Математика · тема 8 з 29

Нерівності та системи нерівностей

Лінійні, квадратні, раціональні, показникові та логарифмічні нерівності, метод інтервалів, системи нерівностей і запис відповіді проміжками.

Головне за хвилину

1
Під час множення або ділення нерівності на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
2
Квадратну нерівність розв’язують за параболою: знайди корені та визнач знак на проміжках.
3
Раціональні та вищих степенів нерівності розв’язують методом інтервалів.
4
Показникова нерівність зберігає знак при $a > 1$ і змінює його при $0 < a < 1$ ; логарифмічна так само, але ще потрібна ОДЗ.
5
Розв’язок системи — перетин розв’язків усіх нерівностей.

Теорія

Лінійні нерівності

$a x > b$ : при $a > 0$ маємо $x > \frac{b}{a}$ , при $a < 0$ маємо $x < \frac{b}{a}$ . Наприклад, $- 2 x > 6 \Rightarrow x < - 3$ .

Квадратні нерівності

Знайди корені $x_{1} < x_{2}$ тричлена $a x^{2} + b x + c$ .

Нерівність	$a > 0$ , $D > 0$
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < x_{1}$ або $x > x_{2}$
$a x^{2} + b x + c < 0$	$x_{1} < x < x_{2}$

Якщо $D < 0$ і $a > 0$ , то тричлен завжди додатний: $> 0$ виконується для всіх $x$ , а $< 0$ — ні для якого. Якщо $D = 0$ , коренем є одна точка $x_{0}$ , де тричлен $a (x - x_{0})^{2}$ має нульове значення.

Метод інтервалів

Перенеси все в одну частину, праворуч залиш $0$ .
Розклади вираз на множники, знайди нулі чисельника і знаменника.
Познач точки на прямій (для $\leq$ чи $\geq$ нулі чисельника зафарбовані, нулі знаменника завжди виколоті).
Визнач знак на крайньому правому проміжку (при додатних старших коефіцієнтах — «+») і чергуй знаки при переході через точки непарної кратності; при парній кратності знак не змінюється.
Вибери проміжки з потрібним знаком.

Дробова нерівність $\frac{P ( x )}{Q ( x )} \geq 0$ рівносильна $P (x) Q (x) \geq 0$ при $Q (x) \neq = 0$ .

Показникові нерівності

Для $a > 1$ : $a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) > g (x)$ .
Для $0 < a < 1$ : $a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) < g (x)$ .

Логарифмічні нерівності

Для $a > 1$ : $lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) > g (x) > 0$ .
Для $0 < a < 1$ : $lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x) ⟺ 0 < f (x) < g (x)$ .

Системи і сукупності

У системі нерівностей (фігурна дужка) потрібно виконання всіх нерівностей: розв’язок — перетин множин. У сукупності (квадратна дужка) вистачає однієї: розв’язок — об’єднання.

Запис відповіді

Круглі дужки — для строгих знаків і для $\pm \infty$ , квадратні — для нестрогих. Наприклад, $x \geq 2$ записують як $[2; + \infty)$ , а $- 1 < x \leq 3$ як $(- 1; 3]$ .

Порада. Завжди перевіряй відповідь пробним числом із вибраного проміжку: підстав його в початкову нерівність.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Розв’яжи нерівність $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Корені рівняння $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ . Гілки параболи вгору, тому від’ємні значення між коренями: $2 < x < 3$ .

Відповідь: $(2; 3)$ .

Завдання 2

Розв’яжи нерівність $\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Нулі: чисельник $x = 1$ (точка зафарбована), знаменник $x = - 2$ (точка виколота). Праворуч від $1$ знак «+», між $- 2$ і $1$ знак «−», ліворуч від $- 2$ знак «+». Потрібні додатні значення та нуль: $x < - 2$ або $x \geq 1$ .

Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup [1; + \infty)$ .

Завдання 3

Скільки цілих розв’язків має система ${2 x - 3 > - 5, x^{2} \leq 9 ?$

Показати розвʼязання

Розв’язання. Перша нерівність: $2 x > - 2$ , $x > - 1$ . Друга: $- 3 \leq x \leq 3$ . Перетин: $- 1 < x \leq 3$ . Цілі числа: $0; 1; 2; 3$ — їх чотири.

Відповідь: 4.

Завдання 4

Розв’яжи нерівність $lo g_{2} (x - 1) \leq 3$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. ОДЗ: $x > 1$ . Основа $2 > 1$ , тож $x - 1 \leq 2^{3} = 8$ , $x \leq 9$ . Разом із ОДЗ: $1 < x \leq 9$ .

Відповідь: $(1; 9]$ .

Де найчастіше помиляються

Не змінюють знак нерівності при діленні чи множенні на від’ємне.
Для $\frac{P}{Q} \geq 0$ зафарбовують нулі знаменника. Вони завжди виколоті.
Скорочують на вираз зі змінною, не враховуючи його знак.
Для основи $0 < a < 1$ у показникових і логарифмічних нерівностях зберігають знак.
Забувають ОДЗ у логарифмічній нерівності.

Шпаргалка

Тема	Правило
Множення на від’ємне	знак нерівності змінюється
$a x^{2} + b x + c > 0$ , $a > 0$ , $D > 0$	поза коренями
$a x^{2} + b x + c < 0$ , $a > 0$ , $D > 0$	між коренями
Дріб	$\frac{P}{Q} \geq 0 \Leftrightarrow PQ \geq 0, Q \neq = 0$
$a > 1$	знак показників (аргументів) зберігається
$0 < a < 1$	знак змінюється на протилежний
Система	перетин розв’язків

Попередня темаПоказникові, логарифмічні рівняння та системи рівнянь Наступна темаРозв’язування задач за допомогою рівнянь і систем рівнянь