НСД, НСК і дії з цілими числами

Найбільший спільний дільник

НСД двох додатних цілих чисел — найбільше натуральне число, на яке вони обидва діляться без остачі.

Розкладемо числа:

$18=2\cdot 3^2,24=2^3\cdot 3.$

Для НСД беремо лише спільні прості множники в найменших степенях:

$\mathrm{НСД}(18;24)=2\cdot 3=6.$

НСД використовують, коли потрібно поділити величини на найбільші однакові частини без залишку.

Найменше спільне кратне

НСК — найменше додатне число, яке ділиться на кожне з поданих чисел.

Для тих самих розкладів беремо всі прості множники в найбільших степенях:

$\mathrm{НСК}(18;24)=2^3\cdot 3^2=72.$

НСК потрібне, коли процеси повторюються й треба знайти перший спільний момент: наприклад, коли дві події з періодами $6$ і $8$ хвилин відбудуться одночасно.

Для додатних $a$ і $b$ корисна перевірка:

$\mathrm{НСД}(a;b)\cdot \mathrm{НСК}(a;b)=a\cdot b.$

НСД не більший за менше з чисел, а НСК не менший за більше. Ця оцінка швидко виявляє помилку.

Дії з цілими числами

Додавання і віднімання

• Однакові знаки: додай модулі й збережи знак.
• Різні знаки: від більшого модуля відніми менший і візьми знак числа з більшим модулем.
• Віднімання заміни додаванням протилежного числа:

$a-b=a+(-b).$

Приклади:

$-8+3=-5,6-(-4)=6+4=10.$

Множення і ділення

• однакові знаки дають «плюс»;
• різні знаки дають «мінус».

$(-3)\cdot 7=-21,(-24):(-6)=4.$

Порядок дій

1. Дії в дужках.
2. Степені й корені.
3. Множення та ділення зліва направо.
4. Додавання та віднімання зліва направо.

Наприклад:

$(-6)\cdot (-4)-30=24-30=-6.$

Як вибрати НСД або НСК

• «Розкласти на найбільші однакові групи», «розрізати на найбільші рівні частини» → НСД.
• «Коли знову збігатимуться», «найменше число, кратне кожному» → НСК.

Типові пастки

• $-(-4)=+4$: два мінуси тут не можна залишити без перетворення.
• У виразі $-3^2$ спочатку підносимо до степеня: $-(3^2)=-9$. Натомість $(-3{)}^2=9$.
• Для НСД беруть спільні множники в менших степенях, для НСК — усі потрібні множники в більших.

Підсумок

Розклад на прості множники дає один надійний алгоритм і для НСД, і для НСК. У числових виразах окремо контролюй знак та порядок дій — саме ці дві дрібниці спричиняють більшість помилок.