Множини чисел. Дії з цілими числами. Подільність

Множини чисел

Дійсні числа $\mathbb{R}$ — це всі числа, які ми розглядаємо у шкільній математиці. Вони поділяються на раціональні та ірраціональні.

Раціональні числа

Їх можна записати як дріб $\frac{m}{n}$, де $m\in \mathbb{Z}$, $n\ne 0$. Сюди належать цілі числа, звичайні дроби, скінченні та періодичні десяткові дроби.

$-7\frac{3}{4}0,251,(3)$

Ірраціональні числа

Їх не можна точно записати звичайним дробом. Десятковий запис нескінченний і неперіодичний.

$\pi \sqrt{2}\sqrt{20}$

До цілих чисел $\mathbb{Z}$ належать натуральні числа, протилежні їм від’ємні числа та число $0$. До дробових — звичайні й десяткові дроби.

Щоб визначити, чи є корінь раціональним, спробуй добути його. Наприклад, $\sqrt{0,64}=0,8$ — раціональне число, а $\sqrt{20}$ не добувається націло, тому є ірраціональним.

Міні-перевірка: $\sqrt{81}=9$ — раціональне число, а $\sqrt{7}$ — ірраціональне.

Натуральні числа

Натуральні числа поділяють на три зрозумілі групи.

Прості числа

Мають рівно два натуральні дільники: $1$ і саме число.

$115397$

Число 1

Має лише один натуральний дільник, тому не є ані простим, ані складеним.

Складені числа

Мають більше двох натуральних дільників.

$123345$

Також натуральні числа бувають парними — діляться на $2$ без остачі, та непарними — не діляться на $2$ без остачі.

Дільник і кратне число

Дільник числа — число, на яке дане число ділиться без остачі. Дільники числа $18$:

$1,2,3,6,9,18.$

Наприклад, $18:3=6$, тому $3$ — дільник числа $18$.

Кратне числу — число, яке ділиться на дане число без остачі. Перші додатні числа, кратні $12$:

$12,24,36,48,60,\dots$

Наприклад, $48:12=4$, тому $48$ — кратне числу $12$.

Підказка: дільник стоїть після знака ділення, а кратне — це число, яке ми розкриваємо на рівні частини.

Міні-перевірка: для числа $24$ число $6$ є дільником, а $48$ — кратним.

Ознаки подільності

Ділення на 2

Дивимося лише на останню цифру. Вона має бути парною: 0, 2, 4, 6 або 8.

Ділення на 3

Додаємо всі цифри → перевіряємо, чи ділиться отримана сума на $3$.

$30726⟶3+0+7+2+6=18⟶18:3=6$

Ділення на 5

Дивимося лише на останню цифру. Вона має бути 0 або 5.

Ділення на 9

Додаємо всі цифри → перевіряємо, чи ділиться отримана сума на $9$.

$11088⟶1+1+0+8+8=18⟶18:9=2$

Ділення на 10

Дивимося лише на останню цифру. Вона має бути 0.

Швидка підказка: для $2$, $5$ і $10$ дивимося на останню цифру; для $3$ і $9$ додаємо цифри.

Ділення з остачею

Ділення з остачею — це ділення одного натурального числа на інше, при якому залишок не дорівнює нулю.

$14:3=4\text{(ост. }2\text{)}$

Тут $14$ — ділене, $3$ — дільник, $4$ — частка, а $2$ — остача.

При діленні з остачею остача завжди має бути меншою за дільник.

Якщо від діленого відняти остачу, отримане число ділитиметься на дільник націло: $14-2=12$, а $12:3=4$.

Розбір типового завдання

У Оксани є певна кількість горіхів. Якщо розкладати їх у купки по $5$, залишаються $2$ горіхи, а якщо по $3$ — остачі немає. Серед чисел $32$, $45$, $57$, $63$, $81$ знайдемо потрібне.

