Математика · тема 26 з 29

Призма

Означення та види призм, формули бічної й повної поверхні та обʼєму, діагоналі прямокутного паралелепіпеда й куба для завдань НМТ.

Головне за хвилину

1
Призма має дві рівні паралельні основи та бічні грані — паралелограми; у прямої призми бічні ребра перпендикулярні до основ.
2
Обʼєм призми $V = S_{осн} \cdot H$ .
3
Бічна поверхня прямої призми $S_{біч} = P_{осн} \cdot H$ , повна: $S_{повн} = S_{біч} + 2 S_{осн}$ .
4
Прямокутний паралелепіпед: $V = ab c$ , діагональ $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
5
Куб: $V = a^{3}$ , $S_{повн} = 6 a^{2}$ , діагональ $d = a 3$ .

Теорія

Призма та її елементи

Призма — многогранник, дві грані якого (основи) рівні й лежать у паралельних площинах, а решта граней (бічні) — паралелограми. $n$ -кутна призма має $2 n$ вершин, $3 n$ ребер і $n + 2$ грані. Висота $H$ — відстань між основами.

Пряма призма: бічні ребра перпендикулярні до основ, бічні грані — прямокутники.
Правильна — пряма призма, в основі якої правильний многокутник.
Паралелепіпед — призма, основа якої паралелограм; прямокутний — усі грані прямокутники.

Формули

$V = S_{осн} \cdot H, S_{біч} = P_{осн} \cdot H, S_{повн} = S_{біч} + 2 S_{осн}$

Для прямокутного паралелепіпеда з вимірами $a$ , $b$ , $c$ :

$V = ab c, S_{повн} = 2 (ab + b c + a c), d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Діагональні перерізи

Діагональний переріз прямої призми — прямокутник, одна сторона якого — діагональ основи, інша — висота. Діагональ призми утворює з основою кут, тангенс якого $\frac{H}{d _{осн}}$ .

Типові основи

Площі основ, які часто зустрічаються: прямокутник $ab$ ; трикутник $\frac{1}{2} ah$ ; правильний трикутник зі стороною $a$ : $\frac{a ^{2} 3}{4}$ ; ромб $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ ; правильний шестикутник $\frac{3 3}{2} a^{2}$ . Висота правильної призми дорівнює бічному ребру.

Обʼєм похилої призми

Для похилої призми $V = S_{осн} \cdot H$ , де $H$ — відстань між площинами основ, а не довжина бічного ребра. Також $V = S_{⊥} \cdot l$ , де $S_{⊥}$ — площа перпендикулярного перерізу, $l$ — бічне ребро.

Порада. Спершу знайди площу й периметр основи, а далі просто підставляй у формули.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Основа прямої призми — прямокутний трикутник із катетами $6$ і $8$ , висота призми $10$ . Знайдіть обʼєм і площу бічної поверхні.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Гіпотенуза $10$ , $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ , $P = 6 + 8 + 10 = 24$ . $V = 24 \cdot 10 = 240$ , $S_{біч} = 24 \cdot 10 = 240$ .

Відповідь: $V = 240$ , $S_{біч} = 240$ .

Завдання 2

Виміри прямокутного паралелепіпеда $2$ , $3$ та $6$ . Знайдіть діагональ.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $d = 4 + 9 + 36 = 49 = 7$ .

Відповідь: $7$ .

Завдання 3

Площа поверхні куба $150$ . Знайдіть його обʼєм.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $6 a^{2} = 150$ , $a^{2} = 25$ , $a = 5$ . $V = 5^{3} = 125$ .

Відповідь: $125$ .

Завдання 4

Правильна трикутна призма має сторону основи $4$ і висоту $5$ . Знайдіть її обʼєм.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $S_{осн} = \frac{16 3}{4} = 43$ . $V = 43 \cdot 5 = 203$ .

Відповідь: $203$ .

Де найчастіше помиляються

Використовують $S_{біч} = P \cdot H$ для похилої призми, де висота не дорівнює бічному ребру.
Забувають додати дві основи до повної поверхні.
Плутають діагональ грані куба $a 2$ з діагоналлю куба $a 3$ .
Беруть бічне ребро замість висоти у формулі обʼєму похилої призми.

Шпаргалка

Величина	Формула
Обʼєм призми	$V = S_{осн} H$
Бічна (пряма)	$P_{осн} H$
Повна	$S_{біч} + 2 S_{осн}$
Паралелепіпед	$V = ab c$ , $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Куб	$V = a^{3}$ , $S = 6 a^{2}$ , $d = a 3$

Попередня темаПрямі та площини у просторі Наступна темаПіраміда