Математика · тема 29 з 29

Координати та вектори у просторі

Відстань між точками, середина відрізка, дії з векторами й скалярний добуток у просторі, кут між векторами та прямими для завдань НМТ.

Головне за хвилину

1
Точка у просторі має три координати $(x; y; z)$ .
2
Відстань: $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$ .
3
Середина відрізка — півсуми відповідних координат.
4
Скалярний добуток: $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ ; вектори перпендикулярні, якщо він нуль.
5
Кут між векторами знаходять через косинус: $cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$ .

Теорія

Координати точки та вектора

Осі $O x$ , $O y$ , $O z$ попарно перпендикулярні. Координати вектора $A B$ : від координат кінця віднімають координати початку:

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$

Відстань і середина

$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}, M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2}; \frac{z _{1} + z _{2}}{2})$

Дії з векторами

Для $a (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ :

$a \pm b = (x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}; z_{1} \pm z_{2})$ ;
$k a = (k x_{1}; k y_{1}; k z_{1})$ ;
$∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}$ ;
колінеарність: $\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{z _{1}}{z _{2}}$ .

Скалярний добуток і кут

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ$

Якщо добуток додатний, кут гострий; якщо відʼємний, тупий; якщо нуль, прямий. Кут між прямими береться від $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ , тому для нього косинус беруть за модулем.

Рівняння площини та сфери

Сфера з центром $(a; b; c)$ і радіусом $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ . Площина: $A x + B y + C z + D = 0$ , де вектор $(A; B; C)$ перпендикулярний до площини.

Координати центра мас трикутника

Точка перетину медіан трикутника з вершинами $A$ , $B$ , $C$ має координати, що дорівнюють середнім арифметичним відповідних координат вершин: $(\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .

Порада. Для куба чи паралелепіпеда вибирай систему координат так, щоб одна вершина була початком, а ребра лежали на осях.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Знайдіть довжину відрізка $A B$ , якщо $A (1; 2; 3)$ і $B (3; 6; 7)$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $A B = 2^{2} + 4^{2} + 4^{2} = 36 = 6$ .

Відповідь: $6$ .

Завдання 2

Знайдіть кут між векторами $a (1; 0; 1)$ і $b (0; 1; 1)$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $a \cdot b = 0 + 0 + 1 = 1$ , $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 2$ . $cos φ = \frac{1}{2}$ , отже $φ = 6 0^{\circ}$ .

Відповідь: $6 0^{\circ}$ .

Завдання 3

При якому $m$ вектори $a (2; m; 1)$ та $b (- 1; 3; 4)$ перпендикулярні?

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $- 2 + 3 m + 4 = 0$ , $3 m = - 2$ , $m = - \frac{2}{3}$ .

Відповідь: $- \frac{2}{3}$ .

Завдання 4

Точка $M$ — середина відрізка $A B$ , $A (2; - 4; 6)$ , $M (1; 0; 3)$ . Знайдіть координати $B$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Координати середини — півсуми: $\frac{2 + x _{B}}{2} = 1$ , $x_{B} = 0$ ; $\frac{- 4 + y _{B}}{2} = 0$ , $y_{B} = 4$ ; $\frac{6 + z _{B}}{2} = 3$ , $z_{B} = 0$ .

Відповідь: $B (0; 4; 0)$ .

Де найчастіше помиляються

Плутають порядок віднімання координат: «кінець мінус початок».
Забувають третю координату або третій доданок у скалярному добутку.
Не витягують корінь при обчисленні довжини.
Для кута між прямими не беруть модуль косинуса й отримують тупий кут.
Вважають, що нульовий скалярний добуток означає нульові вектори: насправді це перпендикулярність.

Шпаргалка

Що	Формула
Відстань	$Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}$
Середина	півсуми координат
Довжина вектора	$x^{2} + y^{2} + z^{2}$
Скалярний добуток	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$
Кут	$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$
Сфера	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

Попередня темаТіла обертання