Математика · тема 9 з 29

Розв’язування задач за допомогою рівнянь і систем

Як складати рівняння за текстом задачі: задачі на рух, роботу, суміші, числа та геометрію, алгоритм із вибором змінної й перевіркою відповіді.

Головне за хвилину

1
Алгоритм: прочитай умову, познач невідоме літерою, виразити через неї решту величин, склади рівняння, розв’яжи, перевір на зміст задачі.
2
Рух: $S = v t$ ; за течією $v + v_{теч}$ , проти течії $v - v_{теч}$ .
3
Робота: продуктивність $= \frac{обсяг}{час}$ , обсяг роботи часто вважають за $1$ .
4
Розчини й сплави: маса речовини = маса суміші $\cdot$ концентрація.
5
Корені рівняння, що не мають змісту (від’ємна швидкість, дробова кількість людей), відкидай.

Теорія

Алгоритм

Визнач, що саме треба знайти, і введи змінну для цього або для зручнішої величини.
Запиши таблицею всі величини і зв’язки між ними.
Знайди в умові рівність двох виразів: «разом», «на … більше», «зустрілись», «однаковий час».
Розв’яжи рівняння або систему.
Перевір, чи корінь підходить за змістом, і чи відповідаєш на поставлене запитання.

Задачі на рух

$S = v \cdot t, v = \frac{S}{t}, t = \frac{S}{v} .$

Рух назустріч: швидкість зближення $v_{1} + v_{2}$ .
Навздогін: швидкість зближення $v_{1} - v_{2}$ (від більшої віднімаємо меншу).
Течія річки: власна швидкість човна $v$ , швидкість течії $u$ . За течією $v + u$ , проти течії $v - u$ .
Середня швидкість: $v_{сер} = \frac{S _{заг}}{t _{заг}}$ , а не середнє арифметичне швидкостей.

Зручно складати рівняння за часом: $\frac{S}{v _{1}} - \frac{S}{v _{2}} = Δ t$ .

Задачі на роботу

Якщо вся робота дорівнює $1$ , продуктивність виконавця, що працює $t$ годин, — $\frac{1}{t}$ . Сумісна робота:

$(\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}) \cdot T = 1.$

Задачі на відсотки, суміші

$m_{реч} = m_{розчину} \cdot \frac{p}{100} .$

Складай рівняння за масою чистої речовини, яка під час змішування зберігається.

Задачі на числа та геометрію

Двоцифрове число з цифрою десятків $a$ і одиниць $b$ має вигляд $10 a + b$ . Якщо цифри поміняти, отримаємо $10 b + a$ . У геометричних задачах стороні чи куту дають змінну й складають рівняння за периметром, площею або теоремою Піфагора.

Системи в текстових задачах

Коли невідомих два, а умов теж дві, зручно складати систему. Наприклад, «сума двох чисел 20, а різниця 4» — це $x + y = 20$ , $x - y = 4$ .

Порада. Часто зручніше ввести змінну не для шуканої величини, а для проміжної, наприклад для швидкості, а потім відповісти на запитання задачі.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Із пунктів $A$ і $B$ , відстань між якими 180 км, одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі. Швидкість першого на 10 км/год більша, ніж другого. Вони зустрілись через 2 години. Знайди швидкість першого.

Показати розвʼязання

Розв’язання. Нехай швидкість другого $x$ км/год, першого $x + 10$ . За 2 години вони разом проїхали $2 (x + x + 10) = 180$ , звідки $2 x + 10 = 90$ , $x = 40$ . Швидкість першого $50$ км/год.

Відповідь: 50 км/год.

Завдання 2

Перший кран розвантажує баржу за 12 годин, другий за 4 години. За скільки годин вони розвантажать баржу, працюючи разом?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Продуктивності: $\frac{1}{12}$ і $\frac{1}{4}$ . Разом: $\frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ роботи за годину. Час: $T = 3$ години.

Відповідь: 3 години.

Завдання 3

Човен проплив 24 км за течією річки і 24 км проти течії, витративши на весь шлях 5 годин. Швидкість течії 2 км/год. Знайди власну швидкість човна.

Показати розвʼязання

Розв’язання. Нехай $v$ км/год — власна швидкість. Час: $\frac{24}{v + 2} + \frac{24}{v - 2} = 5$ . Спільний знаменник: $24 (v - 2) + 24 (v + 2) = 5 (v^{2} - 4)$ , тобто $48 v = 5 v^{2} - 20$ , $5 v^{2} - 48 v - 20 = 0$ . $D = 2304 + 400 = 2704 = 5 2^{2}$ . $v = \frac{48 \pm 52}{10}$ : $v = 10$ або $v = - 0, 4$ . Швидкість додатна, тож $v = 10$ .

Відповідь: 10 км/год.

Завдання 4

Сума двох чисел дорівнює 17, а сума їхніх квадратів дорівнює 145. Знайди більше з чисел.

Показати розвʼязання

Розв’язання. $x + y = 17$ , $x^{2} + y^{2} = 145$ . Тоді $x y = \frac{1 7 ^{2} - 145}{2} = \frac{289 - 145}{2} = 72$ . Числа є коренями $t^{2} - 17 t + 72 = 0$ : $t = 8$ та $t = 9$ .

Відповідь: 9.

Де найчастіше помиляються

Складають рівняння, не узгодивши одиниці виміру (хвилини й години, км і м).
У задачах на рух «навздогін» додають швидкості замість віднімання.
Середню швидкість обчислюють як півсуму швидкостей.
Не відкидають корінь, що не має змісту: від’ємну швидкість чи дробову кількість людей.
Відповідають на інше запитання: знаходять $x$ , а просять $x + 10$ .

Шпаргалка

Тип	Формула
Рух	$S = v t$
Назустріч / навздогін	$v_{1} + v_{2}$ / $v_{1} - v_{2}$
Течія	$v \pm u$
Середня швидкість	$v_{сер} = \frac{S _{заг}}{t _{заг}}$
Спільна робота	$\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{1}{t}$
Двоцифрове число	$10 a + b$
Речовина в розчині	$m \cdot \frac{p}{100}$

Попередня темаНерівності та системи нерівностей Наступна темаЧислові послідовності