Математика · тема 10 з 29

Числові послідовності

Арифметична і геометрична прогресії: n-й член, сума n перших членів, характеристична властивість, нескінченно спадна геометрична прогресія, задачі НМТ.

Головне за хвилину

1
Числова послідовність — це набір чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ , пронумерованих натуральними числами.
2
В арифметичній прогресії кожний наступний член більший за попередній на сталу різницю $d$ : $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
3
У геометричній прогресії кожний наступний член у $q$ разів більший за попередній: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ .
4
Для суми перших $n$ членів є дві формули для кожного виду прогресії.
5
Якщо $∣ q ∣ < 1$ , сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює $\frac{b _{1}}{1 - q}$ .

Теорія

Способи задання послідовності

Формулою $n$ -го члена ( $a_{n} = n^{2} + 1$ ), рекурентно ( $a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ ), описово. Послідовність зростає, якщо $a_{n + 1} > a_{n}$ , і спадає, якщо $a_{n + 1} < a_{n}$ .

Арифметична прогресія

Означення: $a_{n + 1} = a_{n} + d$ .

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, d = a_{n + 1} - a_{n} .$

Сума перших $n$ членів:

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n .$

Характеристична властивість: кожний член, крім першого, є півсумою сусідніх:

$a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2} .$

Також $a_{m} + a_{k} = a_{p} + a_{s}$ , якщо $m + k = p + s$ . Прогресія зростає при $d > 0$ і спадає при $d < 0$ .

Геометрична прогресія

Означення: $b_{n + 1} = b_{n} q$ , де $b_{1} \neq = 0$ , $q \neq = 0$ .

$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}, q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} .$

Сума перших $n$ членів при $q \neq = 1$ :

$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} .$

При $q = 1$ маємо $S_{n} = n b_{1}$ .

Характеристична властивість: $b_{n}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}$ (для додатних членів $b_{n} = b_{n - 1} b_{n + 1}$ ).

Нескінченно спадна геометрична прогресія

Якщо $∣ q ∣ < 1$ , сума всіх членів існує:

$S = \frac{b _{1}}{1 - q} .$

Наприклад, $0, (3) = 0, 3 + 0, 03 + \dots$ має $b_{1} = 0, 3$ , $q = 0, 1$ , тож $S = \frac{0 , 3}{0 , 9} = \frac{1}{3}$ .

Як розпізнати вид прогресії

Подивись на сусідні відношення чи різниці: сталі різниці означають арифметичну прогресію, сталі відношення — геометричну. Наприклад, $3; 6; 12$ — геометрична ( $q = 2$ ), а $3; 6; 9$ — арифметична ( $d = 3$ ).

Порада. У завданнях про суму арифметичної прогресії, якщо відомі перший і останній члени, використовуй формулу $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ — вона найкоротша.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

В арифметичній прогресії $a_{1} = 5$ , $d = 3$ . Знайди $a_{10}$ та $S_{10}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$ . $S_{10} = \frac{5 + 32}{2} \cdot 10 = 37 \cdot 5 = 185$ .

Відповідь: $a_{10} = 32$ , $S_{10} = 185$ .

Завдання 2

У геометричній прогресії $b_{1} = 3$ , $b_{4} = 24$ . Знайди $q$ та суму перших пʼяти членів.

Показати розвʼязання

Розв’язання. $b_{4} = b_{1} q^{3}$ , отже $q^{3} = 8$ , $q = 2$ . $S_{5} = \frac{3 ( 2 ^{5} - 1 )}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93$ .

Відповідь: $q = 2$ , $S_{5} = 93$ .

Завдання 3

Знайди суму нескінченно спадної геометричної прогресії $12; 4; \frac{4}{3}; \dots$

Показати розвʼязання

Розв’язання. $b_{1} = 12$ , $q = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ , $∣ q ∣ < 1$ . $S = \frac{12}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{12}{\frac{2}{3}} = 18$ .

Відповідь: 18.

Завдання 4

Скільки натуральних чисел від 1 до 100 діляться на 7?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Це арифметична прогресія $7; 14; \dots; 98$ з $a_{1} = 7$ , $d = 7$ . Із $a_{n} = 7 n \leq 100$ маємо $n \leq 14, 28$ , тому $n = 14$ . Останній член $98$ .

Відповідь: 14.

Де найчастіше помиляються

Плутають $a_{n} = a_{1} + n d$ з правильною формулою $a_{1} + (n - 1) d$ .
Використовують формулу суми нескінченної прогресії при $∣ q ∣ \geq 1$ .
Для $S_{n}$ геометричної прогресії забувають перевірити випадок $q = 1$ .
Ставлять знак різниці навпаки і отримують від’ємне $d$ замість додатного.
Помиляються зі степенем: у $b_{n}$ показник $n - 1$ , а не $n$ .

Шпаргалка

Величина	Арифметична	Геометрична
Різниця / знаменник	$d = a_{n + 1} - a_{n}$	$q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$
$n$ -й член	$a_{1} + (n - 1) d$	$b_{1} q^{n - 1}$
Сума $S_{n}$	$\frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$	$\frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$
Характеристична властивість	$a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$	$b_{n}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}$
Нескінченна сума	—	$\frac{b _{1}}{1 - q}$ , $∣ q ∣ < 1$

Попередня темаРозв’язування задач за допомогою рівнянь і систем рівнянь Наступна темаФункціональна залежність