Ознаки подільності та остачі

Дільник, кратне, просте число

Число $d$ є дільником числа $a$, якщо $a$ ділиться на $d$ без остачі. Наприклад, $6$ — дільник $24$, бо $24:6=4$.

Число $a$ є кратним числу $d$, якщо $a=d\cdot k$ для деякого цілого $k$. Числа $12,24,36,\dots$ — додатні кратні $12$.

• Просте число має рівно два натуральні дільники: $1$ і саме число.
• Складене число має більше двох натуральних дільників.
• Число $1$ не є ані простим, ані складеним.

Основні ознаки подільності

Наприклад, число $1116$ ділиться на $4$, бо $16:4=4$, і на $9$, бо $1+1+1+6=9$.

Ознака подільності відповідає на питання «ділиться чи ні», але не замінює саме ділення, якщо потрібно знайти частку.

Формула ділення з остачею

Для натурального дільника $b$ число $a$ можна записати так:

$a=bq+r,0\le r<b.$

Тут $q$ — неповна частка, а $r$ — остача. Наприклад,

$14=3\cdot 4+2,$

тому при діленні $14$ на $3$ остача дорівнює $2$. Остача ніколи не може бути від’ємною або не меншою за дільник.

Як працювати з остачами

Якщо

$k=5q+2,$

то число $k$ дає остачу $2$ при діленні на $5$. Для $k+21$ маємо:

$k+21=5q+2+20+1=5(q+4)+3.$

Отже, нова остача дорівнює $3$.

Остачі можна додавати, а потім за потреби ще раз ділити на модуль. Наприклад, якщо дві остачі за модулем $5$ дорівнюють $4$ і $3$, їхня сума $7$ дає остаточну остачу $2$.

Типове завдання без повного перебору

Число ділиться на $5$ з остачею $2$ і на $3$ без остачі. Серед $32,45,57,63,81$:

1. Остачу $2$ при діленні на $5$ дають числа, що закінчуються на $2$ або $7$: залишаються $32$ і $57$.
2. Сума цифр $32$ дорівнює $5$, тому число не ділиться на $3$.
3. Сума цифр $57$ дорівнює $12$, тому $57$ ділиться на $3$.

Відповідь: $57$.

Типова пастка

Не плутай формулювання «ділиться на $5$» і «при діленні на $5$ дає остачу $2$». У першому випадку остача дорівнює нулю.

Підсумок

Спочатку застосуй коротку ознаку подільності, а умову про остачу перепиши як $a=bq+r$. Такий запис показує структуру числа й прибирає зайвий перебір.