Математика · тема 28 з 29

Тіла обертання

Циліндр, конус, куля та сфера: осьові перерізи, формули бічної й повної поверхні та обʼєму для завдань НМТ.

Головне за хвилину

1
Циліндр, конус і куля отримують обертанням прямокутника, прямокутного трикутника та півкруга.
2
Циліндр: $V = π R^{2} H$ , $S_{біч} = 2 π R H$ .
3
Конус: $V = \frac{1}{3} π R^{2} H$ , $S_{біч} = π Rl$ , $l^{2} = R^{2} + H^{2}$ .
4
Куля: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ , площа сфери $S = 4 π R^{2}$ .
5
Осьовий переріз циліндра — прямокутник, конуса — рівнобедрений трикутник, кулі — круг.

Теорія

Циліндр

Утворюється обертанням прямокутника навколо сторони. Основи — рівні круги радіуса $R$ , висота $H$ дорівнює твірній.

$V = π R^{2} H, S_{біч} = 2 π R H, S_{повн} = 2 π R (R + H)$

Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами $2 R$ і $H$ . Площа розгортки бічної поверхні — прямокутник $2 π R \times H$ .

Конус

Утворюється обертанням прямокутного трикутника навколо катета. $R$ — радіус основи, $H$ — висота, $l$ — твірна:

$l = R^{2} + H^{2}, V = \frac{1}{3} π R^{2} H, S_{біч} = π Rl, S_{повн} = π R (R + l)$

Осьовий переріз — рівнобедрений трикутник із основою $2 R$ та бічними сторонами $l$ . Зрізаний конус: $V = \frac{π H}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ .

Куля і сфера

Сфера — множина точок, рівновіддалених від центра. Куля — тіло, обмежене сферою.

$V = \frac{4}{3} π R^{3}, S_{сфери} = 4 π R^{2}$

Переріз кулі площиною — круг. Якщо відстань від центра до площини $d$ , радіус перерізу $r = R^{2} - d^{2}$ . Дотична площина перпендикулярна до радіуса в точці дотику.

Комбінації з многогранниками

Якщо куля вписана в куб зі стороною $a$ , то $R = \frac{a}{2}$ . Якщо описана навколо куба, то $R = \frac{a 3}{2}$ . Циліндр, вписаний у призму, має висоту призми й радіус вписаного кола основи.

Розгортка конуса

Бічна поверхня конуса розгортається в круговий сектор радіуса $l$ з довжиною дуги $2 π R$ . Центральний кут сектора: $φ = \frac{36 0 ^{\circ} R}{l}$ . Площа сектора збігається з $S_{біч} = π Rl$ .

Перерізи

Переріз циліндра площиною, паралельною осі, — прямокутник. Переріз конуса площиною, паралельною основі, — круг, подібний до основи. Переріз конуса площиною через вершину — рівнобедрений трикутник.

Порада. Якщо в задачі на конус або циліндр щось треба знайти, спершу накресли осьовий переріз.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Радіус основи циліндра $3$ , висота $5$ . Знайдіть обʼєм і бічну поверхню.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $V = π \cdot 9 \cdot 5 = 45 π$ , $S_{біч} = 2 π \cdot 3 \cdot 5 = 30 π$ .

Відповідь: $V = 45 π$ , $S_{біч} = 30 π$ .

Завдання 2

Твірна конуса $13$ , радіус основи $5$ . Знайдіть висоту та обʼєм.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $H = 169 - 25 = 12$ . $V = \frac{1}{3} π \cdot 25 \cdot 12 = 100 π$ .

Відповідь: $H = 12$ , $V = 100 π$ .

Завдання 3

Площа поверхні кулі $36 π$ . Знайдіть її обʼєм.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $4 π R^{2} = 36 π$ , $R = 3$ . $V = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π$ .

Відповідь: $36 π$ .

Завдання 4

Осьовий переріз циліндра — квадрат зі стороною $8$ . Знайдіть повну поверхню циліндра.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $2 R = 8$ , $R = 4$ , $H = 8$ . $S_{повн} = 2 π \cdot 4 \cdot (4 + 8) = 96 π$ .

Відповідь: $96 π$ .

Де найчастіше помиляються

Забувають множник $\frac{1}{3}$ в обʼємі конуса.
Плутають висоту і твірну конуса.
Підставляють діаметр замість радіуса.
Плутають формули обʼєму кулі $\frac{4}{3} π R^{3}$ та площі сфери $4 π R^{2}$ .
Забувають доданок основ, коли просять повну поверхню.

Шпаргалка

Тіло	Обʼєм	Бічна поверхня
Циліндр	$π R^{2} H$	$2 π R H$
Конус	$\frac{1}{3} π R^{2} H$	$π Rl$
Куля	$\frac{4}{3} π R^{3}$	$4 π R^{2}$ (сфера)
Твірна конуса	$l^{2} = R^{2} + H^{2}$

Попередня темаПіраміда Наступна темаКоординати та вектори у просторі