Математика · тема 13 з 29

Степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні функції

Графіки, область визначення, область значень і монотонність функцій xⁿ, aˣ, logₐx, sin x, cos x, tg x; порівняння значень і період, приклади НМТ.

Головне за хвилину

1
Показникова функція $y = a^{x}$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ ): $D = R$ , $E = (0; + \infty)$ , проходить через $(0; 1)$ .
2
Логарифмічна функція $y = lo g_{a} x$ : $D = (0; + \infty)$ , $E = R$ , проходить через $(1; 0)$ ; обернена до $a^{x}$ .
3
При $a > 1$ обидві функції зростають, при $0 < a < 1$ — спадають.
4
$sin x$ і $cos x$ обмежені: $E = [- 1; 1]$ , період $2 π$ ; $tg x$ має період $π$ .
5
Для порівняння значень використовуй монотонність функції.

Теорія

Степенева функція $y = x^n$

Показник	Область визначення	Властивості
$n$ — парне натуральне	$R$	парна, $E = [0; + \infty)$
$n$ — непарне натуральне	$R$	непарна, зростає на $R$
$n = - 1$ ( $y = \frac{1}{x}$ )	$x \neq = 0$	непарна, гіпербола
$n = \frac{1}{2}$ ( $y = x$ )	$[0; + \infty)$	зростає, $E = [0; + \infty)$

Показникова функція

Графік $y = a^{x}$ має горизонтальну асимптоту $y = 0$ (вісь $O x$ ) і ніколи її не перетинає. Приклади: $y = 2^{x}$ зростає, $y = (\frac{1}{2})^{x}$ спадає.

Порівняння: при $a > 1$ з $x_{1} < x_{2}$ випливає $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ ; при $0 < a < 1$ нерівність змінює напрям.

Логарифмічна функція

Графік $y = lo g_{a} x$ має вертикальну асимптоту $x = 0$ . Для $a > 1$ функція зростає, а при $0 < a < 1$ спадає. Графіки $y = a^{x}$ і $y = lo g_{a} x$ симетричні відносно прямої $y = x$ .

Порівняння: $lo g_{2} 5 > lo g_{2} 3$ , бо основа більша за $1$ ; а $lo g_{0, 5} 5 < lo g_{0, 5} 3$ , бо основа менша за $1$ .

Тригонометричні функції

Функція	$D$	$E$	Період	Парність
$y = sin x$	$R$	$[- 1; 1]$	$2 π$	непарна
$y = cos x$	$R$	$[- 1; 1]$	$2 π$	парна
$y = tg x$	$x \neq = \frac{π}{2} + πn$	$R$	$π$	непарна
$y = ctg x$	$x \neq = πn$	$R$	$π$	непарна

Нулі: $sin x = 0$ при $x = πn$ ; $cos x = 0$ при $x = \frac{π}{2} + πn$ , $n \in Z$ .

Монотонність. $sin x$ зростає на $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , а $cos x$ спадає на $[0; π]$ .

Графіки з параметрами. Для $y = A sin (k x + φ) + B$ : амплітуда $∣ A ∣$ , період $\frac{2 π}{∣ k ∣}$ , зсув по вертикалі $B$ . Тоді $E = [B - ∣ A ∣; B + ∣ A ∣]$ .

Область визначення та значень, приклади

$y = lo g_{3} (5 - x)$ : $5 - x > 0$ , $D = (- \infty; 5)$ .
$y = 2^{x} + 1$ : $E = (1; + \infty)$ .
$y = 3 cos x - 1$ : $E = [- 4; 2]$ .

Порада. Спочатку знайди, чи основа більша за $1$ , а потім порівнюй показники або аргументи: це розв’язує більшість задач на порівняння.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Знайди область визначення функції $y = lo g_{2} (x^{2} - 4)$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Потрібно $x^{2} - 4 > 0$ , тобто $(x - 2) (x + 2) > 0$ . Це $x < - 2$ або $x > 2$ .

Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

Завдання 2

Порівняй числа $(\frac{1}{3})^{- 2}$ та $(\frac{1}{3})^{- 3}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Основа $\frac{1}{3} < 1$ , функція спадає. Оскільки $- 3 < - 2$ , то $(\frac{1}{3})^{- 3} > (\frac{1}{3})^{- 2}$ . Перевірка: $27 > 9$ .

Відповідь: $(\frac{1}{3})^{- 3}$ більше.

Завдання 3

Знайди найбільше значення функції $y = 4 - 3 sin x$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $- 1 \leq sin x \leq 1$ . Найбільше значення, коли $sin x = - 1$ : $y = 4 + 3 = 7$ .

Відповідь: 7.

Завдання 4

Знайди найменший додатний період функції $y = cos \frac{x}{2}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $T = \frac{2 π}{1/2} = 4 π$ .

Відповідь: $4 π$ .

Де найчастіше помиляються

Плутають поведінку функції при $a > 1$ та при $0 < a < 1$ .
Пишуть $E (2^{x}) = [0; + \infty)$ . Нуль не досягається, тому $(0; + \infty)$ .
Забувають, що аргумент логарифма строго додатний.
Не змінюють знак нерівності при порівнянні для основи менше за $1$ .
Помиляються в періоді: $T = \frac{2 π}{k}$ , а не $2 πk$ .

Шпаргалка

Функція	$D$	$E$
$a^{x}$	$R$	$(0; + \infty)$
$lo g_{a} x$	$(0; + \infty)$	$R$
$sin x$ , $cos x$	$R$	$[- 1; 1]$
$tg x$	$x \neq = \frac{π}{2} + πn$	$R$
$x$	$[0; + \infty)$	$[0; + \infty)$
Монотонність	$a > 1$ зростає, $0 < a < 1$ спадає	—
Період $sin k x$	$\frac{2 π}{∣ k ∣}$	—

Попередня темаЛінійні та квадратичні функції Наступна темаПохідна функції