Комбінаторика. Правила суми та добутку, перестановки, розміщення, комбінації

Якщо обʼєкт A можна вибрати $m$ способами, а обʼєкт B ще $n$ способами, і вибрати треба щось одне, то всього варіантів $m+n$.

Наприклад, у меню 4 супи і 3 салати, а на обід береш одну страву: $4+3=7$ варіантів.

Якщо перший крок можна зробити $m$ способами, а після нього другий $n$ способами, то пару кроків можна зробити $m\cdot n$ способами. Для більшої кількості кроків множиться все.

Наприклад, суп і салат разом: $4\cdot 3=12$ варіантів обіду.

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n,0!=1$

Корисно памʼятати: $3!=6$, $4!=24$, $5!=120$, $6!=720$.

Скількома способами можна поставити в ряд $n$ різних обʼєктів:

$P_n=n!$

Вибираємо $k$ обʼєктів з $n$ і важливий порядок (місця, посади, цифри в числі):

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Вибираємо $k$ обʼєктів з $n$, порядок неважливий (команда, набір, делегація):

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Властивості: $C_n^k=C_n^{n-k}$, $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^1=n$.

Порада. Спитай себе: якщо поміняти двох вибраних місцями, чи вийде новий варіант? Так, отже розміщення. Ні, отже комбінації.