Математика · тема 14 з 29

Похідна функції

Означення, правила диференціювання і таблиця похідних, геометричний і фізичний зміст, рівняння дотичної, монотонність та екстремуми для задач НМТ.

Головне за хвилину

1
Похідна $f^{'} (x)$ показує швидкість зміни функції; значення $f^{'} (x_{0})$ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка в точці $x_{0}$ .
2
Знаєш таблицю похідних і правила: $(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ , $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g) \cdot g^{'}$ .
3
Дотична в точці $x_{0}$ : $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
4
Якщо $f^{'} (x) > 0$ на проміжку, функція зростає; якщо $f^{'} (x) < 0$ , спадає.
5
Точки екстремуму шукають серед тих, де $f^{'} (x) = 0$ , і там, де похідна змінює знак.

Теорія

Означення

$f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} .$

Фізичний зміст: якщо $s (t)$ — шлях, то швидкість $v (t) = s^{'} (t)$ , а прискорення $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$ .

Таблиця похідних

Функція	Похідна
$c$ (стала)	$0$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tg x$	$\frac{1}{cos ^{2} x}$
$ctg x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$

Правила диференціювання

$(c u)^{'} = c u^{'}, (u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}, (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} .$

Складна функція: $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ . Наприклад, $((3 x - 1)^{5})^{'} = 5 (3 x - 1)^{4} \cdot 3 = 15 (3 x - 1)^{4}$ .

Дотична до графіка

Рівняння дотичної в точці $x_{0}$ :

$y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .$

Якщо дотична утворює з додатним напрямом осі $O x$ кут $α$ , то $f^{'} (x_{0}) = tg α$ . Паралельні дотичні мають однакові похідні.

Дослідження функції

Знайди область визначення і $f^{'} (x)$ .
Розв’яжи $f^{'} (x) = 0$ (критичні точки, у яких похідна дорівнює нулю або не існує).
Визнач знак $f^{'}$ на кожному проміжку (метод інтервалів).
Де $f^{'}$ змінює знак з «+» на «−», там максимум; з «−» на «+» — мінімум.

Найбільше і найменше значення на відрізку

Обчисли $f$ у критичних точках, що належать відрізку, та на його кінцях. Найбільше й найменше з цих значень і є шуканими.

Порада. Для функцій виду $y = a x^{2} + b x + c$ вершину зручніше знайти за формулою, а для кубічних і складніших — через похідну.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Знайди похідну функції $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 7$ та значення $f^{'} (1)$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 5$ . $f^{'} (1) = 3 - 8 + 5 = 0$ .

Відповідь: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 5$ , $f^{'} (1) = 0$ .

Завдання 2

Склади рівняння дотичної до графіка $f (x) = x^{2} - 3 x$ у точці з абсцисою $x_{0} = 2$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $f (2) = 4 - 6 = - 2$ , $f^{'} (x) = 2 x - 3$ , $f^{'} (2) = 1$ . Рівняння: $y = - 2 + 1 \cdot (x - 2) = x - 4$ .

Відповідь: $y = x - 4$ .

Завдання 3

Знайди найбільше значення функції $f (x) = x^{3} - 3 x$ на відрізку $[0; 2]$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0$ , $x = \pm 1$ . У відрізку лежить $x = 1$ . Значення: $f (0) = 0$ , $f (1) = 1 - 3 = - 2$ , $f (2) = 8 - 6 = 2$ . Найбільше значення $2$ .

Відповідь: 2.

Завдання 4

Тіло рухається за законом $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ (м). У який момент часу швидкість дорівнює нулю?

Показати розвʼязання

Розв’язання. $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9 = 3 (t^{2} - 4 t + 3) = 0$ , звідки $t = 1$ або $t = 3$ .

Відповідь: $t = 1$ с і $t = 3$ с.

Де найчастіше помиляються

Беруть похідну добутку як добуток похідних: $(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ .
Забувають множник $g^{'} (x)$ у складної функції.
Плутають значення функції в точці та значення похідної в ній при записі дотичної.
Беруть екстремум за точку, де $f^{'} = 0$ , але знак не змінюється (як у $x^{3}$ в нулі).
Забувають перевірити кінці відрізка при пошуку найбільшого й найменшого значень.

Шпаргалка

Тема	Формула
Степінь	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
Добуток	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Частка	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
Складна функція	$(f (g))^{'} = f^{'} (g) g^{'}$
Дотична	$y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
Геометричний зміст	$f^{'} (x_{0}) = tg α = k$
Фізичний зміст	$v = s^{'}$ , $a = v^{'}$
Монотонність	$f^{'} > 0$ зростає, $f^{'} < 0$ спадає

Попередня темаСтепеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції Наступна темаПервісна та визначений інтеграл