Математика · тема 11 з 29

Функціональна залежність і властивості функцій

Означення функції, область визначення та значень, способи задання, парність, монотонність, нулі, періодичність і перетворення графіків для НМТ.

Головне за хвилину

1
Функція — правило, яке кожному $x$ з області визначення ставить у відповідність єдине $y$ .
2
Область визначення $D (f)$ — усі допустимі значення $x$ , область значень $E (f)$ — усі значення $y$ .
3
Парна функція: $f (- x) = f (x)$ , графік симетричний відносно осі $O y$ ; непарна: $f (- x) = - f (x)$ , симетрія відносно початку координат.
4
Нуль функції — таке $x$ , що $f (x) = 0$ ; це абсциса точки перетину з віссю $O x$ .
5
Графіки перетворюють зсувами, розтягами та симетріями: $f (x - a) + b$ , $- f (x)$ , $f (- x)$ , $∣ f (x) ∣$ .

Теорія

Область визначення

Типові обмеження:

знаменник $\neq = 0$ : $y = \frac{1}{x - 2}$ , $x \neq = 2$ ;
підкореневий вираз $\geq 0$ для кореня парного степеня: $y = x - 3$ , $x \geq 3$ ;
аргумент логарифма $> 0$ : $y = lo g_{2} (x + 1)$ , $x > - 1$ ;
$tg x$ не визначений при $x = \frac{π}{2} + πn$ .

Область значень

Для $y = x^{2}$ : $E = [0; + \infty)$ . Для $y = x$ : $E = [0; + \infty)$ . Для $y = sin x$ : $E = [- 1; 1]$ . Для $y = 2^{x}$ : $E = (0; + \infty)$ .

Способи задання

Формулою, таблицею, графіком, словесним описом. Тест вертикальної прямої: якщо будь-яка вертикальна пряма перетинає графік не більше ніж в одній точці, то це графік функції.

Властивості функції

Нулі та знакосталість. Функція $f$ додатна там, де графік вище осі $O x$ , і від’ємна там, де нижче.

Монотонність. Функція зростає на проміжку, якщо більшому $x$ відповідає більше $y$ ; спадає, якщо більшому $x$ відповідає менше $y$ . Наприклад, $y = x^{2}$ спадає на $(- \infty; 0]$ і зростає на $[0; + \infty)$ .

Парність. Область визначення мусить бути симетричною відносно нуля. Приклади: $x^{2}$ , $cos x$ , $∣ x ∣$ — парні; $x^{3}$ , $sin x$ , $\frac{1}{x}$ — непарні; $x + 1$ — ні парна, ні непарна.

Періодичність. Функція періодична з періодом $T$ , якщо $f (x + T) = f (x)$ . Найменший додатний період $sin x$ і $cos x$ дорівнює $2 π$ , а $tg x$ — $π$ . Для $sin (k x)$ період $\frac{2 π}{∣ k ∣}$ .

Обмеженість, найбільше і найменше значення. Наприклад, $y = x^{2} + 3$ має найменше значення $3$ при $x = 0$ і не має найбільшого.

Перетворення графіків

Перетворення	Дія з графіком $y = f (x)$
$y = f (x) + b$	зсув вгору на $b$
$y = f (x - a)$	зсув праворуч на $a$
$y = - f (x)$	симетрія відносно $O x$
$y = f (- x)$	симетрія відносно $O y$
$y = k f (x)$ , $k > 0$	розтяг уздовж $O y$ у $k$ разів
$y = ∣ f (x)∣$	частину під $O x$ відображають угору

Складна і обернена функції

Складна функція: $f (g (x))$ — спершу застосовуємо $g$ , потім $f$ . Обернена функція $f^{- 1}$ існує для строго монотонної функції; її графік симетричний графіку $f$ відносно прямої $y = x$ .

Порада. Для перевірки парності підстав $- x$ у формулу і порівняй із початковим виразом.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

Знайди область визначення функції $y = \frac{x + 4}{x - 1}$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. Підкореневий вираз: $x + 4 \geq 0$ , $x \geq - 4$ . Знаменник: $x \neq = 1$ . Разом: $[- 4; 1) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь: $[- 4; 1) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 2

Яка з функцій непарна?

А) $y = x^{2} + x$ Б) $y = x^{3} - x$ В) $y = x^{4}$ Г) $y = x^{2} + 1$

Показати розвʼязання

Розв’язання. Б) $f (- x) = - x^{3} + x = - (x^{3} - x) = - f (x)$ — непарна. А) $f (- x) = x^{2} - x$ — ні парна, ні непарна. В) і Г) парні.

Відповідь: Б.

Завдання 3

Знайди найменший додатний період функції $y = sin 3 x$ .

Показати розвʼязання

Розв’язання. $T = \frac{2 π}{3}$ .

Відповідь: $\frac{2 π}{3}$ .

Завдання 4

Графік функції $y = x^{2}$ перенесли на $3$ одиниці праворуч і на $2$ вгору. Запиши формулу нової функції та знайди її найменше значення.

Показати розвʼязання

Розв’язання. Зсув праворуч на $3$ : $(x - 3)^{2}$ ; вгору на $2$ : $y = (x - 3)^{2} + 2$ . Найменше значення $2$ при $x = 3$ .

Відповідь: $y = (x - 3)^{2} + 2$ , найменше значення $2$ .

Де найчастіше помиляються

Забувають, що область визначення парної чи непарної функції має бути симетричною.
Плутають напрям зсуву: $f (x - a)$ — це зсув праворуч.
Вважають, що під знаком кореня парного степеня можна мати $0$ у знаменнику, ігноруючи, що знаменник має бути $\neq = 0$ , а не $> 0$ .
Пишуть область значень $E (y)$ як проміжок зі змінною $x$ .
Не відрізняють функцію, що зростає на проміжку, від функції, що зростає на всій області визначення.

Шпаргалка

Властивість	Умова
Парна	$f (- x) = f (x)$
Непарна	$f (- x) = - f (x)$
Нуль функції	$f (x) = 0$
Період	$f (x + T) = f (x)$
Період $sin k x$ , $cos k x$	$\frac{2 π}{∣ k ∣}$
Період $tg k x$	$\frac{π}{∣ k ∣}$
Зсув праворуч на $a$	$f (x - a)$

Попередня темаЧислові послідовності Наступна темаЛінійні та квадратичні функції