Математика · тема 15 з 29

Первісна та визначений інтеграл

Таблиця первісних, правила інтегрування, формула Ньютона–Лейбніца та обчислення площі криволінійної трапеції для завдань НМТ.

Головне за хвилину

1
Первісна для $f (x)$ — це функція $F (x)$ , для якої $F^{'} (x) = f (x)$ . Усі первісні відрізняються на сталу $C$ .
2
Інтегрування — дія, обернена до диференціювання, тому таблицю первісних корисно вчити разом із таблицею похідних.
3
Визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона–Лейбніца: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
4
Площа криволінійної трапеції під графіком невідʼємної функції дорівнює визначеному інтегралу.
5
На НМТ найчастіше: знайти первісну, яка проходить через задану точку, обчислити інтеграл, знайти площу фігури.

Теорія

Первісна

Функція $F (x)$ є первісною для $f (x)$ на проміжку, якщо в кожній точці проміжку $F^{'} (x) = f (x)$ . Наприклад, $F (x) = x^{3}$ — первісна для $f (x) = 3 x^{2}$ . Але й $x^{3} + 5$ , і $x^{3} - 2$ теж первісні. Загальний вигляд усіх первісних: $F (x) + C$ .

Таблиця первісних

$f (x)$	$F (x)$
$k$ (стала)	$k x + C$
$x^{n}$ , $n \neq = - 1$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$
$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tg x + C$
$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- ctg x + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + C$

Правила

Сума: первісна суми дорівнює сумі первісних.
Сталий множник виноситься: для $k f (x)$ первісна $k F (x)$ .
Для лінійного аргументу: якщо $F$ — первісна для $f$ , то для $f (k x + b)$ первісна дорівнює $\frac{1}{k} F (k x + b)$ . Наприклад, для $cos 3 x$ первісна $\frac{1}{3} sin 3 x$ .

Визначений інтеграл

Формула Ньютона–Лейбніца для функції, неперервної на $[a; b]$ :

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x)_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Стала $C$ тут не потрібна, бо вона скорочується. Властивості:

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ ;
$\int_{a}^{b} (f (x) \pm g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ ;
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ ;
$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ , а при заміні меж місцями знак змінюється.

Площа фігури

Якщо $f (x) \geq 0$ на $[a; b]$ , площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком $y = f (x)$ , віссю $O x$ та прямими $x = a$ , $x = b$ :

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Якщо фігура обмежена двома графіками і $f (x) \geq g (x)$ на $[a; b]$ :

$S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Межі інтегрування для такої фігури зазвичай знаходять з рівняння $f (x) = g (x)$ .

Порада. Після знаходження первісної перевір себе диференціюванням: похідна має повернути вихідну функцію.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Для функції $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 1$ знайдіть первісну, графік якої проходить через точку $A (1; 5)$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Загальна первісна: $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$ . Підставляємо $x = 1$ , $F (1) = 5$ :

$2 - 2 + 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4$

Отже, $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$ .

Відповідь: $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$ .

Завдання 2

Обчисліть $\int_{0}^{π /2} (2 cos x + 1) d x$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Первісна: $F (x) = 2 sin x + x$ . Тоді

$F (\frac{π}{2}) - F (0) = (2 + \frac{π}{2}) - 0 = 2 + \frac{π}{2}$

Відповідь: $2 + \frac{π}{2}$ .

Завдання 3

Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою $y = x^{2}$ та прямою $y = 2 x$ .

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Межі: $x^{2} = 2 x$ , звідки $x = 0$ або $x = 2$ . На $[0; 2]$ пряма лежить вище параболи (наприклад, при $x = 1$ : $2 > 1$ ). Отже,

$S = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = (x^{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

Відповідь: $\frac{4}{3}$ .

Де найчастіше помиляються

Забувають додати сталу $C$ , коли просять знайти загальний вигляд первісних, або навпаки, шукають $C$ у визначеному інтегралі.
Плутають знак первісних тригонометричних функцій: $\int sin x d x = - cos x + C$ , а не $+ cos x$ .
Для $\int x^{- 1} d x$ застосовують формулу степеня. Для $n = - 1$ первісна $ln ∣ x ∣$ .
Забувають множник $\frac{1}{k}$ при інтегруванні функцій виду $f (k x + b)$ .
У площі між двома графіками віднімають у неправильному порядку або беруть неправильні межі, отримуючи відʼємну площу.

Шпаргалка

Що	Формула
Степінь	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ , $n \neq = - 1$
Обернена величина	$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$
Тригонометрія	$\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$
Експонента	$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
Ньютон–Лейбніц	$\int_{a}^{b} f d x = F (b) - F (a)$
Площа під графіком	$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ , $f \geq 0$
Площа між графіками	$S = \int_{a}^{b} (f - g) d x$ , $f \geq g$

Попередня темаПохідна функції Наступна темаПерестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку