Математика · тема 12 з 29

Лінійні та квадратичні функції

Графік і властивості функцій y = kx + b та y = ax² + bx + c: кутовий коефіцієнт, вершина параболи, нулі, найбільше й найменше значення, приклади НМТ.

Головне за хвилину

1
Лінійна функція $y = k x + b$ : графік — пряма, $k$ — кутовий коефіцієнт, $b$ — ордината перетину з $O y$ .
2
Пряма зростає при $k > 0$ , спадає при $k < 0$ , паралельна $O x$ при $k = 0$ .
3
Квадратична функція $y = a x^{2} + b x + c$ має графік — параболу; гілки вгору при $a > 0$ і вниз при $a < 0$ .
4
Вершина параболи: $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{0} = y (x_{0})$ .
5
Нулі квадратичної функції — корені рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Теорія

Лінійна функція

$y = k x + b$ . Графік будують за двома точками, наприклад при $x = 0$ та $y = 0$ .

Паралельні прямі мають однакові $k$ : $y = 2 x + 1$ та $y = 2 x - 5$ . Прямі перпендикулярні, якщо $k_{1} k_{2} = - 1$ .

Рівняння прямої через дві точки $(x_{1}; y_{1})$ і $(x_{2}; y_{2})$ : кутовий коефіцієнт

$k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} .$

Точка перетину графіків знаходиться з рівності $k_{1} x + b_{1} = k_{2} x + b_{2}$ .

Квадратична функція

$y = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ .

Вершина:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = c - \frac{b ^{2}}{4 a} = - \frac{D}{4 a} .$

Вісь симетрії: пряма $x = x_{0}$ .

Нулі: за дискримінантом $D = b^{2} - 4 a c$ : два при $D > 0$ , один при $D = 0$ (вершина лежить на $O x$ ), жодного при $D < 0$ .

Перетин з $O y$ : точка $(0; c)$ .

Найбільше й найменше значення: при $a > 0$ найменше значення $y_{0}$ (у вершині), при $a < 0$ найбільше значення $y_{0}$ . На відрізку $[m; n]$ порівнюють значення на кінцях і у вершині, якщо вона належить відрізку.

Монотонність: при $a > 0$ функція спадає на $(- \infty; x_{0}]$ і зростає на $[x_{0}; + \infty)$ ; при $a < 0$ навпаки.

Форми запису

Загальна: $y = a x^{2} + b x + c$ .
Вершинна: $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ .
Через нулі: $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Перехід від загальної до вершинної форми — виділення повного квадрата: $x^{2} - 6 x + 5 = (x - 3)^{2} - 4$ .

Знак коефіцієнтів за графіком

$a$ : напрям гілок. $c$ : перетин з $O y$ . $b$ визначають за положенням вершини: знак $- \frac{b}{2 a}$ показує, ліворуч чи праворуч від $O y$ вона лежить.

Порада. Для швидкої перевірки графіка підстав $x = 0$ (знайдеш $c$ ) і $x = 1$ (знайдеш $a + b + c$ ).

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Знайди рівняння прямої, що проходить через точки $A (1; 3)$ і $B (3; 7)$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $k = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$ . Із $3 = 2 \cdot 1 + b$ маємо $b = 1$ . Рівняння: $y = 2 x + 1$ .

Відповідь: $y = 2 x + 1$ .

Завдання 2

Знайди координати вершини параболи $y = x^{2} - 4 x + 7$ і найменше значення функції.

Показати розвʼязання

Розв’язання. $x_{0} = - \frac{- 4}{2} = 2$ , $y_{0} = 4 - 8 + 7 = 3$ . Гілки вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому найменше значення $3$ .

Відповідь: вершина $(2; 3)$ , найменше значення $3$ .

Завдання 3

Знайди найбільше значення функції $y = - x^{2} + 6 x - 5$ на відрізку $[0; 2]$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Вершина $x_{0} = 3 \in / [0; 2]$ . Гілки вниз, функція зростає на $(- \infty; 3]$ , тож на $[0; 2]$ найбільше значення в точці $x = 2$ : $y (2) = - 4 + 12 - 5 = 3$ .

Відповідь: 3.

Завдання 4

При якому значенні $c$ парабола $y = x^{2} - 4 x + c$ дотикається до осі $O x$ ?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Дотик означає $D = 0$ : $16 - 4 c = 0$ , $c = 4$ .

Відповідь: 4.

Де найчастіше помиляються

Плутають формулу вершини: $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , а не $- \frac{b}{a}$ .
Шукають найбільше значення параболи з гілками вгору (його не існує).
На відрізку забувають перевірити кінці й беруть лише вершину.
Вважають $k$ це ордината перетину з $O y$ : це $b$ .
Не враховують знак $-$ при виділенні повного квадрата.

Шпаргалка

Тема	Формула
Лінійна функція	$y = k x + b$
Кутовий коефіцієнт	$k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
Паралельні / перпендикулярні	$k_{1} = k_{2}$ / $k_{1} k_{2} = - 1$
Вершина параболи	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
Дискримінант	$D = b^{2} - 4 a c$
Вершинна форма	$y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$
Гілки	$a > 0$ вгору, $a < 0$ вниз

Попередня темаФункціональна залежність Наступна темаСтепеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції