Математика · тема 21 з 29

Паралелограм, ромб, трапеція

Властивості та ознаки паралелограма, ромба й трапеції, формули їхніх площ і середньої лінії трапеції для завдань НМТ.

Головне за хвилину

1
У паралелограма протилежні сторони й кути рівні, діагоналі діляться навпіл, сума кутів, прилеглих до сторони, $18 0^{\circ}$ .
2
Ромб — паралелограм з рівними сторонами; його діагоналі перпендикулярні й ділять кути навпіл.
3
Трапеція має пару паралельних сторін (основи); середня лінія дорівнює півсумі основ.
4
Площа паралелограма $S = ah$ , ромба $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ , трапеції $S = \frac{a + b}{2} h$ .
5
Сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника $36 0^{\circ}$ .

Теорія

Паралелограм

Чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Властивості:

протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні;
діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін: $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ .

Ознака: якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, або дві протилежні сторони рівні й паралельні, це паралелограм.

Площа: $S = a h_{a}$ , $S = ab sin α$ , де $α$ — кут між сторонами $a$ і $b$ .

Ромб

Паралелограм з рівними сторонами. Діагоналі перпендикулярні й є бісектрисами кутів. Площа:

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = a^{2} sin α = ah$

Сторона ромба через діагоналі: $a = \frac{1}{2} d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ .

Трапеція

Чотирикутник із двома паралельними сторонами (основами $a$ , $b$ ) та двома непаралельними (бічними). Середня лінія паралельна основам:

$m = \frac{a + b}{2}, S = m \cdot h$

Кути, прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі $18 0^{\circ}$ . Рівнобічна трапеція має рівні бічні сторони, рівні кути при основі та рівні діагоналі. Прямокутна має бічну сторону, перпендикулярну до основ.

Якщо в трапецію вписано коло, то сума основ дорівнює сумі бічних сторін: $a + b = c + d$ .

Властивості трапеції

Діагоналі трапеції ділять одна одну на відрізки, пропорційні основам. Відрізок, що сполучає середини діагоналей, лежить на середній лінії й дорівнює піврізниці основ: $\frac{a - b}{2}$ . Площа рівнобічної трапеції з діагоналями, що перетинаються під кутом $φ$ : $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ — ця формула справджується для будь-якого чотирикутника.

Ромб і висота

Висота ромба $h = a sin α$ , а сума кутів, прилеглих до сторони, $18 0^{\circ}$ . Кут між діагоналлю та стороною ромба дорівнює половині відповідного кута.

Порада. У задачах на трапецію проведи висоти з вершин меншої основи: утворяться прямокутні трикутники та прямокутник.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Сторони паралелограма $8$ см і $5$ см, кут між ними $3 0^{\circ}$ . Знайдіть площу.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $S = 8 \cdot 5 \cdot sin 3 0^{\circ} = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ см $^{2}$ .

Відповідь: $20$ см $^{2}$ .

Завдання 2

Діагоналі ромба $12$ і $16$ . Знайдіть сторону та площу.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Діагоналі діляться навпіл: півдіагоналі $6$ і $8$ , сторона $36 + 64 = 10$ . Площа $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ .

Відповідь: сторона $10$ , площа $96$ .

Завдання 3

Основи трапеції $6$ і $14$ , висота $5$ . Знайдіть середню лінію та площу.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. $m = \frac{6 + 14}{2} = 10$ , $S = 10 \cdot 5 = 50$ .

Відповідь: $m = 10$ , $S = 50$ .

Завдання 4

У рівнобічній трапеції основи $4$ і $10$ , бічна сторона $5$ . Знайдіть висоту та площу.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Проєкція бічної сторони на більшу основу: $\frac{10 - 4}{2} = 3$ . Висота $25 - 9 = 4$ . Площа $\frac{4 + 10}{2} \cdot 4 = 28$ .

Відповідь: висота $4$ , площа $28$ .

Де найчастіше помиляються

Вважають діагоналі паралелограма рівними або перпендикулярними: це властивості лише прямокутника та ромба відповідно.
Забувають поділити на $2$ у формулі площі ромба через діагоналі.
Плутають висоту із бічною стороною трапеції.
Беруть середню лінію трапеції як різницю, а не півсуму основ.
Вважають усі кути паралелограма рівними.

Шпаргалка

Фігура	Площа	Ключова властивість
Паралелограм	$S = ah = ab sin α$	діагоналі діляться навпіл
Ромб	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	діагоналі перпендикулярні
Трапеція	$S = \frac{a + b}{2} h$	$m = \frac{a + b}{2}$
Вписана трапеція	—	$a + b = c + d$
Рівнобічна	—	рівні діагоналі й кути при основі

Попередня темаПрямокутні трикутники Наступна темаПрямокутник. Квадрат