Числові множини та квадратні корені

Ієрархія числових множин

У шкільних завданнях достатньо бачити вкладені множини:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}.$

• Натуральні числа $\mathbb{N}$ використовують для лічби: $1,2,3,\dots$ У цьому курсі починаємо їх з $1$; якщо в умові автор окремо зараховує $0$ до натуральних, дотримуйся умови.
• Цілі числа $\mathbb{Z}$ — натуральні числа, протилежні їм від’ємні числа та $0$.
• Раціональні числа $\mathbb{Q}$ можна подати дробом $\frac{m}{n}$, де $m\in \mathbb{Z}$, а $n\ne 0$.
• Ірраціональні числа не можна подати таким дробом. Їхній десятковий запис нескінченний і неперіодичний.
• Дійсні числа $\mathbb{R}$ об’єднують раціональні та ірраціональні числа.

Кожне натуральне число є цілим, кожне ціле — раціональним, але зворотні твердження неправильні.

Наприклад, $-4$ — ціле й раціональне число, але не натуральне; $\frac{3}{4}$ — раціональне, але не ціле; $\sqrt{2}$ — ірраціональне.

Як розпізнати раціональне число

Раціональними є:

• звичайні дроби;
• цілі числа, адже $7=\frac{7}{1}$;
• скінченні десяткові дроби: $0,25=\frac{1}{4}$;
• нескінченні періодичні дроби: $0,(3)=\frac{1}{3}$.

Нескінченний неперіодичний десятковий дріб є ірраціональним. Водночас у тесті зазвичай не потрібно досліджувати десятковий запис: достатньо спростити вираз.

Корінь спочатку спрощуємо

Не можна вирішувати лише за наявністю знака x​. Корінь іноді дає раціональне число:

$\sqrt{81}=9,\sqrt{0,64}=0,8,\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}.$

Для невід’ємного цілого числа $\sqrt{n}$ є раціональним тоді, коли $n$ — повний квадрат: $0,1,4,9,16,25,\dots$ Тому

$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

є ірраціональним, бо $20$ не є повним квадратом.

Для дробу спочатку скороти його. Корінь зі скороченого дробу є раціональним, якщо і чисельник, і знаменник — повні квадрати.

Алгоритм для завдання НМТ

1. Спрости степені, корені та дроби.
2. Знайди найменшу множину, до якої належить результат.
3. Перевір вкладеність: натуральне число одночасно є цілим, раціональним і дійсним.
4. Читай формулювання точно: «є раціональним» і «є лише раціональним, але не цілим» — різні умови.

Типова пастка

$\pi$ — ірраціональне число, але ${\pi }^0=1$ — натуральне. Вираз класифікують після обчислення, а не за символом, який у ньому трапився.

Підсумок

Запам’ятай ланцюг $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ і завжди спрощуй вираз. Цього достатньо, щоб не плутати вигляд числа з його справжнім значенням.