Математика · тема 1 з 29

Дійсні числа

Натуральні, цілі, раціональні й ірраціональні числа, ознаки подільності, НСД і НСК, модуль, звичайні й десяткові дроби, порівняння та округлення на НМТ.

Головне за хвилину

1
Числові множини вкладені одна в одну: $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Ірраціональні числа доповнюють раціональні до дійсних.
2
Раціональне число можна записати дробом $\frac{m}{n}$ , де $m \in Z$ , $n \in N$ . Його десятковий запис скінченний або періодичний.
3
НСД і НСК знаходять через розклад на прості множники; для двох чисел $НСД (a, b) \cdot НСК (a, b) = a \cdot b$ .
4
Модуль числа — це відстань до нуля на числовій прямій, тому він ніколи не буває від’ємним.
5
На НМТ часто просять порівняти числа, округлити результат, застосувати ознаки подільності або обчислити значення виразу зі звичайними й десятковими дробами.

Теорія

Числові множини

Множина	Позначення	Приклади
Натуральні	$N$	$1; 2; 3; \dots$
Цілі	$Z$	$- 2; 0; 5$
Раціональні	$Q$	$\frac{3}{4}; - 0, 2; 1, (3)$
Ірраціональні	—	$2; π$
Дійсні	$R$	усі наведені вище

Нуль у шкільній програмі до натуральних чисел не належить. Квадратний корінь із натурального числа раціональний тільки тоді, коли підкореневе число — точний квадрат: $49 = 7$ , а $50$ ірраціональний.

Подільність

На 2 ділиться число, що закінчується парною цифрою.
На 5 — якщо остання цифра 0 або 5.
На 3 (на 9) — якщо сума цифр ділиться на 3 (на 9).
На 4 — якщо число з двох останніх цифр ділиться на 4.
На 10 — якщо остання цифра 0.

Просте число має рівно два натуральні дільники: 1 і саме себе. Число 1 не просте і не складене. Єдине парне просте число — 2.

НСД і НСК

Розклади числа на прості множники. НСД — добуток спільних множників з найменшими показниками, НСК — добуток усіх множників з найбільшими показниками.

Наприклад, $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ . Тоді $НСД = 2 \cdot 3 = 6$ , $НСК = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Перевірка: $6 \cdot 36 = 12 \cdot 18 = 216$ .

Модуль

$∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0, a < 0.$

Властивості: $∣ a ∣ \geq 0$ , $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ , $∣ a - b ∣$ — відстань між точками $a$ і $b$ на прямій.

Дроби

Звичайний дріб у десятковий перетворюють діленням. Періодичний дріб у звичайний:

$0, (3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, 0, 1 (6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{1}{6} .$

Для порівняння дробів зводять їх до спільного знаменника або до десяткового запису. З двох додатних дробів з однаковим чисельником більший той, у якого знаменник менший.

Округлення

Дивимось на першу відкинуту цифру: якщо вона 5 або більше, останню збережену цифру збільшуємо на 1, інакше залишаємо. Наприклад, $3, 1459 \approx 3, 15$ (до сотих) і $\approx 3$ (до одиниць).

Порівняння з коренями

Щоб порівняти $a$ і $b > 0$ , підносять обидва числа до квадрата: порівнюють $a$ і $b^{2}$ . Наприклад, $5$ і $26$ : $25 < 26$ , отже $5 < 26$ .

Порада. Якщо в завданні змішані звичайні й десяткові дроби, перетвори все до одного вигляду. Зазвичай зручніше десяткові дроби записати звичайними.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Знайди значення виразу $\frac{3}{4} + 0, 25 \cdot 2 \frac{2}{5}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Виконуємо множення: $0, 25 = \frac{1}{4}$ , $2 \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$ , тож $\frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{3}{5}$ . Далі додаємо: $\frac{3}{4} + \frac{3}{5} = \frac{15 + 12}{20} = \frac{27}{20} = 1, 35$ .

Відповідь: 1,35.

Завдання 2

Для чисел 84 і 126 знайди НСК.

Показати розвʼязання

Розв’язання. $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ , $126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ . Беремо найбільші степені: $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$ . Перевірка через НСД: $НСД = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ , а $84 \cdot 126 : 42 = 252$ .

Відповідь: 252.

Завдання 3

Яке з чисел найбільше?

А) $\frac{7}{9}$ Б) $0, 79$ В) $\frac{4}{5}$ Г) $\frac{11}{14}$

Показати розвʼязання

Розв’язання. Переводимо в десяткові дроби: $\frac{7}{9} \approx 0, 778$ ; $0, 79$ ; $\frac{4}{5} = 0, 8$ ; $\frac{11}{14} \approx 0, 786$ . Найбільше значення — $0, 8$ . Перевірка для $\frac{11}{14}$ і $\frac{4}{5}$ перехресним множенням: $11 \cdot 5 = 55 < 56 = 14 \cdot 4$ , тож $\frac{11}{14} < \frac{4}{5}$ .

Відповідь: В.

Завдання 4

Скільки цілих чисел розташовано між $- 10$ і $30$ ?

Показати розвʼязання

Розв’язання. $3 < 10 < 4$ , тож $- 4 < - 10 < - 3$ . Також $5 < 30 < 6$ . Цілі числа: $- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5$ . Їх $9$ .

Відповідь: 9.

Де найчастіше помиляються

Вважають $a^{2} = a$ . Насправді $a^{2} = ∣ a ∣$ , тому $(- 3)^{2} = 3$ .
Беруть НСК від найменших степенів, а НСД від найбільших — навпаки.
Називають 1 простим числом або забувають, що 2 — просте.
Округлюють «ланцюжком»: $2, 449 \to 2, 45 \to 2, 5$ . Округляти потрібно один раз, дивлячись на першу відкинуту цифру: $2, 449 \approx 2, 4$ .
Порівнюють від’ємні числа «за цифрами»: $- 5 < - 3$ , хоча $5 > 3$ .

Шпаргалка

Тема	Правило
Вкладеність множин	$N \subset Z \subset Q \subset R$
НСД, НСК	$НСД (a, b) \cdot НСК (a, b) = a \cdot b$
Модуль	$∣ a ∣ = a$ при $a \geq 0$ , $∣ a ∣ = - a$ при $a < 0$
Корінь із квадрата	$a^{2} = ∣ a ∣$
Подільність на 3 і 9	сума цифр ділиться на 3 (9)
Періодичний дріб	$0, (a) = \frac{a}{9}$ , $0, (ab) = \frac{ab}{99}$

Наступна темаВідношення та пропорції. Відсотки. Текстові задачі