Математика · тема 25 з 29

Прямі та площини у просторі

Взаємне розміщення прямих і площин, паралельність і перпендикулярність, теорема про три перпендикуляри, кути й відстані у просторі для НМТ.

Головне за хвилину

1
Дві прямі у просторі можуть перетинатися, бути паралельними або мимобіжними.
2
Пряма, перпендикулярна до двох прямих площини, що перетинаються, перпендикулярна до цієї площини.
3
Кут між прямою і площиною — це кут між прямою та її проєкцією на площину.
4
Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра; перпендикуляр коротший за будь-яку похилу.
5
Теорема про три перпендикуляри повʼязує похилу, її проєкцію та пряму на площині.

Теорія

Аксіоми стереометрії

Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то вся пряма лежить у ній. Дві площини, що мають спільну точку, перетинаються по прямій.

Взаємне розміщення двох прямих

Перетинаються: мають одну спільну точку.
Паралельні: лежать в одній площині й не перетинаються.
Мимобіжні: не лежать в одній площині, спільних точок немає.

Пряма і площина

Пряма може лежати в площині, перетинати її в одній точці або бути паралельною (не мати спільних точок). Ознака паралельності: пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якійсь прямій, що лежить у цій площині.

Перпендикулярність

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються. Усі перпендикуляри до однієї площини паралельні між собою.

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма на площині перпендикулярна до проєкції похилої, то вона перпендикулярна й до самої похилої (і навпаки).

Кути та відстані

Кут між прямою і площиною — кут між прямою і її проєкцією на площину, від $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ .
Двогранний кут вимірюють лінійним кутом: кутом між двома перпендикулярами до ребра в гранях.
Площини паралельні, якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, паралельні двом прямим іншої.
Відстань між паралельними площинами — довжина їхнього спільного перпендикуляра.

Як розпізнати мимобіжні прямі

Щоб переконатися, що прямі мимобіжні, використовуй ознаку: якщо одна пряма лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, то прямі мимобіжні. Наприклад, у кубі ребро верхньої основи та ребро нижньої основи, які не паралельні й не лежать в одній грані, мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими визначають так: через довільну точку проводять прямі, паралельні даним, і вимірюють кут між ними.

Паралельне проєктування

Проєкція прямої на площину зазвичай є прямою, а проєкція відрізка — відрізком. Паралельні відрізки проєктуються в паралельні, зберігаючи відношення довжин. Це допомагає зображати просторові фігури на рисунку.

Порада. Для кута між похилою та площиною зроби проєкцію й опусти перпендикуляр: вийде прямокутний трикутник, де кут шукаємо через синус або косинус.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

З точки $A$ до площини проведено перпендикуляр $A H = 6$ та похилу $A B = 10$ . Знайдіть проєкцію похилої.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Трикутник $A H B$ прямокутний: $H B = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ .

Відповідь: $8$ .

Завдання 2

Похила довжиною $12$ нахилена до площини під кутом $3 0^{\circ}$ . Знайдіть відстань від кінця похилої до площини.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Відстань — катет проти кута $3 0^{\circ}$ : $12 \cdot sin 3 0^{\circ} = 6$ .

Відповідь: $6$ .

Завдання 3

Які з тверджень правильні? А. Дві прямі, що не перетинаються, паралельні. Б. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. А хибне: прямі можуть бути мимобіжними. Б правильне за властивістю перпендикулярів до площини.

Відповідь: лише Б.

Завдання 4

Ребро куба $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ дорівнює $a$ . Знайдіть кут між діагоналлю грані $A B_{1}$ та ребром $A D$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Ребро $A D$ перпендикулярне до грані $A B B_{1} A_{1}$ , у якій лежить діагональ $A B_{1}$ . Отже, $A D ⊥ A B_{1}$ , і кут дорівнює $9 0^{\circ}$ .

Відповідь: $9 0^{\circ}$ .

Де найчастіше помиляються

Вважають, що прямі без спільних точок завжди паралельні, забуваючи про мимобіжні.
Плутають кут між прямою і площиною з кутом між прямою та перпендикуляром.
Вважають, що перпендикуляр може бути довшим за похилу. Насправді похила, проведена з тієї самої точки, завжди довша за перпендикуляр.
Уявляють двогранний кут як кут між довільними прямими в гранях.

Шпаргалка

Поняття	Суть
Мимобіжні прямі	не в одній площині, не перетинаються
Ознака $a ⊥ α$	$a ⊥$ двох прямих площини, що перетинаються
Кут прямої з площиною	кут із проєкцією
Відстань до площини	довжина перпендикуляра
Похила	довша за перпендикуляр
Піфагор	$l^{2} = h^{2} + p^{2}$ ( $l$ — похила, $p$ — проєкція)

Попередня темаКоординати та вектори на площині. Геометричні переміщення Наступна темаПризма