Коло та круг. Многокутники

Коло — множина точок, рівновіддалених від центра. Круг — частина площини, обмежена колом. Хорда — відрізок між двома точками кола, діаметр — найбільша хорда, $d=2R$.

$C=2\pi R,S=\pi R^2$

Довжина дуги в $n^{\circ }$: $l=\frac{\pi Rn}{180}$. Площа сектора: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$.

• Центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, на яку спирається.
• Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається. Вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні.
• Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий.

• Дотична перпендикулярна до радіуса в точці дотику.
• Дві дотичні з однієї зовнішньої точки мають рівні довжини.
• Якщо хорди $AB$ і $CD$ перетинаються в точці $M$: $AM\cdot MB=CM\cdot MD$.

Центр описаного кола лежить на перетині серединних перпендикулярів, центр вписаного — на перетині бісектрис. Для чотирикутника: описане коло існує, якщо сума протилежних кутів $180^{\circ }$; вписане — якщо суми протилежних сторін рівні.

Сума кутів опуклого $n$-кутника: $(n-2)\cdot 180^{\circ }$. Кількість діагоналей: $\frac{n(n-3)}{2}$. У правильному $n$-кутнику кожен кут дорівнює $\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$, а сторона через радіус описаного кола: $a_n=2R\sin \frac{180^{\circ }}{n}$. Для правильного шестикутника $a=R$, площа $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$.

Кут між дотичною і хордою, проведеною через точку дотику, дорівнює половині дуги, що лежить усередині кута. Кут між двома хордами, що перетинаються всередині кола, дорівнює півсумі двох дуг: тієї, що лежить усередині кута, і тієї, що лежить усередині вертикального кута.

Фігура між двома концентричними колами радіусів $R>r$ називається кільцем. Її площа: $S=\pi (R^2-r^2)$.

Порада. У задачах про шестикутник розбивай його на $6$ рівносторонніх трикутників зі стороною $a$.