Математика · тема 6 з 29

Ірраціональні, тригонометричні рівняння та системи

Ірраціональні рівняння з перевіркою коренів, прості тригонометричні рівняння та загальні формули розв’язків, заміна змінної, приклади у форматі НМТ.

Головне за хвилину

1
Ірраціональне рівняння розв’язують піднесенням обох частин до степеня, а потім обов’язково перевіряють корені.
2
$f (x) = g (x)$ рівносильне системі $g (x) \geq 0$ , $f (x) = g^{2} (x)$ .
3
Прості тригонометричні рівняння мають загальні формули розв’язків із параметром $n \in Z$ .
4
Для $sin x = a$ і $cos x = a$ потрібно $∣ a ∣ \leq 1$ , інакше розв’язків немає.
5
Складні рівняння зводять до простих розкладанням на множники або заміною змінної.

Теорія

Ірраціональні рівняння

Рівняння, де змінна стоїть під знаком кореня. Корінь парного степеня визначений лише для невід’ємного підкореневого виразу й сам невід’ємний.

Тип 1. $f (x) = g (x)$ :

$f (x) = g (x) ⟺ {g (x) \geq 0, f (x) = g^{2} (x) .$

Умова $f (x) \geq 0$ виконується автоматично, адже $f = g^{2} \geq 0$ .

Тип 2. $f (x) = g (x) ⟺ f (x) = g (x)$ при $f (x) \geq 0$ (або $g (x) \geq 0$ ).

Тип 3. Два корені: ізолюй один із них, зведи до квадрата, повтори та перевір.

Корінь непарного степеня: $3 f (x) = g (x) ⟺ f (x) = g^{3} (x)$ , обмежень немає.

Прості тригонометричні рівняння

Рівняння	Розв’язки ( $n \in Z$ )
$sin x = a$ , $∣ a ∣ \leq 1$	$x = (- 1)^{n} arcsin a + πn$
$cos x = a$ , $∣ a ∣ \leq 1$	$x = \pm arccos a + 2 πn$
$tg x = a$	$x = arctg a + πn$
$ctg x = a$	$x = arcctg a + πn$

Окремі випадки:

$sin x = 0 \Rightarrow x = πn; sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + 2 πn; sin x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{π}{2} + 2 πn;$

$cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + πn; cos x = 1 \Rightarrow x = 2 πn; cos x = - 1 \Rightarrow x = π + 2 πn .$

Значення арковиразів: $arcsin (- a) = - arcsin a$ , $arccos (- a) = π - arccos a$ , $arctg (- a) = - arctg a$ .

Методи розв’язування

Розкладання на множники: наприклад, $sin 2 x = sin x \Rightarrow sin x (2 cos x - 1) = 0$ .
Заміна змінної: рівняння виду $2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0$ зводять заміною $t = sin x$ , $∣ t ∣ \leq 1$ , до квадратного.
Основна тотожність: якщо в рівнянні є і $sin^{2} x$ , і $cos x$ , замінюють $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ .
Однорідні рівняння $a sin x + b cos x = 0$ : ділять на $cos x \neq = 0$ і отримують $tg x = - \frac{b}{a}$ .

Системи

Системи з ірраціональними або тригонометричними рівняннями розв’язують підстановкою чи додаванням. Часто зручна заміна, що зводить систему до алгебраїчної.

Увага. Піднесення обох частин до квадрата може дати сторонні корені, бо з $a^{2} = b^{2}$ випливає $a = \pm b$ . Перевірка підстановкою обов’язкова.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Розв’яжи рівняння $x + 6 = x$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Умова: $x \geq 0$ . Підносимо до квадрата: $x + 6 = x^{2}$ , тобто $x^{2} - x - 6 = 0$ , $x = 3$ або $x = - 2$ . Корінь $x = - 2$ не задовольняє умову $x \geq 0$ . Перевірка: $9 = 3$ — вірно.

Відповідь: 3.

Завдання 2

Розв’яжи рівняння $2 cos x = 3$ і вкажи найменший додатний корінь.

Показати розвʼязання

Розв’язання. $cos x = \frac{3}{2}$ , тому $x = \pm \frac{π}{6} + 2 πn$ , $n \in Z$ . Додатні значення: $\frac{π}{6}$ (при знаку «+», $n = 0$ ) та $\frac{11 π}{6}$ (при знаку «−», $n = 1$ ). Найменший: $\frac{π}{6}$ .

Відповідь: $\frac{π}{6}$ .

Завдання 3

Розв’яжи рівняння $2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Нехай $t = sin x$ , $∣ t ∣ \leq 1$ . Тоді $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$ , $D = 9 - 8 = 1$ , $t = 1$ або $t = \frac{1}{2}$ . Обидва значення підходять.

Повертаємось: $sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + 2 πn$ ; $sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (- 1)^{n} \frac{π}{6} + πn$ .

Відповідь: $\frac{π}{2} + 2 πn$ ; $(- 1)^{n} \frac{π}{6} + πn$ , $n \in Z$ .

Завдання 4

Скільки коренів має рівняння $x - 2 = 4 - x$ ?

Показати розвʼязання

Розв’язання. Прирівнюємо підкореневі вирази: $x - 2 = 4 - x$ , $x = 3$ . Перевірка: $1 = 1$ — вірно.

Відповідь: 1.

Де найчастіше помиляються

Не перевіряють корені після піднесення до квадрата.
Ігнорують умову $g (x) \geq 0$ у рівнянні $f (x) = g (x)$ .
Ділять на $sin x$ чи $\cos x`, втрачаючи корені, замість того щоб розкласти на множники.
Пишуть корінь $sin x = 2$ або $cos x = - 1, 5$ : розв’язків немає, адже $∣ sin x ∣ \leq 1$ .
Забувають про $+ 2 πn$ або $+ πn$ і про запис $n \in Z$ .

Шпаргалка

Тема	Правило
$f = g$	$g \geq 0$ , $f = g^{2}$
$sin x = a$	$x = (- 1)^{n} arcsin a + πn$
$cos x = a$	$x = \pm arccos a + 2 πn$
$tg x = a$	$x = arctg a + πn$
Існування	$∣ a ∣ \leq 1$ для $sin x = a$ , $cos x = a$
Заміна	$t = sin x$ або $t = cos x$ , $∣ t ∣ \leq 1$

Попередня темаЛінійні, квадратні, раціональні рівняння та системи рівнянь Наступна темаПоказникові, логарифмічні рівняння та системи рівнянь