Прямокутник, квадрат

Властивості:

• усі кути прямі;
• протилежні сторони рівні та паралельні;
• діагоналі рівні, діляться навпіл: $d=\sqrt{a^2+b^2}$;
• центр описаного кола — точка перетину діагоналей, радіус $R=\frac{d}{2}$.

Ознаки: паралелограм із прямим кутом або з рівними діагоналями є прямокутником.

$S=ab,P=2(a+b)$

Усі сторони рівні й усі кути прямі. Діагоналі рівні, перпендикулярні, ділять кути навпіл і діляться навпіл.

$S=a^2,P=4a,d=a\sqrt{2},S=\frac{d^2}{2}$

Радіус вписаного кола $r=\frac{a}{2}$, описаного $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Якщо сторони прямокутника змінюють у $p$ та $q$ разів, площа змінюється в $pq$ разів. Якщо всі сторони квадрата збільшити в $k$ разів, площа зросте в $k^2$ разів, периметр у $k$ разів.

Паралелограм є прямокутником, якщо має прямий кут або рівні діагоналі. Ромб є квадратом, якщо має прямий кут або рівні діагоналі. Прямокутник є квадратом, якщо в нього рівні суміжні сторони або перпендикулярні діагоналі. Кут між діагоналлю квадрата і його стороною дорівнює $45^{\circ }$.

Для прямокутника з діагоналлю $d$ та кутом $\phi$ між діагоналями: $S=\frac{1}{2}{d}^2\sin \phi$. Для квадрата $\phi =90^{\circ }$, отже $S=\frac{d^2}{2}$.

Порада. У задачі на квадрат з діагоналлю одразу згадуй $d=a\sqrt{2}$, так розвʼязання коротше.