Типові помилки на НМТ з математики: п’ять перевірок

Навіть коли правило відоме, відповідь можна втратити через пропущене обмеження, знак, одиницю вимірювання або неуважне читання запитання. Нижче — п’ять перевірок, які варто перетворити на звичку під час тренувань.

1. Пастка ОДЗ (Область Допустимих Значень)

Розв’язання може дати кілька кандидатів, але не кожен із них належить області допустимих значень. Під час розв’язування в дійсних числах значення, яке перетворює знаменник на нуль або робить підкореневий вираз кореня парного степеня від’ємним, не належить ОДЗ.

Як уникнути:

• До перетворень випишіть обмеження для логарифмів, коренів парного степеня та дробів.
• Після розв’язання перевірте кожен кандидат підстановкою в початкову умову.

2. Знак знаменника в нерівності

Маємо нерівність: $\frac{x-3}{x+2}>0$

Типова помилка: помножити все на $x+2$ і отримати $x-3>0$. Стоп! Ви не знаєте знак виразу $x+2$. Якщо він від'ємний, знак нерівності мав би змінитися.

Як діяти: застосуйте метод інтервалів або окремо розгляньте випадки $x+2>0$ і $x+2<0$. Множити нерівність на знаменник можна лише з урахуванням його знака: для від’ємного множника знак нерівності змінюється на протилежний. Значення $x=-2$ залишається недопустимим.

Доведемо розв’язання до відповіді. Знаменник не може дорівнювати нулю, тому $x\ne -2$. Чисельник дорівнює нулю при $x=3$. Ці дві точки ділять числову пряму на три інтервали:

Потрібен додатний дріб, отже відповідь: $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$. Точку −2 вилучаємо через нуль у знаменнику, а точку 3 — через строгу нерівність: нуль не більший за нуль. Це дві різні причини, хоча обидві межі відкриті.

Для перевірки підставте по одному значенню з кожного інтервалу: −3 дає 6, 0 дає −1,5, а 4 дає $1/6$. Самі пробні значення не замінюють розбиття на інтервали, але допомагають помітити помилку в знаках.

3. Відсотки та зворотний шлях

Ціна товару піднялась на 20%, а потім знизилась на 20%. Чи повернулась ціна до початкової?

• Інтуїтивна відповідь: Так (+20 - 20 = 0).
• Правильна відповідь: Ні!

Математика: Нехай ціна $x$.

1. Піднялась: $x\cdot 1.2=1.2x$
2. Знизилась: $1.2x\cdot 0.8=0.96x$ (ціна стала меншою на 4%!).

4. Забуті модулі

При добуванні кореня з квадрата часто забувають про модуль: $\sqrt{x^2}$ дорівнює не $x$, а $|x|$. Це критично важливо, якщо $x$ може бути від'ємним.

Приклад: $\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$, а не $-5$.

5. Одиниці вимірювання

Умова задачі: "Швидкість 72 км/год, час 20 хвилин. Знайдіть відстань". Помилка: $72\cdot 20=1440$ км. Перевірка порядку величини одразу показує, що така відповідь не узгоджується з даними задачі.

Порада: Завжди перевіряйте розмірності. Переводьте хвилини в години ($20\text{ хв}=\frac{1}{3}\text{ год}$), сантиметри в метри. $72\cdot \frac{1}{3}=24\text{ км}$

Чек-лист самоперевірки на тесті

Перед тим як підтвердити відповідь, поставте собі три запитання:

1. Чи реалістична моя відповідь? (Швидкість пішохода 100 км/год — явно помилка).
2. Чи не забув я про ОДЗ?
3. Чи відповів я на те питання, яке ставили? (Часто просять знайти не $x$, а $x+y$ або $2x$).

УЦОЯО дозволяє користуватися довідковими матеріалами з формулами, але вони не замінюють вибір методу й перевірку обмежень. Після кожної симуляції позначайте тип помилки — так наступне повторення буде адресним.

Самоперевірка: три нові тренувальні задачі

Це навчальні приклади, створені для цієї статті, а не завдання офіційного НМТ. Спершу запишіть власне розв’язання, потім звірте його з поясненням.

1. Розв’яжіть $\frac{x-1}{x+4}\le 0$. Яку межу треба включити?
2. Рюкзак коштував 800 грн. Ціну знизили на 15%, а потім нову ціну підвищили на 15%. Яка кінцева ціна?
3. Спростіть $\sqrt{(x-2{)}^2}$ за умови $x<2$.

Відповіді з поясненнями.

1. $(-4;1]$: знаменник виключає −4; нуль чисельника при 1 дозволений знаком «менше або дорівнює». Між межами чисельник від’ємний, знаменник додатний.
2. $800\cdot 0,85\cdot 1,15=782$ грн. Другі 15% рахують від 680 грн, тому підвищення не скасовує попередню знижку.
3. $|x-2|=2-x$, оскільки $x-2<0$. Перевірка при $x=0$: обидві частини дорівнюють 2.

Якщо помилка була в третій задачі, поверніться до безкоштовного уроку про числа й квадратні корені. Для нерівностей і відсотків оберіть тест із математики: цей урок не охоплює всіх тем статті.