1. Число має давати остачу $2$ при діленні на $5$, отже його остання цифра — $2$ або $7$. Підходять $32$ і $57$.
2. Число має ділитися на $3$. Сума цифр $32$ дорівнює $5$ — не підходить.
3. Сума цифр $57$ дорівнює $12$, а $12$ ділиться на $3$.

Відповідь: $57$.

Ще два завдання на подільність і остачу

Одноцифрове число в сумі

Знайди натуральне одноцифрове число $N$, якщо сума $510+N$ ділиться на $9$ без остачі.

За ознакою подільності на $9$ сума цифр числа має ділитися на $9$. Сума відомих цифр:

$5+1+0=6.$

Перевіримо цифри як короткий ланцюжок:

$N=1⟶7\times$

$N=3⟶9✓$

$N=5⟶11\times$

$N=6⟶12\times$

$N=9⟶15\times$

Відповідь: $N=3$.

Остача від суми

Остача від ділення натурального числа $k$ на $5$ дорівнює $2$. Знайдемо остачу від ділення на $5$ числа $k+21$.

Число $k$ дає остачу $2$, а $21$ дає остачу $1$, бо $21=5\cdot 4+1$. Остачі можна додати:

$2+1=3.$

Відповідь: остача $3$.

НСД та НСК

Найбільший спільний дільник

Найбільший спільний дільник (НСД) двох чисел — це найбільше число, на яке одночасно діляться обидва числа.

$\mathrm{НСД}(18;24)=6$, адже $6$ — найбільше число, на яке діляться і $18$, і $24$.

Найменше спільне кратне

Найменше спільне кратне (НСК) двох чисел — це найменше додатне число, яке одночасно ділиться на кожне з даних чисел.

$\mathrm{НСК}(12;18)=36$, адже $36$ ділиться і на $12$, і на $18$.

Як не переплутати

НСД → ділимо. Шукаємо найбільше число, на яке можна поділити обидва числа. Результат не може бути більшим за менше з них.

НСК → множимо ряд кратних. Шукаємо найменше число, яке ділиться на кожне з даних чисел. Результат не може бути меншим за більше з них.

Розбір завдання на відповідність

Для чисел $32$ і $18$ розглянемо суму, добуток, частку та різницю.

1. Сума: $32+18=50$. Число $50$ ділиться націло на $10$.
2. Добуток: $32\cdot 18=32\cdot 9\cdot 2=64\cdot 9=576=24^2$. Це квадрат натурального числа.
3. Частка: $32:18=\frac{16}{9}$. Це раціональне число, яке не є цілим.
4. Різниця: $32-18=14$. Число $14$ є дільником $84$, бо $84:14=6$.

Дії з цілими числами

Додавання цілих чисел

Два від’ємні числа → додаємо модулі → ставимо «мінус».

$-35+(-5)⟶-(35+5)⟶-40$

Різні знаки → від більшого модуля віднімаємо менший → беремо знак числа з більшим модулем.

$5+(-10)⟶-(10-5)⟶-5$

Віднімання цілих чисел

Щоб від одного числа відняти інше, потрібно до першого числа додати число, протилежне другому:

− перетворюємо на + протилежного числа

$a-b⟶a+(-b)$

Наприклад:

$-35-5=-35+(-5)=-40,$

$5-12=5+(-12)=-7.$

Знаки при множенні та діленні

+ × + → +

− × − → +

+ × − → −

− × + → −

Це правило однаково працює для множення й ділення.

Однакові знаки дають «плюс», різні знаки дають «мінус».

Множення цілих чисел

Різні знаки → результат від’ємний. Множимо модулі та ставимо «мінус».

$3\cdot (-5)⟶-(3\cdot 5)⟶-15$

Два від’ємні числа → результат додатний. Множимо модулі.

$(-5)\cdot (-10)⟶5\cdot 10⟶50$

Ділення цілих чисел

Різні знаки → результат від’ємний. Ділимо модулі та ставимо «мінус».

$(-15):3⟶-(15:3)⟶-5$

Два від’ємні числа → результат додатний. Ділимо модулі.

$(-14):(-2)⟶14:2⟶7$