Математика · тема 20 з 29

Прямокутні трикутники

Теорема Піфагора, синус, косинус і тангенс гострого кута, метричні співвідношення та особливі трикутники в завданнях НМТ.

Головне за хвилину

1
Теорема Піфагора: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , де $c$ — гіпотенуза.
2
Синус, косинус, тангенс гострого кута визначаються відношенням сторін прямокутного трикутника.
3
Сума гострих кутів дорівнює $9 0^{\circ}$ , тому $sin α = cos (9 0^{\circ} - α)$ .
4
Медіана до гіпотенузи дорівнює її половині й дорівнює радіусу описаного кола.
5
Катет проти кута $3 0^{\circ}$ дорівнює половині гіпотенузи.

Теорія

Теорема Піфагора

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Обернена теорема: якщо $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , трикутник прямокутний. Відомі трійки: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ та пропорційні їм, наприклад $6, 8, 10$ .

Тригонометричні функції гострого кута

Нехай $α$ — гострий кут, $a$ — протилежний катет, $b$ — прилеглий катет, $c$ — гіпотенуза:

$sin α = \frac{a}{c}, cos α = \frac{b}{c}, tg α = \frac{a}{b}$

Основна тотожність: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

Значення для особливих кутів:

$α$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos α$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg α$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

Особливі трикутники

З кутами $4 5^{\circ}$ : катети рівні, гіпотенуза $a 2$ .
З кутами $3 0^{\circ}$ і $6 0^{\circ}$ : менший катет $a$ , гіпотенуза $2 a$ , більший катет $a 3$ .

Висота до гіпотенузи

Нехай висота $h$ ділить гіпотенузу на відрізки $a_{c}$ і $b_{c}$ (проєкції катетів). Тоді:

$h^{2} = a_{c} \cdot b_{c}, a^{2} = a_{c} \cdot c, b^{2} = b_{c} \cdot c$

Площа: $S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c h$ . Радіус описаного кола $R = \frac{c}{2}$ , вписаного $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Співвідношення між функціями

Корисні тотожності: $tg α = \frac{sin α}{cos α}$ , $sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ , $1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ . Якщо відомі синус і гострий кут, косинус додатний: $cos α = 1 - sin^{2} α$ .

Розвʼязування прямокутних трикутників

Щоб знайти невідому сторону, маючи гострий кут і одну сторону, обирай функцію так, щоб у відношення входили відома й шукана сторони. Наприклад, відомий катет $b$ , прилеглий до кута $α$ , гіпотенуза $c = \frac{b}{cos α}$ , протилежний катет $a = b tg α$ .

Порада. Побачив прямокутний трикутник із цілими сторонами, спершу перевір відомі трійки: це швидше за обчислення.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Катети прямокутного трикутника дорівнюють $9$ і $12$ . Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Гіпотенуза: $c = 81 + 144 = 15$ . Площа: $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ . З іншого боку, $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$ , тому $h = \frac{108}{15} = 7, 2$ .

Відповідь: $7, 2$ .

Завдання 2

У прямокутному трикутнику $sin α = \frac{5}{13}$ . Знайдіть $tg α$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Нехай протилежний катет $5$ , гіпотенуза $13$ , тоді прилеглий катет $169 - 25 = 12$ . Отже, $tg α = \frac{5}{12}$ .

Відповідь: $\frac{5}{12}$ .

Завдання 3

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $20$ см, один з кутів $3 0^{\circ}$ . Знайдіть катети.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Катет проти $3 0^{\circ}$ : $\frac{20}{2} = 10$ см. Інший катет: $103$ см.

Відповідь: $10$ см і $103$ см.

Завдання 4

У прямокутному трикутнику катет $b = 6$ прилеглий до кута $α = 6 0^{\circ}$ . Знайдіть гіпотенузу та другий катет.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $c = \frac{6}{cos 6 0 ^{\circ}} = 12$ , $a = 6 tg 6 0^{\circ} = 63$ .

Відповідь: $c = 12$ , $a = 63$ .

Де найчастіше помиляються

Плутають прилеглий і протилежний катети, отже, синус із косинусом.
Беруть за гіпотенузу не найбільшу сторону.
Забувають витягти корінь після обчислення $c^{2}$ .
Застосовують «катет проти $3 0^{\circ}$ дорівнює половині гіпотенузи» до трикутника, який не є прямокутним.
Для висоти до гіпотенузи використовують формулу $h = ab$ замість $h = \frac{ab}{c}$ .

Шпаргалка

Факт	Формула
Піфагор	$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
Синус	$\frac{протилежний}{гіпотенуза}$
Косинус	$\frac{прилеглий}{гіпотенуза}$
Тангенс	$\frac{протилежний}{прилеглий}$
Висота	$h = \frac{ab}{c}$ , $h^{2} = a_{c} b_{c}$
Описане коло	$R = \frac{c}{2}$
Вписане коло	$r = \frac{a + b - c}{2}$
Трійки	$3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$

Попередня темаТрикутники Наступна темаПаралелограм. Ромб. Трапеція