Математика · тема 19 з 29

Трикутники

Види трикутників, ознаки рівності та подібності, теореми синусів і косинусів, площа трикутника, середня лінія та точки в трикутнику для НМТ.

Головне за хвилину

1
Сума кутів трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ , зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним.
2
Нерівність трикутника: кожна сторона менша за суму двох інших.
3
Рівність: ознаки СКС, КСК, ССС. Подібність: ознаки КК, дві пропорційні сторони й кут між ними, три пропорційні сторони.
4
Для довільного трикутника: теорема косинусів, теорема синусів, формули площі.
5
Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності.

Теорія

Види трикутників

За кутами: гострокутний, прямокутний, тупокутний. За сторонами: різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, а медіана до основи є також висотою та бісектрисою. У рівносторонньому всі кути по $6 0^{\circ}$ .

Лінії в трикутнику

Медіана сполучає вершину із серединою протилежної сторони. Медіани перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні $2 : 1$ , рахуючи від вершини.
Висота — перпендикуляр з вершини до прямої, що містить протилежну сторону.
Бісектриса ділить кут навпіл і ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам.
Середня лінія сполучає середини двох сторін, паралельна третій і дорівнює її половині.

Подібність

Трикутники подібні, якщо їхні кути рівні, а сторони пропорційні з коефіцієнтом $k$ . Тоді $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$ .

Площа трикутника

$S = \frac{1}{2} a h_{a}, S = \frac{1}{2} ab sin γ, S = p (p - a) (p - b) (p - c), p = \frac{a + b + c}{2}$

Для рівностороннього трикутника зі стороною $a$ : $S = \frac{a ^{2} 3}{4}$ .

Теореми синусів і косинусів

$\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ} = 2 R, c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$

Тут $R$ — радіус описаного кола. Для радіуса вписаного кола $r = \frac{S}{p}$ .

Ознаки рівності й подібності

Рівність: за двома сторонами й кутом між ними (СКС), за стороною й двома прилеглими кутами (КСК), за трьома сторонами (ССС). Подібність: за двома кутами (КК), за пропорційними двома сторонами й рівним кутом між ними, за трьома пропорційними сторонами. Пряма, паралельна стороні трикутника, відсікає від нього подібний трикутник.

Рівнобедрений трикутник

Для рівнобедреного трикутника з бічною стороною $b$ й основою $a$ висота до основи $h = b^{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ .

Порада. Дано дві сторони й кут між ними — площа через синус. Дано три сторони — формула Герона або теорема косинусів.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

У трикутнику $A BC$ кут $A$ дорівнює $6 0^{\circ}$ , кут $B$ вдвічі більший за кут $C$ . Знайдіть кут $C$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Сума кутів $18 0^{\circ}$ , тож $B + C = 12 0^{\circ}$ . Оскільки $B = 2 C$ , $3 C = 12 0^{\circ}$ і $C = 4 0^{\circ}$ .

Відповідь: $4 0^{\circ}$ .

Завдання 2

У трикутнику $A BC$ сторони $A B = 7$ , $A C = 8$ , кут $A = 6 0^{\circ}$ . Знайдіть $BC$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. За теоремою косинусів:

$B C^{2} = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57$

$BC = 57$ .

Відповідь: $57$ .

Завдання 3

Сторони трикутника $13$ , $14$ , $15$ . Знайдіть його площу.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ .

$S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84$

Відповідь: 84.

Завдання 4

У рівнобедреному трикутнику основа $10$ , бічна сторона $13$ . Знайдіть площу та висоту до основи.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ . $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ .

Відповідь: $h = 12$ , $S = 60$ .

Де найчастіше помиляються

Застосовують нерівність трикутника неправильно: сторони $3, 4, 8$ трикутника не утворюють, бо $3 + 4 < 8$ .
Плутають середню лінію з медіаною.
Забувають, що коефіцієнт $k$ для площ треба підносити до квадрата.
У теоремі косинусів забувають подвоєний добуток або знак мінус.
Вважають, що висота завжди лежить усередині трикутника: у тупокутному вона може бути зовні.

Шпаргалка

Факт	Формула
Сума кутів	$α + β + γ = 18 0^{\circ}$
Площа	$S = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} ab sin γ$
Герон	$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
Косинусів	$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$
Синусів	$\frac{a}{sin α} = 2 R$
Вписане коло	$r = \frac{S}{p}$
Середня лінія	$m = \frac{a}{2}$
Подібність	$\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$

Попередня темаЕлементарні геометричні фігури на площині. Геометричні величини Наступна темаПрямокутні трикутники