Математика · тема 7 з 29

Показникові, логарифмічні рівняння та системи

Розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь: зведення до однієї основи, заміна змінної, ОДЗ логарифмів, перевірка коренів, системи та приклади НМТ.

Головне за хвилину

1
Показникове рівняння $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ при $a > 0$ , $a \neq = 1$ рівносильне $f (x) = g (x)$ .
2
Показникова функція завжди додатна, тому $a^{x} = - 3$ розв’язків не має.
3
Логарифмічне рівняння починай з ОДЗ: аргумент $> 0$ , основа $> 0$ і $\neq = 1$ .
4
$lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ рівносильне $f (x) = g (x)$ за умови $f (x) > 0$ та $g (x) > 0$ .
5
Складні рівняння розв’язують заміною: $t = a^{x}$ ( $t > 0$ ) або $t = lo g_{a} x$ .

Теорія

Показникові рівняння

Метод однакової основи. Зводимо обидві частини до одного й того самого степеня:

$a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x) .$

Наприклад, $4^{x} = 8$ : $2^{2 x} = 2^{3}$ , отже $2 x = 3$ , $x = 1, 5$ .

Винесення спільного множника. $2^{x + 1} + 2^{x} = 12$ : виносимо $2^{x} (2 + 1) = 12$ , $2^{x} = 4$ , $x = 2$ .

Заміна змінної. Для $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ нехай $t = 2^{x} > 0$ . Отримуємо $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ , $t = 4$ або $t = - 1$ . Другий корінь відкидаємо, бо $t > 0$ .

Однорідні рівняння $a \cdot 9^{x} + b \cdot 3^{x} \cdot 2^{x} + c \cdot 4^{x} = 0$ ділять на $4^{x}$ і заміною $t = (\frac{3}{2})^{x}$ зводять до квадратного.

Логарифмічні рівняння

Спершу ОДЗ. Для $lo g_{a} f (x)$ потрібно $f (x) > 0$ , $a > 0$ , $a \neq = 1$ .

Спосіб 1: за означенням. $lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}$ .

Спосіб 2: потенціювання. $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x)$ при $f (x) > 0$ (тоді й $g (x) > 0$ ).

Спосіб 3: властивості логарифмів. Суму логарифмів із однаковою основою перетворюють у логарифм добутку:

$lo g_{a} f + lo g_{a} g = lo g_{a} (f g) .$

Це перетворення може розширити область визначення, тож ОДЗ треба виписувати до перетворень.

Спосіб 4: заміна. Для $lo g_{2}^{2} x - 3 lo g_{2} x + 2 = 0$ нехай $t = lo g_{2} x$ ; тоді $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ , $t = 1$ або $t = 2$ , $x = 2$ або $x = 4$ .

Системи

У системах із показниковими чи логарифмічними рівняннями зазвичай зводять кожне рівняння до алгебраїчного та застосовують підстановку або додавання. Наприклад, ${x + y = 5, lo g_{2} x + lo g_{2} y = 2$ перетворюється на $x + y = 5$ , $x y = 4$ .

Увага. Корені логарифмічного рівняння завжди підставляй в ОДЗ. Саме тут найчастіше з’являються сторонні корені.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Розв’яжи рівняння $3^{2 x - 1} = 27$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $27 = 3^{3}$ , тож $2 x - 1 = 3$ , $2 x = 4$ , $x = 2$ .

Відповідь: 2.

Завдання 2

Розв’яжи рівняння $lo g_{3} (x + 2) + lo g_{3} x = 1$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. ОДЗ: $x + 2 > 0$ і $x > 0$ , тобто $x > 0$ . Об’єднуємо: $lo g_{3} (x (x + 2)) = 1$ , звідки $x (x + 2) = 3$ , $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ . Корені $x = 1$ і $x = - 3$ . Другий не входить до ОДЗ. Перевірка: $lo g_{3} 3 + lo g_{3} 1 = 1 + 0 = 1$ .

Відповідь: 1.

Завдання 3

Знайди суму коренів рівняння $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Нехай $t = 3^{x} > 0$ . Тоді $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , $t = 1$ або $t = 3$ . Отже $3^{x} = 1$ , $x = 0$ ; $3^{x} = 3$ , $x = 1$ . Сума коренів: $0 + 1 = 1$ .

Відповідь: 1.

Завдання 4

Розв’яжи систему ${2^{x} \cdot 2^{y} = 32, x - y = 1.$

Показати розвʼязання

Розв’язання. З першого: $2^{x + y} = 2^{5}$ , $x + y = 5$ . Додаємо до другого рівняння: $2 x = 6$ , $x = 3$ , $y = 2$ .

Відповідь: $(3; 2)$ .

Де найчастіше помиляються

Не виписують ОДЗ і залишають сторонні корені в логарифмічних рівняннях.
Після заміни $t = a^{x}$ не відкидають $t \leq 0$ .
Замінюють $lo g_{a} (f + g)$ на $lo g_{a} f + lo g_{a} g$ .
Порівнюють показники при різних основах, не звівши їх до однієї.
Помиляються під час переходу від $lo g_{a} f = b$ до $f = a^{b}$ : плутають основу і аргумент.

Шпаргалка

Тема	Правило
Показникове	$a^{f} = a^{g} ⟺ f = g$
Заміна	$t = a^{x}$ , $t > 0$
Означення логарифма	$lo g_{a} f = b ⟺ f = a^{b}$
Потенціювання	$lo g_{a} f = lo g_{a} g ⟺ f = g$ , $f > 0$
ОДЗ	аргумент $> 0$ , основа $> 0$ і $\neq = 1$
Сума логарифмів	$lo g_{a} f + lo g_{a} g = lo g_{a} (f g)$

Попередня темаІрраціональні, тригонометричні рівняння та системи рівнянь Наступна темаНерівності та системи нерівностей