Математика · тема 17 з 29

Ймовірність випадкової події. Вибіркові характеристики

Класичне означення ймовірності, протилежні та незалежні події, а також середнє, мода, медіана й розмах вибірки для завдань НМТ.

Головне за хвилину

1
Класична ймовірність: $P (A) = \frac{m}{n}$ , де $n$ — усі рівноможливі наслідки, $m$ — сприятливі для події $A$ .
2
Ймовірність завжди між $0$ та $1$ : неможлива подія має $0$ , вірогідна — $1$ .
3
Для протилежної події $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ , це часто найшвидший шлях.
4
Для вибірки вмій знаходити середнє арифметичне, моду, медіану та розмах.
5
Кількість сприятливих і всіх наслідків часто рахують за допомогою комбінаторики.

Теорія

Випадкова подія та класична ймовірність

Випадкова подія — це те, що в результаті досліду може відбутися або не відбутися. Наприклад, при киданні кубика випадає парне число очок.

Якщо всі наслідки досліду рівноможливі, то

$P (A) = \frac{m}{n}$

Для кубика: усього $n = 6$ наслідків, парних $m = 3$ , тож $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Види подій

Вірогідна подія відбувається завжди: $P = 1$ .
Неможлива подія не відбувається ніколи: $P = 0$ .
Протилежні події: $A$ та $\overset{ˉ}{A}$ (не $A$ ). Сума їхніх ймовірностей $P (A) + P (\overset{ˉ}{A}) = 1$ .
Несумісні події не можуть відбутися разом. Для них $P (A або B) = P (A) + P (B)$ .
Незалежні події: настання однієї не змінює ймовірності іншої. Для них $P (A і B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Підрахунок наслідків

При киданні двох кубиків усього $6 \cdot 6 = 36$ рівноможливих пар. При киданні монети $k$ разів маємо $2^{k}$ наслідків. Якщо з $N$ предметів навмання беруть $k$ , кількість способів дорівнює $C_{N}^{k}$ .

Ймовірність і комбінаторика

Коли предмети вибирають навмання групою, порядок неважливий, і кількість наслідків рахують через комбінації. Наприклад, у лотереї з $10$ квитків, серед яких $3$ виграшні, ймовірність витягнути з двох квитків обидва виграшні:

$P = \frac{C _{3}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

Якщо ж предмети беруть по одному без повернення, можна множити умовні ймовірності: $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ . Результат той самий.

Відносна частота

Якщо дослід повторили $N$ разів і подія $A$ відбулася $M$ разів, число $\frac{M}{N}$ називають відносною частотою. При великій кількості дослідів вона наближається до ймовірності події.

Вибіркові характеристики

Нехай маємо набір даних $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ .

Середнє арифметичне: $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ .
Мода — значення, яке зустрічається найчастіше. Мод може бути кілька або жодної.
Медіана — серединне значення впорядкованого набору. Якщо кількість значень непарна, це середнє за порядком число. Якщо парна, це півсума двох середніх.
Розмах — різниця між найбільшим і найменшим значеннями: $R = x_{m a x} - x_{m i n}$ .

Якщо значення $x_{i}$ зустрічаються з частотами $f_{i}$ , середнє: $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} f _{1} + \dots + x _{k} f _{k}}{f _{1} + \dots + f _{k}}$ .

Порада. Перед пошуком медіани обовʼязково впорядкуй дані за зростанням, навіть якщо в умові вони записані «майже» впорядковано.

Перевір себе

Спробуй розвʼязати сам, потім відкрий розвʼязання.

Завдання 1

У коробці 5 червоних і 7 синіх куль. Навмання беруть одну кулю. Яка ймовірність, що вона червона?

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Усього куль $12$ , сприятливих $5$ . Тому $P = \frac{5}{12}$ .

Відповідь: $\frac{5}{12}$ .

Завдання 2

Кидають два кубики. Знайдіть ймовірність того, що сума очок дорівнює 8.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Усього пар $36$ . Сума 8 буває для пар: $(2; 6)$ , $(3; 5)$ , $(4; 4)$ , $(5; 3)$ , $(6; 2)$ , тобто $5$ пар.

$P = \frac{5}{36}$

Відповідь: $\frac{5}{36}$ .

Завдання 3

Подано вибірку: $3, 7, 5, 3, 9, 8, 3, 5$ . Знайдіть середнє арифметичне, моду, медіану та розмах.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Сума: $3 + 7 + 5 + 3 + 9 + 8 + 3 + 5 = 43$ , значень $8$ , тому $\overset{x}{ˉ} = \frac{43}{8} = 5, 375$ .

Мода: число $3$ зустрічається тричі, тож мода $3$ .

Впорядкуємо: $3, 3, 3, 5, 5, 7, 8, 9$ . Чотири і пʼяте значення: $5$ та $5$ , медіана $\frac{5 + 5}{2} = 5$ .

Розмах: $9 - 3 = 6$ .

Відповідь: $\overset{x}{ˉ} = 5, 375$ ; мода $3$ ; медіана $5$ ; розмах $6$ .

Завдання 4

У таблиці подано оцінки учнів: оцінка $8$ — у $3$ учнів, $9$ — у $5$ учнів, $10$ — у $2$ учнів. Знайдіть середню оцінку.

Показати розвʼязання

Розвʼязання. Враховуємо частоти: $\overset{x}{ˉ} = \frac{8 \cdot 3 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 2}{3 + 5 + 2} = \frac{24 + 45 + 20}{10} = 8, 9$ .

Відповідь: $8, 9$ .

Де найчастіше помиляються

Плутають кількість сприятливих і всіх наслідків, особливо при двох кубиках (забувають, що пар $36$ , а не $12$ ).
Рахують ймовірність більшою за $1$ або відʼємною: це сигнал, що в розрахунку помилка.
Знаходять медіану в неупорядкованому наборі.
Для парної кількості значень беруть одне середнє число замість півсуми двох.
Множать ймовірності залежних подій так, ніби вони незалежні. Наприклад, при виборі без повернення знаменник змінюється.

Шпаргалка

Поняття	Формула або правило
Класична ймовірність	$P (A) = \frac{m}{n}$
Межі	$0 \leq P (A) \leq 1$
Протилежна подія	$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
Несумісні події	$P (A або B) = P (A) + P (B)$
Незалежні події	$P (A і B) = P (A) \cdot P (B)$
Середнє	$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}$
Розмах	$R = x_{m a x} - x_{m i n}$
Медіана	середина впорядкованого набору
Мода	найчастіше значення

Попередня темаПерестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку Наступна темаЕлементарні геометричні фігури на площині. Геометричні величини