Математика · тема 5 з 29

Лінійні, квадратні, раціональні рівняння та системи

Розв’язування лінійних і квадратних рівнянь, теорема Вієта, дробово-раціональні рівняння з ОДЗ, системи способами підстановки та додавання, приклади НМТ.

Головне за хвилину

1
Лінійне рівняння $a x = b$ : при $a \neq = 0$ один корінь $x = \frac{b}{a}$ ; при $a = 0$ коренів або немає, або безліч.
2
Квадратне рівняння розв’язують через дискримінант $D = b^{2} - 4 a c$ ; за теоремою Вієта $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
3
Дробово-раціональне рівняння: знайди ОДЗ, зведи до спільного знаменника, прирівняй чисельник до нуля, відкинь корені, що не входять до ОДЗ.
4
Систему розв’язують підстановкою або додаванням рівнянь.
5
Корені завжди перевіряй підстановкою або ОДЗ.

Теорія

Лінійні рівняння

$a x = b$ . Якщо $a \neq = 0$ , то $x = \frac{b}{a}$ . Якщо $a = 0$ і $b \neq = 0$ — розв’язків немає; якщо $a = 0$ і $b = 0$ — розв’язком є будь-яке число.

Квадратні рівняння $ax^2 + bx + c = 0$, $a \ne 0$

$D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .$

Дискримінант	Кількість коренів
$D > 0$	два різні
$D = 0$	один (кратний): $x = - \frac{b}{2 a}$
$D < 0$	дійсних коренів немає

Неповні рівняння: $a x^{2} + b x = 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0$ ; $a x^{2} + c = 0 \Rightarrow x^{2} = - \frac{c}{a}$ .

Теорема Вієта для зведеного рівняння $x^{2} + p x + q = 0$ :

$x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q .$

Для рівняння з парним $b = 2 k$ зручно скорочена формула: $x = \frac{- k \pm k ^{2} - a c}{a}$ .

Розклад: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Дробово-раціональні рівняння

Алгоритм:

Знайди ОДЗ: знаменники $\neq = 0$ .
Перенеси все в одну частину, зведи до спільного знаменника.
Прирівняй чисельник до нуля ( $\frac{P}{Q} = 0 \Leftrightarrow P = 0$ при $Q \neq = 0$ ).
Розв’яжи отримане рівняння і відкинь корені, що не входять до ОДЗ.

Біквадратні рівняння

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ . Заміна $t = x^{2}$ , $t \geq 0$ , зводить до квадратного. Від’ємні значення $t$ відкидаємо.

Системи рівнянь

Підстановка: виразити одну змінну з одного рівняння і підставити в інше.

Додавання: помножити рівняння на числа так, щоб при додаванні зникла одна змінна.

Система двох лінійних рівнянь ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ має єдиний розв’язок, якщо $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ ; немає розв’язків, якщо $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ; безліч, якщо всі три відношення рівні.

Порада. Якщо в системі є рівняння другого степеня, то зазвичай з лінійного виражають одну змінну і підставляють у квадратне.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Розв’яжи рівняння $x^{2} - 5 x - 14 = 0$ і знайди суму його коренів.

Показати розвʼязання

Розв’язання. $D = 25 + 56 = 81$ , $D = 9$ , $x_{1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$ , $x_{2} = \frac{5 - 9}{2} = - 2$ . За теоремою Вієта сума коренів дорівнює $5$ . Перевірка: $7 + (- 2) = 5$ .

Відповідь: корені $7$ і $- 2$ , сума $5$ .

Завдання 2

Розв’яжи рівняння $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. ОДЗ: $x \neq = 2$ . Чисельник: $x^{2} - 4 = 0$ , тобто $x = 2$ або $x = - 2$ . Корінь $x = 2$ не входить до ОДЗ, тож залишається $x = - 2$ .

Відповідь: $- 2$ .

Завдання 3

Розв’яжи систему ${x + y = 7, x y = 12.$

Показати розвʼязання

Розв’язання. З першого рівняння $y = 7 - x$ . Підставляємо: $x (7 - x) = 12$ , тобто $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ . За теоремою Вієта $x = 3$ або $x = 4$ . Тоді $y = 4$ або $y = 3$ .

Відповідь: $(3; 4)$ і $(4; 3)$ .

Завдання 4

Для якого значення параметра $a$ рівняння $x^{2} - 6 x + a = 0$ має єдиний корінь?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Єдиний корінь за умови $D = 0$ : $36 - 4 a = 0$ , звідки $a = 9$ .

Відповідь: 9.

Де найчастіше помиляються

Діляють обидві частини рівняння на вираз зі змінною і втрачають корінь. Краще виносити множник за дужки.
Не перевіряють ОДЗ у дробових рівняннях.
Помиляються зі знаком $b$ у формулі коренів: $- b$ , а не $b$ .
У біквадратному рівнянні забувають, що $t = x^{2} \geq 0$ , або знайдене $t$ не повертають до $x$ .
Плутають суму коренів: за Вієтом вона дорівнює $- \frac{b}{a}$ , а не $\frac{b}{a}$ .

Шпаргалка

Тема	Формула
Дискримінант	$D = b^{2} - 4 a c$
Корені	$x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$
Вієт	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
Розклад тричлена	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Дріб дорівнює нулю	$\frac{P}{Q} = 0 \Leftrightarrow P = 0, Q \neq = 0$
Біквадратне	$t = x^{2}$ , $t \geq 0$

Попередня темаРаціональні, ірраціональні, степеневі вирази та їх перетворення Наступна темаІрраціональні, тригонометричні рівняння та системи рівнянь