cos 75° cos 15° - sin 75° sin 15°$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Це $cos (75° + 15°) = cos 90° = 0$ .

Відповідь: 0.

Де найчастіше помиляються

Пишуть $lo g_{a} (b + c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ . Такої формули немає.
Забувають про область визначення: основа $a > 0$ , $a \neq = 1$ та аргумент $b > 0$ .
Вважають $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ і $sin 2 α = 2 sin α$ .
Плутають знак у формулах зведення. Допомагає уявити кут $α$ гострим і визначити чверть.
Не переводять градуси в радіани або навпаки.

Шпаргалка

Тема	Формула
Добуток степенів	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
Основна логарифмічна тотожність	$a^{l o g_{a} b} = b$
Логарифм добутку	$lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$
Показник у логарифмі	$lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$
Нова основа	$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$
Основна тотожність	$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$
Подвійний кут	$sin 2 α = 2 sin α cos α$
Косинус подвійного кута	$cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$

Попередня темаВідношення та пропорції. Відсотки. Текстові задачі Наступна темаРаціональні, ірраціональні, степеневі вирази та їх перетворення