Математика · тема 24 з 29

Координати та вектори на площині. Геометричні переміщення

Відстань між точками, середина відрізка, рівняння кола й прямої, дії з векторами, скалярний добуток і види перетворень на площині для НМТ.

Головне за хвилину

1
Відстань між точками: $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ , середина відрізка — півсума координат.
2
Рівняння кола: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ ; рівняння прямої: $y = k x + b$ .
3
Вектор $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ , його довжина — корінь із суми квадратів координат.
4
Скалярний добуток $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ$ ; вектори перпендикулярні, якщо він нульовий.
5
Переміщення: симетрії (осьова, центральна), поворот, паралельне перенесення зберігають відстані.

Теорія

Координати точок

Для $A (x_{1}; y_{1})$ та $B (x_{2}; y_{2})$ :

$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}, M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

Рівняння кола і прямої

Коло з центром $(a; b)$ і радіусом $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ . Пряма: $y = k x + b$ , де $k$ — кутовий коефіцієнт. Паралельні прямі мають однакові $k$ , а для перпендикулярних $k_{1} k_{2} = - 1$ . Загальне рівняння прямої: $A x + B y + C = 0$ .

Вектори

Вектор має довжину й напрямок. Для $a (x_{1}; y_{1})$ і $b (x_{2}; y_{2})$ :

$a \pm b = (x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2})$ ;
$k a = (k x_{1}; k y_{1})$ ;
$∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ ;
колінеарні, якщо $\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}}$ .

Скалярний добуток і кут:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}, cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$

Геометричні переміщення

Переміщення зберігає відстані між точками. Види: осьова симетрія, центральна симетрія, поворот, паралельне перенесення. Симетрія відносно осі $O x$ : $(x; y) \to (x; - y)$ ; відносно $O y$ : $(x; y) \to (- x; y)$ ; відносно початку координат: $(x; y) \to (- x; - y)$ . Паралельне перенесення на вектор $(p; q)$ : $(x; y) \to (x + p; y + q)$ . Гомотетія із коефіцієнтом $k$ змінює відстані в $∣ k ∣$ разів, тобто не є переміщенням.

Рівняння прямої через дві точки

Пряма через $A (x_{1}; y_{1})$ та $B (x_{2}; y_{2})$ має кутовий коефіцієнт $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Далі підставляють одну з точок у $y = k x + b$ і знаходять $b$ . Точка перетину двох прямих — розвʼязок системи їхніх рівнянь.

Порада. Вектор від $A$ до $B$ завжди «кінець мінус початок».

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Знайдіть відстань між точками $A (1; 2)$ і $B (7; 10)$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $A B = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ .

Відповідь: $10$ .

Завдання 2

Знайдіть значення $m$ , при якому вектори $a (3; m)$ і $b (4; - 6)$ перпендикулярні.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Скалярний добуток нульовий: $12 - 6 m = 0$ , тому $m = 2$ .

Відповідь: $2$ .

Завдання 3

Точку $A (2; - 3)$ відобразили симетрично відносно початку координат, а потім перенесли на вектор $(1; 4)$ . Знайдіть кінцеві координати.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Симетрія: $(- 2; 3)$ . Перенесення: $(- 2 + 1; 3 + 4) = (- 1; 7)$ .

Відповідь: $(- 1; 7)$ .

Завдання 4

Складіть рівняння прямої, що проходить через точки $A (1; 3)$ і $B (3; 7)$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $k = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$ . З точки $A$ : $3 = 2 \cdot 1 + b$ , $b = 1$ . Отже, $y = 2 x + 1$ .

Відповідь: $y = 2 x + 1$ .

Де найчастіше помиляються

Плутають порядок віднімання при знаходженні координат вектора.
Забувають витягти корінь при обчисленні відстані чи довжини вектора.
Помиляються зі знаком у рівнянні кола: центр $(a; b)$ відповідає $(x - a)$ , а не $(x + a)$ .
Плутають скалярний добуток (число) з вектором.
Сплутують симетрії відносно осей $O x$ та $O y$ .

Шпаргалка

Що	Формула
Відстань	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
Середина	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
Коло	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
Довжина вектора	$x^{2} + y^{2}$
Скалярний добуток	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
Перпендикулярність	$a \cdot b = 0$
Паралельні прямі	$k_{1} = k_{2}$

Попередня темаКоло та круг. Многокутники Наступна темаПрямі та площини у просторі