Математика · тема 4 з 29

Раціональні, ірраціональні, степеневі вирази

Формули скороченого множення, дії з алгебраїчними дробами, ОДЗ, корені та степені з раціональним показником, позбавлення ірраціональності в знаменнику.

Головне за хвилину

1
Більшість перетворень зводиться до формул скороченого множення, винесення спільного множника та скорочення дробів.
2
Алгебраїчний дріб існує, лише коли знаменник не дорівнює нулю; скорочувати можна лише множники, а не доданки.
3
Корінь $n a$ парного степеня існує лише для $a \geq 0$ і дає невід’ємне значення.
4
Степінь із раціональним показником: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ при $a > 0$ .
5
Ірраціональність у знаменнику усувають множенням на спряжений вираз.

Теорія

Формули скороченого множення

$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}, a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b),$

$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2}), (a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3} .$

Розкладання на множники

Виноси спільний множник за дужки.
Спробуй формулу скороченого множення.
Згрупуй доданки: $a x + a y + b x + b y = (a + b) (x + y)$ .
Для квадратного тричлена: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , де $x_{1}, x_{2}$ — корені.

Алгебраїчні дроби

Додавання і віднімання — через спільний знаменник, множення — чисельник на чисельник, ділення — множення на обернений дріб:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} .$

Перед скороченням розклади чисельник і знаменник на множники. Наприклад,

$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x}, x \neq = 0, x \neq = - 3.$

Звертай увагу: значення $x = - 3$ виключається, навіть якщо після скорочення воно «зникло».

Корені

$ab = a b, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (a \geq 0, b > 0),$

$a^{2} = ∣ a ∣, (a)^{2} = a (a \geq 0), n a^{n} = a при непарному n .$

Внесення множника під корінь допустиме для невід’ємного множника: $32 = 18$ .

Степінь із раціональним показником

$a^{\frac{1}{2}} = a, a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}, a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{a ^{\frac{m}{n}}} .$

Для таких степенів діють звичайні властивості: $a^{p} a^{q} = a^{p + q}$ , $(a^{p})^{q} = a^{pq}$ .

Позбавлення ірраціональності в знаменнику

$\frac{1}{a} = \frac{a}{a}, \frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{a - b} .$

У другому випадку скористались різницею квадратів: $(a - b) (a + b) = a - b$ .

Порада. Перш ніж спрощувати складний вираз, випиши ОДЗ. Це допоможе відсіяти зайве і не загубитися у відповіді.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Спрости вираз $\frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} - 4 a + 4} : \frac{a + 2}{a - 2}$ та обчисли його при $a = 6$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2)$ , $a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$ . Тоді

$\frac{( a - 2 ) ( a + 2 )}{( a - 2 ) ^{2}} \cdot \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{( a + 2 ) ( a - 2 ) ^{2}}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} = 1.$

Вираз тотожно дорівнює 1 при $a \neq = \pm 2$ , тож для $a = 6$ відповідь також 1.

Відповідь: 1.

Завдання 2

Обчисли $\frac{1}{5 - 2} - 5$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Множимо на спряжений вираз: $\frac{5 + 2}{5 - 4} = 5 + 2$ . Віднімаємо: $5 + 2 - 5 = 2$ .

Відповідь: 2.

Завдання 3

Знайди значення $2 7^{\frac{2}{3}} + 1 6^{- \frac{1}{4}} \cdot 8$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $2 7^{\frac{2}{3}} = (327)^{2} = 9$ . $1 6^{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{4 16} = \frac{1}{2}$ . Тоді $9 + \frac{1}{2} \cdot 8 = 9 + 4 = 13$ .

Відповідь: 13.

Завдання 4

Спрости $(3 - π)^{2} + (π - 4)^{2}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $x^{2} = ∣ x ∣$ . Оскільки $π \approx 3, 14$ , маємо $∣3 - π ∣ = π - 3$ і $∣ π - 4∣ = 4 - π$ . Сума: $π - 3 + 4 - π = 1$ .

Відповідь: 1.

Де найчастіше помиляються

Скорочують доданки: $\frac{x + 3}{3} = x$ . Скорочувати можна лише множники.
Пишуть $a + b = a + b$ .
Втрачають модуль: $a^{2} = a$ без урахування знака.
Забувають про ОДЗ і зайві корені після скорочення дробу.
Помиляються зі знаком при розкритті дужок після мінуса: $- (a - b) = - a + b$ .

Шпаргалка

Тема	Формула
Квадрат суми	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
Різниця квадратів	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
Сума кубів	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
Різниця кубів	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
Корінь із квадрата	$a^{2} = ∣ a ∣$
Дробовий показник	$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$
Спряжений вираз	$(a - b) (a + b) = a - b$

Попередня темаПоказникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення Наступна темаЛінійні, квадратні, раціональні рівняння та системи рівнянь